音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩(shī)歌能動(dòng)人心

1、通識(shí)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)報(bào)主編：李霞 2013 年 4月 10日第 1 期 HYPERLINK /view/5434.htm t _blank 音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷， HYPERLINK /view/32870.htm t _blank 繪畫使人賞心悅目， HYPERLINK /view/656.htm t _blank 詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。 F.Klein標(biāo)準(zhǔn)中核心概念的解讀 在標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，設(shè)計(jì)了十個(gè)核心概念，和原來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿相比有所增加，有數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。 在目標(biāo)

2、里邊，已經(jīng)看到了它的對(duì)這些核心概念的一些具體要求，相當(dāng)于它作為目標(biāo)的一些要素。但是同時(shí)，也能發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)還和的目標(biāo)和內(nèi)容領(lǐng)域是密切聯(lián)系的，所以核心概念有一個(gè)承上啟下的這樣一個(gè)作用。上面連著目標(biāo)，下面聯(lián)系著內(nèi)容，是非常重要的，所以也把它稱為核心概念。 （一）為什么要設(shè)計(jì)核心概念 在這次課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過(guò)程中，除了前面說(shuō)的這些理念，怎么設(shè)計(jì)這個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)，也進(jìn)行了一個(gè)討論，在提出設(shè)計(jì)的過(guò)程中，有兩件事情是的一次進(jìn)步，一個(gè)就是希望課程的這些東西，形成一個(gè)整體，反復(fù)強(qiáng)調(diào)如何整體的把握課程。從知識(shí)技能，從過(guò)程方法，從情感態(tài)度價(jià)值觀，幾何方面來(lái)構(gòu)架整個(gè)數(shù)學(xué)課程。這是一個(gè)滲透在整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的研制過(guò)程中。 第二件事，就

3、是在研制的過(guò)程中，就是希望能夠凸顯出在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，總有些東西需要給予高度的重視，因?yàn)樗磻?yīng)了數(shù)學(xué)最要緊的東西，最本質(zhì)的東西，不僅應(yīng)該把它當(dāng)做目標(biāo)，也應(yīng)該把它和內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。記得當(dāng)時(shí)在討論的時(shí)候，就在過(guò)去義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，能不能用一些詞，把這些東西彰顯出來(lái)，所以經(jīng)過(guò)討論，提出了所謂核心概念的這么一個(gè)說(shuō)法。 什么可以成為的核心概念？成為一個(gè)討論的一個(gè)重點(diǎn)。也作為設(shè)計(jì)思想的一個(gè)組成部分，也作為確定目標(biāo)的一個(gè)組成部分，經(jīng)過(guò)的討論，對(duì)于核心概念的確定，提出了一些很重要的原則。 比如說(shuō)能體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想的東西，對(duì)不能幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的東西，在的知識(shí)技能中，沒(méi)完沒(méi)了出現(xiàn)，用這么一個(gè)詞，這些東西才

4、能成為的核心概念。另外，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和把握數(shù)學(xué)發(fā)揮關(guān)鍵作用的東西，當(dāng)然也包括引起學(xué)生的興趣，提高學(xué)生素養(yǎng)的一些基本的東西。于是，在制訂這樣一些原則的基礎(chǔ)上，通過(guò)的討論，就反復(fù)的，記得當(dāng)時(shí)反復(fù)的商榷，確定了這十個(gè)核心的概念。 所以，核心概念的出現(xiàn)，當(dāng)然是不是全面，是不是無(wú)一遺漏，這個(gè)大家都可以討論。但是這些核心概念，希望老師在的實(shí)施過(guò)程中，不斷的理解、體會(huì)，不斷的豐富它，不斷的為他們提供案例，使在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，能發(fā)揮更好的作用。就做這么一點(diǎn)說(shuō)明。 （二）核心概念的理解 1 數(shù)感 數(shù)感在課程標(biāo)準(zhǔn)里邊，在實(shí)驗(yàn)稿里邊就提出來(lái)，在修訂稿里邊又進(jìn)一步明確了數(shù)感的含義。在這里邊，

5、有這樣兩句話，來(lái)幫助理解數(shù)感。數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量，數(shù)量關(guān)系，運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。這是一層含義，是一種感悟，對(duì)那些數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和估算結(jié)果的估計(jì)這種感悟。 然后第二句話的含義是建立數(shù)感，有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。這兩層意思都是，前一層，第一層意思就是說(shuō)，數(shù)感，什么是數(shù)感，怎么樣，數(shù)感它是一種感悟，對(duì)數(shù)量、對(duì)數(shù)量關(guān)系結(jié)果估計(jì)的感悟；第二層意思就是數(shù)感它的功能。 知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是要會(huì)數(shù)學(xué)的去思考問(wèn)題，一個(gè)本質(zhì)的問(wèn)題，就是要建立數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想一個(gè)核心的數(shù)學(xué)思想，第一位就是抽象，而抽象對(duì)數(shù)的抽象，又是最基本。數(shù)感是一個(gè)什么樣的一個(gè)一種東西，這里邊講

6、的是對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的感悟。比如說(shuō)最簡(jiǎn)單的，要建立數(shù)感，什么樣標(biāo)志成建立數(shù)感，你就看著一個(gè)事物，對(duì)一個(gè)事物你不只是理解它物，物質(zhì)的，它這個(gè)現(xiàn)實(shí)的表現(xiàn)是什么樣，你還要看出來(lái)，它從數(shù)量的關(guān)系。 你比如說(shuō)，去到一個(gè)大禮堂，到一個(gè)大禮堂，看有很多座位，一般人說(shuō)看到了座位，看到的座位，比如說(shuō)可以看到座位是什么顏色，座位用什么東西做的，它是不是耐用，它是不是舒服，但是，你如果是具有數(shù)學(xué)的思考問(wèn)題的，或者說(shuō)叫學(xué)了數(shù)學(xué)的人，有一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，他就肯定想很快的想到，這個(gè)禮堂的座位，大致有多少個(gè)座位，它一行有多少座位，它可能有多少行。 這個(gè)簡(jiǎn)單的例子就說(shuō)，具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，他能夠用數(shù)學(xué)去看到一個(gè)具體事物，用

7、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)或者是數(shù)量化的去看問(wèn)題。這個(gè)東西就可以把它叫做數(shù)感，前面提出要發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題的能力。其實(shí)要能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，這里指的數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)感是非常重要的，你看到一個(gè)事物，你如果沒(méi)有數(shù)感，你就不能從數(shù)和數(shù)量、數(shù)量關(guān)系中來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，所以說(shuō)，說(shuō)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的時(shí)候，要注重去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓他有這種感悟。 數(shù)感的學(xué)習(xí)，其實(shí)是和數(shù)的抽象，數(shù)的運(yùn)用相連的，在學(xué)習(xí)數(shù)概念的時(shí)候，要幫助學(xué)生們建立數(shù)感，另外一個(gè)對(duì)于計(jì)算結(jié)果的估計(jì)，有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，其實(shí)有一個(gè)當(dāng)你計(jì)算一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，直觀上，你會(huì)看到，它是對(duì)還是錯(cuò)。比如說(shuō)一個(gè)，兩個(gè)一位小數(shù)，如果相乘的話，比如 3.5 4.8 ，一個(gè)數(shù)你很快估計(jì)它的正誤。

8、 運(yùn)用，學(xué)生如果有比較強(qiáng)的數(shù)感，建立了數(shù)感以后，他能夠更好的去解決現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題，來(lái)利用它去分析現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系，對(duì)學(xué)生將來(lái)的生活和進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)其他知識(shí)其實(shí)都是非常重要的。 支撐數(shù)感的數(shù)學(xué)內(nèi)容有很多，比如說(shuō)對(duì)單位這件事，在一個(gè)情景中，碰到一些量，總要選擇一個(gè)單位來(lái)刻畫它，那你這樣一種感悟，對(duì)于建立起對(duì)這個(gè)數(shù)量的刻畫非常重要，還有數(shù)量關(guān)系要這樣。 比如說(shuō)一個(gè)價(jià)錢，一個(gè)數(shù)量，比如說(shuō)一件東西一千塊錢，那就發(fā)現(xiàn)可能數(shù)量的多少，對(duì)于總價(jià)的影響會(huì)很大。多一個(gè)就多一千，對(duì)不很多東西都需要在這個(gè)衡量數(shù)學(xué)，數(shù)量關(guān)系中進(jìn)行衡量，要選擇哪一個(gè)量會(huì)對(duì)的結(jié)果產(chǎn)生更大的影響，所以這樣的一種感悟，對(duì)于

9、標(biāo)準(zhǔn)中說(shuō)的，理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解具體情境中的數(shù)量關(guān)系，將會(huì)發(fā)揮非常重要的作用。它可能不僅僅是知識(shí)和技能所能體現(xiàn)出來(lái)的一些，一種感悟的。 對(duì)于單位的感覺，對(duì)于數(shù)量級(jí)的感覺，這個(gè)是非常重要的。比如說(shuō)讓學(xué)生去體驗(yàn)，去稱一個(gè)人的重量要用什么單位，稱一個(gè)鉛筆的重量用什么單位，稱一頭大象的重量用什么單位，可能選擇不同的這種單位，其實(shí)也是一種數(shù)，也是一種數(shù)感，可能有的是用克，有的用千克，有的可能用噸，所以這個(gè)其實(shí)也是一種數(shù)感。 標(biāo)準(zhǔn)中舉了一些例子，希望老師在研讀的過(guò)程中，可以結(jié)合這些例子去感悟這件事情。 當(dāng)然在如何培養(yǎng)數(shù)感的問(wèn)題上，老師們可能在教學(xué)當(dāng)中，還要有很多的工作要去做，就是因?yàn)閿?shù)感，可能和以

10、往對(duì)數(shù)的知識(shí)的學(xué)習(xí)，還有很大的不同，因?yàn)閿?shù)感一定要?jiǎng)?chuàng)造這樣一些機(jī)會(huì)，它不像比如數(shù)的運(yùn)算，單位換算等等這樣，好像直接，對(duì)于那種基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，可能更容易老師們?nèi)ビ靡环N訓(xùn)練的方法，來(lái)讓學(xué)生們?nèi)W(xué)習(xí)，而數(shù)感，感覺第一是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，不是一天兩天就能夠讓學(xué)生能夠，就是感受的，或者說(shuō)能夠在這方面有很好的感覺的，它一定要在活動(dòng)當(dāng)中，逐漸的去積累，對(duì)數(shù)的這樣一種認(rèn)識(shí)。換句話說(shuō)要積累相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，所以這點(diǎn)，可能還需要老師在教學(xué)當(dāng)中給予更多的關(guān)注。 2 符號(hào)意識(shí) 關(guān)于符號(hào)意識(shí)，注意到它在用詞上，標(biāo)準(zhǔn)的修改稿和實(shí)驗(yàn)稿有一個(gè)區(qū)別，原來(lái)是叫符號(hào)感，現(xiàn)在把它稱為叫符號(hào)意識(shí)，是這樣，因?yàn)榉?hào)感，這個(gè)感更多的是一感知，

11、可能是一個(gè)最基本的這樣一個(gè)層次。而符號(hào)意識(shí)對(duì)符號(hào)的學(xué)生理解它，學(xué)習(xí)它的要求就要更高一些。在標(biāo)準(zhǔn)里邊它是這樣來(lái)表述的，符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)，來(lái)表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。就是用符號(hào)來(lái)表示，表示什么，表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這是一層意思。 還有一層意思，就是知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，另外可以獲得一個(gè)結(jié)論，獲得一個(gè)結(jié)論具有一般性。所以標(biāo)準(zhǔn)上，大概用分號(hào)隔開是兩層意思，一個(gè)是會(huì)表示，另外一個(gè)進(jìn)行分開進(jìn)行推理，得到一般性的結(jié)論。進(jìn)一步標(biāo)準(zhǔn)就說(shuō)了，符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用，是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要的形式。 符號(hào)在數(shù)學(xué)中的重要性，應(yīng)該是老師們都能夠，學(xué)個(gè)數(shù)學(xué)，也了解一些數(shù)

12、學(xué)史的東西，可以知道符號(hào)在數(shù)學(xué)整個(gè)發(fā)展歷史上，它的重要性，另外也常常這樣說(shuō)，就是小學(xué)更多研究的是算術(shù)的東西，到了初中，更多的是研究的是代數(shù)的東西，代數(shù)的內(nèi)容，也更多的是以符號(hào)的引入作為一個(gè)標(biāo)志，所以從算術(shù)到代數(shù)，也是一個(gè)認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，也是數(shù)學(xué)能夠從一些具體的東西，上升為一般的東西這樣一個(gè)標(biāo)志。 所以符號(hào)，實(shí)際上它不是表示一些具體的東西，它可以用來(lái)代表一類東西了，比如說(shuō)，用 A 不僅可以表示 5 ，可以表示 8 ，可能還可以表示更多的，同類的一類東西，另外符號(hào)還可以表示兩類事物的關(guān)系，兩類事物的關(guān)系，同時(shí)說(shuō)符號(hào)也是研究對(duì)象的一種辦法。 從這么幾個(gè)方面來(lái)說(shuō)明符號(hào)意識(shí)，在整個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要。首

13、先說(shuō)，數(shù)學(xué)有這樣的說(shuō)法，是一種語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，有幾個(gè)基本的特征，一個(gè)是數(shù)學(xué)的普通化，通常所說(shuō)自然語(yǔ)言，一個(gè)是圖形語(yǔ)言，這是數(shù)學(xué)里獨(dú)特的東西。另外就是符號(hào)語(yǔ)言，作為語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)里一個(gè)完整的東西，某種意義上是一個(gè)體系，所以從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，提升符號(hào)意識(shí)，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是非常重要的。 因?yàn)榉?hào)可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的表達(dá)需要表達(dá)的一些東西，交流起來(lái)就方便，就像畫一個(gè)直角三角形，在寫一個(gè)公式， A 方加 B 方等于 C 方，每個(gè)人看到這個(gè)圖，看到這樣符號(hào)的語(yǔ)言，馬上就會(huì)反應(yīng)，這是勾股定理。 講一個(gè)故事，在數(shù)學(xué)科學(xué)院的房頂上，曾經(jīng)做了一個(gè)很大的一個(gè)直角三角形，旁邊有一個(gè)公式， A 方加 B 方等于 C

14、方。每一天向太空發(fā)信息晚上，他們開玩笑的說(shuō)，希望其他星球的高級(jí)動(dòng)物，路過(guò)地球的時(shí)候，能夠感悟到這有高級(jí)動(dòng)物懂得勾股定理。所以符號(hào)是一種非常重要的語(yǔ)言的組成部分，它代表了數(shù)學(xué)一個(gè)重要的方面。這是一個(gè)。 第二個(gè)如何理解符號(hào)的體系，實(shí)際上最熟悉的符號(hào)就是數(shù)字，是用十個(gè)數(shù)字加進(jìn)位，就能把周圍世界的所有，通常所說(shuō)的幾何所談元素的多少，表達(dá)清楚?？峙逻@是歷史上人類最大的貢獻(xiàn)，就是通常所說(shuō)的十進(jìn)制，這是認(rèn)識(shí)符號(hào)的一個(gè)很重要的階段。還可以去表示數(shù)值間的關(guān)系， 5 6 等于 30 ，等號(hào)不等號(hào)，就初步的為溝通了一個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。 所以，當(dāng)討論問(wèn)題的時(shí)候，等量關(guān)系和不等量關(guān)系，包括依賴關(guān)系，這些都是數(shù)學(xué)中最基本

15、的關(guān)系。 剛才又強(qiáng)調(diào)了，從小學(xué)到初中，要經(jīng)歷一個(gè)非常重要的過(guò)渡，就是從算術(shù)到代數(shù)，從算術(shù)到代數(shù)最重要的一個(gè)變化，或者說(shuō)最重要的一個(gè)區(qū)別，算術(shù)思維和代數(shù)思維一個(gè)重要的區(qū)別，就是算術(shù)是一個(gè)又一個(gè)的解決問(wèn)題，解決具體的問(wèn)題。而的代數(shù)，是一批一批的解決問(wèn)題，就像說(shuō)的如果雞的個(gè)數(shù)是 X ，兔子的個(gè)數(shù)是 Y ，那馬上就可以得到， X+Y=N ， 2X+4Y=M ，就把所有的雞兔同籠問(wèn)題，用這樣一個(gè)符號(hào)表達(dá)清楚了，是不是。 所以符號(hào)所起的作用，是從算術(shù)到代數(shù)過(guò)渡中的一個(gè)非常關(guān)鍵的一個(gè)，一個(gè)臺(tái)階吧，所以幫助孩子從算術(shù)到代數(shù)過(guò)渡發(fā)展的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，是一個(gè)非常重要的載體。 到了初中，就刻畫一類的問(wèn)題

16、，方程，一次方程，二次方程，二元一次方程組，它就幫概括出一類的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，非常的方便。 同時(shí)又為形成模型奠定了基礎(chǔ)，無(wú)法想象沒(méi)有符號(hào)怎么去刻畫模型，所以，剛才分析的符號(hào)的意識(shí)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，是非常重要的一件事情。希望做好這些事情，這樣會(huì)幫助學(xué)生不斷的提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 3 空間觀念和幾何直觀 空間觀念是原來(lái)大綱里有的，現(xiàn)在在原來(lái)的基礎(chǔ)上，做了一個(gè)進(jìn)一步的刻畫，是這么描述的，空間觀念主要是指根據(jù)物體特征，抽象出的幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描寫實(shí)物，想象出實(shí)物的方位和它們的相互位置關(guān)系，描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，根據(jù)語(yǔ)言的描述，畫出圖形等等。這是對(duì)于空間觀念的一個(gè)刻畫

17、。 這兩個(gè)概念，有的時(shí)候容易混淆在一起，放在一起介紹，就可以更清楚了解它們之間的聯(lián)系區(qū)別。 幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，發(fā)揮著重要的作用。 剛才空間觀念，有這么幾個(gè)緯度，理解的緯度。第一個(gè)就是圖形和實(shí)物之間的關(guān)系，這是一個(gè)很重要的緯度，實(shí)際上應(yīng)該清楚，比如說(shuō)，畫空間的一個(gè)長(zhǎng)方體的直觀圖，它是一個(gè)變了形的圖形，和通常在實(shí)際中碰到的長(zhǎng)方體是不一樣的，它是彎著，就是這樣把它 45 度角，所以建立起抽象圖形和實(shí)物的聯(lián)系，是樹立空間觀念的一個(gè)非常重要

18、的一個(gè)載體，這是一個(gè)重要的載體。 第二個(gè)，就是標(biāo)準(zhǔn)中所刻畫的，就是物體的，通常所說(shuō)的方向感，如何來(lái)刻畫它的方位，是在上，是在下，一位的，是在上下左右，二位的，是在上下左右前后，三位的，建立起這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)圖形，是空間觀念另外一個(gè)重要的一個(gè)載體。 關(guān)于空間觀念，再補(bǔ)充說(shuō)點(diǎn)，其實(shí)剛才分析的空間觀念是圖形和，實(shí)物和圖形之間的關(guān)系，關(guān)系是兩個(gè)方向，這就說(shuō)的通過(guò)實(shí)物，根據(jù)實(shí)物來(lái)抽象出幾何圖形，這是一個(gè)方向。另外一個(gè)就是根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，在這里邊，其實(shí)這個(gè)想象，一個(gè)是抽象，一個(gè)是想象，在具體的事物，其實(shí)說(shuō)圖形，說(shuō)幾何圖形，比如說(shuō)，長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形，在現(xiàn)實(shí)世界中，是沒(méi)有這些

19、圖形的，是沒(méi)有幾何里邊說(shuō)的三角形、長(zhǎng)方形、平行四邊形，它都是一些具體的實(shí)物，你看到一個(gè)盒子，你看到一個(gè)桌子，說(shuō)這個(gè)盒子的表面是長(zhǎng)方形，但是你要想象出，抽象出它的表面是一個(gè)長(zhǎng)方形，這是一個(gè)你抽象的過(guò)程。 另外，就是說(shuō)出一個(gè)圖形，你把它和某一個(gè)物體，某一個(gè)具體物體對(duì)應(yīng)起來(lái)，實(shí)際上這個(gè)說(shuō)，從心理學(xué)角度是一個(gè)表象，一個(gè)表象，這個(gè)空間觀念實(shí)際上是頭腦中形成一個(gè)表象，讓學(xué)生形成空間觀念，一個(gè)重要的標(biāo)志，就是學(xué)生在頭腦里邊，最終要形成一個(gè)，說(shuō)一個(gè)的平行四邊形，學(xué)生腦子里邊要有一個(gè)平行四邊形，同時(shí)要有一個(gè)平行四邊形的物體，跟它相對(duì)應(yīng)，這樣就是一個(gè)建立的一個(gè)空間觀念，這個(gè)是很重要的。 另外一個(gè)就是圖形的運(yùn)動(dòng)。剛

20、才講圖形的運(yùn)動(dòng)，講圖形課程標(biāo)準(zhǔn)這個(gè)從實(shí)驗(yàn)稿里邊，開始加了一些圖形的平移、旋轉(zhuǎn)這樣的一些運(yùn)動(dòng)。這樣一些運(yùn)動(dòng)，就運(yùn)動(dòng)前和運(yùn)動(dòng)后是一個(gè)什么樣的，其實(shí)學(xué)生可以去做，他也可以去想，這個(gè)圖，如果向左移動(dòng)三厘米，再向下移動(dòng)二厘米，再旋轉(zhuǎn) 45 度，是一個(gè)什么樣，他可以先去想，然后再去做，這樣一個(gè)空間觀念，其實(shí)對(duì)他來(lái)說(shuō)，都是需要的，都很重要。 像維數(shù)的認(rèn)識(shí)，這樣也有很多的例子，今天時(shí)間的關(guān)系，可能就不再展開了，所以空間觀念在某種意義上，是學(xué)習(xí)幾何，當(dāng)然也包括代數(shù)，因?yàn)橐坏┱J(rèn)識(shí)緯度，代數(shù)里頭也有很多的運(yùn)算對(duì)象是高維的，所以對(duì)于這樣一種理解，也是一個(gè)非常重要的事情。 下面說(shuō)一下幾何直觀，用最通俗的話說(shuō)幾何直觀，有

21、人這么說(shuō)，就是看圖想事，看圖說(shuō)理，就是幾何直觀，說(shuō)的挺形象。當(dāng)然包括想圖，要畫出來(lái)表達(dá)一個(gè)想法。 為什么要強(qiáng)調(diào)幾何直觀，也從數(shù)學(xué)最基本的研究對(duì)象說(shuō)起，數(shù)學(xué)最主要的在中學(xué)，進(jìn)入小學(xué)階段，主要的研究對(duì)象，一個(gè)就是圖形，一個(gè)就是可算的東西，數(shù)、字母，就是不嚴(yán)格的說(shuō)數(shù)，這是研究的基本對(duì)象。 大家設(shè)想一下，對(duì)于圖形的關(guān)注，在所有的學(xué)科中，除了美術(shù)，只有數(shù)學(xué)，其他的數(shù)量關(guān)系，物理也關(guān)注數(shù)量關(guān)系，化學(xué)從化學(xué)的角度關(guān)注，生物從生物的角度關(guān)注，對(duì)它們只是賦予它具體載體以后關(guān)注它。 該如何從學(xué)習(xí)圖形中獲得最大的好處，這是作為數(shù)學(xué)工作者應(yīng)該想的一件事情。引用希爾伯特，在他寫的一本書叫直觀幾何里頭，談到的幾個(gè)基本觀點(diǎn)

22、。他在序言里頭寫了這樣三層意思。 第一層意思，圖形可以幫助刻畫和描述問(wèn)題。一旦用圖形把一個(gè)問(wèn)題描述清楚，就有可能使這個(gè)問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單。 第二個(gè)意思就是圖形可以幫助發(fā)現(xiàn)、尋找解決問(wèn)題的思路。就是無(wú)論在小學(xué)還是初中，當(dāng)用一個(gè)圖形描述一個(gè)問(wèn)題了，常常可以發(fā)現(xiàn)，怎么樣去找到解決這個(gè)問(wèn)題的一些基本的想法。包括函數(shù)的問(wèn)題，甚至方程的問(wèn)題，都是可以通過(guò)圖形找到這樣一些思路。 第三個(gè)緯度，圖形可以幫助表述一些結(jié)果，可以幫助記憶一些結(jié)果。 他不僅能夠掌握這個(gè)結(jié)果，而且能夠理解證明的過(guò)程。所以，要充分的發(fā)揮圖形給帶來(lái)的好處，所以，怎么幫助學(xué)生樹立幾何直觀能力，一個(gè)要教會(huì)學(xué)生看圖說(shuō)話，尤其是一些重要的載體，比如

23、說(shuō)函數(shù)，一定要讓孩子能看圖說(shuō)話。第二件事，要讓孩子養(yǎng)成一個(gè)畫圖的好習(xí)慣。能用圖形表示的，就用圖形表示。第三件事，重視變換，讓圖形動(dòng)起來(lái)，圖形一旦動(dòng)起來(lái)了，他把握?qǐng)D形與圖形之間的關(guān)系，就提供了更多的支持，他理解很多結(jié)果，就會(huì)更深刻一點(diǎn)。第四件事非常重要的，要在學(xué)生的頭腦中留住些圖形。比如說(shuō)數(shù)軸，比如說(shuō)方格紙，比如說(shuō)直角坐標(biāo)系，長(zhǎng)方體、圓。用這些圖形來(lái)幫助他認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)。 培養(yǎng)幾何直觀就不會(huì)落空，所以這一次加了幾何直觀能力，加了幾何直觀這個(gè)關(guān)鍵詞，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，是挺重要的一件事情。有一些接觸到很多數(shù)學(xué)家說(shuō)，重要的數(shù)學(xué)結(jié)果，常常是看出來(lái)的。就反應(yīng)他們對(duì)幾何直觀的一個(gè)認(rèn)識(shí)和理解。所以，希望的老師

24、，不斷的摸索，不斷的積累經(jīng)驗(yàn)，把這樣一些核心詞和日常教學(xué)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。這個(gè)對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一定是很有幫助的。 4 數(shù)據(jù)分析觀念 數(shù)據(jù)分析的觀念是指：了解在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多問(wèn)題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，搜集數(shù)據(jù)，通過(guò)分析做出判斷。體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息，了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問(wèn)題的背景，選擇合適的方法，通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。一方面對(duì)于同樣的事物，每次收到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)，就可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。 數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)一個(gè)重要的內(nèi)容，所以對(duì)數(shù)據(jù)的分析，也就成為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)這塊，很核心的東西，這個(gè)數(shù)據(jù)分析觀念，剛才對(duì)標(biāo)準(zhǔn)上的這樣一段，對(duì)它

25、的解釋，進(jìn)行了簡(jiǎn)單的這樣一個(gè)就是給大家做了這樣一個(gè)介紹，之后也能夠理解到，就是實(shí)際上數(shù)據(jù)分析觀念，主要讓學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)據(jù)的作用，運(yùn)用數(shù)據(jù)可以做什么，怎么來(lái)做，可能這是通俗一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)分析觀念的一個(gè)基本的含義。當(dāng)然可能數(shù)據(jù)分析觀念，究竟怎么樣讓學(xué)生去體會(huì)其中的，剛才談到這幾個(gè)方面，還需要老師們?nèi)ピ诮虒W(xué)當(dāng)中去體會(huì)，在教學(xué)當(dāng)中去貫徹。 5 運(yùn)算能力 運(yùn)算能力，標(biāo)準(zhǔn)中是這樣說(shuō)的，只要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算正確的進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算力，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。運(yùn)算始終是中小學(xué)教學(xué)里邊非常重要的組成部分，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，數(shù)的運(yùn)算，一直都占很大的篇幅，另外也是學(xué)生學(xué)習(xí)

26、數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的標(biāo)志。 從培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力這個(gè)角度，重要的是理解算理，運(yùn)用算理來(lái)解決問(wèn)題，而不是說(shuō)一味的追求速度。另外，就是尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題，落腳也在解決問(wèn)題上，說(shuō)運(yùn)算你要會(huì)算，但是運(yùn)算的目的是什么，運(yùn)算的目的是解決問(wèn)題，所以希望能夠在一個(gè)情境中解決問(wèn)題的情境去運(yùn)算，而不是簡(jiǎn)單的重復(fù)的進(jìn)行運(yùn)算，單調(diào)的運(yùn)算，所以說(shuō)，在一些情境中進(jìn)行運(yùn)算，比如說(shuō)在購(gòu)買物品的一個(gè)情境中，單價(jià)是多少，價(jià)格是多少，總價(jià)是多少，一共需要多少錢，一共有多少錢，能購(gòu)買多少東西，你怎么樣去運(yùn)算，在這里邊，一個(gè)現(xiàn)實(shí)的情境，有很多問(wèn)題，有很多需要計(jì)算的，所以，這一點(diǎn)應(yīng)該引起關(guān)注。 數(shù)學(xué)的價(jià)值取向，數(shù)學(xué)是不是就是要求快

27、，現(xiàn)在越來(lái)越多的人質(zhì)疑這件事情，過(guò)去的數(shù)學(xué)求快，特別是在計(jì)算機(jī)的時(shí)代，所有的運(yùn)算，計(jì)算機(jī)都可以幫忙實(shí)現(xiàn)，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生什么能力，所以在質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，很多人提出來(lái)，首先要保證學(xué)生有足夠的時(shí)間去做，看看他會(huì)還是不會(huì)，這是主要的；第二個(gè)補(bǔ)充，運(yùn)算能力不能僅僅是算個(gè)數(shù)，應(yīng)該就是更寬的來(lái)考慮這件事情，包括對(duì)于運(yùn)算對(duì)象的認(rèn)識(shí)，包括對(duì)于為什么要做這個(gè)運(yùn)算，就是這些運(yùn)算的背景是什么，包括剛才強(qiáng)調(diào)的，運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律的、方法的選擇，包括運(yùn)算在哪些地方有用，學(xué)運(yùn)算的目的是要解決一些問(wèn)題，所以僅僅停留在運(yùn)算的巧和快，可能誤導(dǎo)了對(duì)運(yùn)算的理解。 6 推理能力 推理能力是標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿中就提出的一個(gè)核心概念，在修改稿當(dāng)中，仍然

28、也保留了這樣一個(gè)核心概念。經(jīng)過(guò)這幾年的實(shí)驗(yàn)，老師們對(duì)推理能力，應(yīng)該有了一個(gè)，比較全面的認(rèn)識(shí)，以往在談推理的時(shí)候，老師首先想到就是演繹推理和邏輯推理，而說(shuō)現(xiàn)在推理能力，實(shí)際上是包含了兩個(gè)方面。首先推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活當(dāng)中，經(jīng)常使用這樣一種思維方式，推理一般包括合情推理和演繹推理，所以首先在這，把合情推理，它的外延就包含了這樣兩個(gè)大方面，一個(gè)是合情推理一個(gè)是演繹推理。演繹推理是從已知的事實(shí)出發(fā)，按照一些確定的規(guī)則，然后進(jìn)行邏輯的推理，進(jìn)行證明和計(jì)算，是這樣一個(gè)過(guò)程。換句話說(shuō)，從思維形式的角度，是從一般到特殊這樣一個(gè)過(guò)程，在幾何的證明當(dāng)中，實(shí)際上都是這樣一種推理的形式。合情推

29、理是從已有的事實(shí)出發(fā)，評(píng)論一些經(jīng)驗(yàn)、直覺，通過(guò)歸納和類比等等這樣一些形式，來(lái)進(jìn)行推斷，來(lái)獲得一些可能性結(jié)論這樣一種思維方式。和演繹推理相不一樣的地方，它往往是從特殊到一般這樣一種推理，所以合情推理得到的結(jié)論，知道不一定是對(duì)的，通?？赡芊Q之為猜想、推測(cè)是一個(gè)可能性結(jié)論。但是合情推理在數(shù)學(xué)整個(gè)發(fā)展過(guò)程當(dāng)中，包括在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和今后的未來(lái)的社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐和生活當(dāng)中，都是特別重要的。當(dāng)然合情推理也是新課程之前，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程當(dāng)中，是被忽視的，經(jīng)過(guò)這些年的新課程的實(shí)驗(yàn)，老師們已經(jīng)基本上接受了，像歸納和類比，這樣的一些推理形式，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的這樣一些地位和作用，也能夠在教學(xué)當(dāng)中去嘗試的去做這些事情，在的

30、考試評(píng)價(jià)當(dāng)中，也看到了在這方面，大家給予關(guān)注，這都是一個(gè)很好的信號(hào)，也希望老師能夠更好的在推理的，雙方面都能夠齊頭并進(jìn)，而不是偏廢哪一方。 合情推理進(jìn)入的視野，并且加以強(qiáng)調(diào)是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)進(jìn)步。舉兩個(gè)比較重要的事情來(lái)支持這個(gè)合情推理的重要性。第一個(gè)就是抽象思維，抽象的過(guò)程，是從特殊到一般的過(guò)程，從一些實(shí)際的例子中，抽象出函數(shù)的概念，所以很多重要數(shù)學(xué)概念的形成，實(shí)際上是抽象的過(guò)程，這樣一個(gè)過(guò)程對(duì)于概念的認(rèn)識(shí)和理解，是非常重要的。第二個(gè)支持這個(gè)的例子，統(tǒng)計(jì)思維，最基本的推理方式是歸納，從樣本看整體，所以通過(guò)這兩個(gè)例子，希望的老師重視合情推理。不要以為，合情推理是為演繹推理服務(wù)的一個(gè)前奏，這樣的理解

31、還是有失偏頗的，概念的形成，定理的得到，是經(jīng)歷了歸納推理的過(guò)程，最后才能形成所得到的一些認(rèn)知。所以重視合情推理，是在新課程推進(jìn)中，需要不斷強(qiáng)化的一件事情。 推理能力的培養(yǎng)，實(shí)際上不僅在幾何里，包括數(shù)與代數(shù)，包括剛才也談到了，統(tǒng)計(jì)概率，實(shí)際上貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中的，這一點(diǎn)可能老師們也應(yīng)該能夠把它在整個(gè)教學(xué)聯(lián)系起來(lái)。 7 模型思想 首先說(shuō)一下標(biāo)準(zhǔn)的解釋，就是模型思想的建立，使學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外物世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過(guò)程包括，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)，建立方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，然后求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)

32、習(xí)有助于學(xué)生初步的形成模型的思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。這個(gè)基本上模型思想概括的比較清楚。 說(shuō)這個(gè)模型的思想引用復(fù)旦大學(xué)李大潛院士的一段話，他在大學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)說(shuō)過(guò)的一段話，他說(shuō) 20 世紀(jì)，中國(guó)的數(shù)學(xué)教育一個(gè)很重要的貢獻(xiàn)，就是強(qiáng)調(diào)了模型，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模，推動(dòng)了數(shù)學(xué)和實(shí)際的聯(lián)系。他概括的還比較清楚的。 數(shù)學(xué)有兩件事情很重要，一件事情就是一批一批的解決問(wèn)題，所以要形成模型；另外一件事，要從實(shí)際情境中找到它，解決這個(gè)問(wèn)題的模型。一個(gè)是歸納的過(guò)程，一個(gè)是演繹的過(guò)程，能夠更好的去解決一些具體的問(wèn)題，所以舉一個(gè)在數(shù)與代數(shù)中的一個(gè)例子，比如說(shuō)函數(shù)的思想，實(shí)際上經(jīng)歷了這么一個(gè)過(guò)程，在具體的情境中，

33、會(huì)對(duì)量進(jìn)行分析，具有識(shí)別變量的能力，這是第一步。第二步，具有識(shí)別變量依賴關(guān)系的能力。是不是有的變量的變化，會(huì)引起另外變量的變化，在進(jìn)而，有判斷函數(shù)關(guān)系的能力，這樣就能知道用函數(shù)來(lái)刻畫變化的一個(gè)規(guī)律。 當(dāng)認(rèn)識(shí)到可以用函數(shù)來(lái)刻畫規(guī)律的時(shí)候，馬上進(jìn)而就要想，在這個(gè)具體情境中，是哪樣一個(gè)類別的函數(shù)，是一次函數(shù)，是二次函數(shù)，還是反比例函數(shù)。然后要確定是哪一個(gè)具體的函數(shù)，然后用這個(gè)具體的函數(shù)，去解決這個(gè)問(wèn)題并對(duì)解決的結(jié)果進(jìn)行討論?？吹慕Y(jié)果，是不是符合實(shí)際，這樣的一個(gè)過(guò)程，可能也是通常所說(shuō)的函數(shù)建模的一個(gè)過(guò)程。這對(duì)于提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力一定是非常重要的。也把前面所說(shuō)的基本數(shù)學(xué)思想表現(xiàn)的淋漓盡致。 數(shù)學(xué)本身

34、就是一種構(gòu)造，沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)公式在那里擺著，等著你去發(fā)現(xiàn)，其實(shí)很多數(shù)學(xué)，從一開始數(shù)學(xué)就是要構(gòu)造一個(gè)能夠描述模型客觀現(xiàn)實(shí)的模型，所以說(shuō)模型思想從某種意義上說(shuō)，反應(yīng)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。 所以提出模型的思想，對(duì)于數(shù)學(xué)教育，一定會(huì)有很大幫助，可能會(huì)在數(shù)與代數(shù)、空間與圖形，圖形與幾何的內(nèi)容中，會(huì)不斷的強(qiáng)調(diào)模型思想怎么和具體的內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。 8 應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí) 首先是應(yīng)用意識(shí)，應(yīng)用意識(shí)說(shuō)白了就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的聯(lián)系，如何運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)，去解決現(xiàn)實(shí)中和其他學(xué)科中的一些問(wèn)題，當(dāng)然也包括運(yùn)用一部分?jǐn)?shù)學(xué)，去解決另一個(gè)數(shù)學(xué)里的問(wèn)題。 在 20 世紀(jì)，數(shù)學(xué)的發(fā)展，最重要的標(biāo)志，應(yīng)該是數(shù)學(xué)的應(yīng)

35、用，數(shù)學(xué)在其他學(xué)科和科學(xué)和社會(huì)發(fā)展中的作用，還不僅僅是在理科中的作用，在文科和社會(huì)科學(xué)中的作用是非常重要的體現(xiàn)。 創(chuàng)新是一個(gè)永恒的主題，作為創(chuàng)新，在各個(gè)學(xué)科里邊，都是要提倡，而數(shù)學(xué)的創(chuàng)新可能更重要，數(shù)學(xué)是一種，一種非常抽象的嚴(yán)謹(jǐn)，但是同時(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用非常廣泛，這種應(yīng)用的廣泛，應(yīng)該在體現(xiàn)在去創(chuàng)新、創(chuàng)造性的應(yīng)用。所以說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)里面提出創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心等等這樣。 這和前面分析的基本理念和基本目標(biāo)里邊，提出的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題是相關(guān)的，你一直有發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，你才有創(chuàng)新。所以去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不是

36、只是學(xué)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，不是只解決現(xiàn)成的問(wèn)題，你提出一個(gè)新的問(wèn)題，你在你的生活中，你在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，提出新的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，這個(gè)永遠(yuǎn)是一個(gè)非常重要的，從小學(xué)就應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生去創(chuàng)造、去創(chuàng)新。這一個(gè)很重要的就是引導(dǎo)他們?cè)谝粋€(gè)現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，這樣才能夠?yàn)樯鐣?huì)培養(yǎng)更多的創(chuàng)新型人才。 標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心，歸納、概括、得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證是創(chuàng)新的重要方法。還有一點(diǎn)，創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，應(yīng)從義務(wù)教育做起。 從某種意義上，越小的孩子，他越有創(chuàng)新，小孩子的興趣，小孩子對(duì)問(wèn)題的敏感性，他能提出很多很多成人可能都難以解決的問(wèn)題，其實(shí)他本身就是創(chuàng)新。 雖然對(duì)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)談的不是很多，不等于它不重要，應(yīng)該說(shuō)它是更重要的，也是在數(shù)學(xué)課程里邊，從目標(biāo)的角