級數(shù)的收斂性講解

1、1 級數(shù)的收斂性 級數(shù)是數(shù)學分析三大組成部分之一，是逼近理論的基礎，是研究函數(shù)、進行近似計算的一種有用的工具. 級數(shù)理論的主要內容是研究級數(shù)的收斂性以及級數(shù)的應用.對于有限個實數(shù) u1,u2,un 相加后還是一個實數(shù)，這是在中學就知道的結果,那么“無限個實數(shù)相加”會有什么結果呢？請看下面的幾個例子. 如在第二章提到莊子天下篇“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的例中,將每天截下那一部分的長度“加”起來是: 由于前 n 項相加的和是 ，可以推測這“無限 個數(shù)相加”的結果應該是1.又如下面由“無限個數(shù) 相加”的表達式 中，如果將其寫作 結果肯定是0，而寫作則結果是1.兩個結果的不同向我們提出了兩個基本

2、 問題:“無限個數(shù)相加”是否存在“和”;如果存在, “和”等于什么? 由此可見,“無限個數(shù)相加”不能 簡單地與有限個數(shù)相加作簡單的類比,需要建立新 的理論. 定義1 給定一個數(shù)列un, 將其各項依次用“+”號 連接起來的表達式稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)(也常簡稱級數(shù)),其中 un 稱為數(shù)項級數(shù)(1)的通項或一般項. 數(shù)項級數(shù)(1)也 常記為. 在不致誤解時可簡記為數(shù)項級數(shù)(1)的前n項之和記為 稱為數(shù)項級數(shù)(1)的第 n 個部分和,也簡稱部分和.定義2 若數(shù)項級數(shù)(1)的部分和數(shù)列收斂于 S(即 ), 則稱數(shù)項級數(shù)(1)收斂, S 稱為數(shù) 項級數(shù)(1)的和,記作 例1 討論等比級數(shù)(也稱幾何級數(shù))

3、的收斂性(a0).若 是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項級數(shù)(1)發(fā)散.解 q1時, 級數(shù)(3)的第 n 個部分和為 因此 此時級 數(shù)(3)收斂,其和為 綜合起來得到: 級 數(shù)(3)發(fā)散. 例2 討論數(shù)項級數(shù)的收斂性.解 級數(shù)(4)的第n個部分和為 由于 因此級數(shù) (4) 收斂,且其和為 1. 注 由于級數(shù)(1)的收斂或發(fā)散(簡稱斂散性),是由它 的部分和數(shù)列來確定, 因而也可把級數(shù)(1)作為 數(shù)列的另一種表現(xiàn)形式. 反之, 任給一個數(shù)列 , 如果把它看作某一數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列, 則 這個數(shù)項級數(shù)就是 這時數(shù)列與級數(shù) (5) 具有相同的斂散性, 且當收斂時,其極限值就是級數(shù)(5)的和. 基于級數(shù)與數(shù)列的這

4、種關系,讀者不難根據(jù)數(shù)列極 限的性質得出下面有關級數(shù)的定理. 定理12.1(級數(shù)收斂的柯西準則)級數(shù)(1)收斂的充要 條件是:任給正數(shù) 使得當 以及對任意的正整數(shù) p 都有 根據(jù)定理12.1以及數(shù)列發(fā)散的充要條件，可以立刻 寫出級數(shù)(1)發(fā)散的充要條件是:對 任何正整數(shù)N,總存在正整數(shù)m0(N)和p0，有由定理12.1立即可得如下推論.推論(級數(shù)收斂的必要條件) 若級數(shù)(1)收斂,則 注 推論是級數(shù)收斂的一個必要條件:一般項不趨于 零, 級數(shù)一定發(fā)散, 但一般項趨于零, 則級數(shù)未必 收斂，因此用來判斷級數(shù)發(fā)散很有效. 如級數(shù)例3 討論調和級數(shù)的斂散性. 解 這里一般項 ,不能利用推論判斷級數(shù)

5、的斂散性. 因為一般項un=( )n-1不趨于零，所以發(fā)散. 若令 p = m, 則有故取對任何正整數(shù) N 只要 m N 和 p = m 就有(7)式成立，因此調和級數(shù)發(fā)散. 例4 判斷級數(shù) 的斂散性. 解 因為 所以由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散. 例5 運用級數(shù)收斂的柯西準則證明級數(shù) 收斂.證 由于 因此,當mN及任意正 整數(shù) p,由上式可得 收斂. 注 級數(shù)的收斂性已由例5的證明過程所 顯示. 定理12.2 則對任意常 數(shù)c, d，亦收斂，且根據(jù)級數(shù)收斂的柯西準則, 級數(shù)的收斂與否與 級數(shù)前面有限項的取值無關.從而可得到以下定理. 定理12.3 去掉、增加或改變級數(shù)的有限項并不改變 級數(shù)的斂散性. 注 去掉、增加或改變級數(shù)的有限項雖不改變該級數(shù)的斂散性，但在收斂時，其和一般還是要變的. 由定理12.3知, 其和為S,則級數(shù)第 n 個余項(簡稱余項), 它表示以部分和 Sn 代替S 時所產生的誤差. 定理12.4 在收斂級數(shù)的項中任意加括號, 既不改變 級數(shù)的收斂性,也不改變它的和. 證 設括號后的級數(shù)收斂, 且其和也是 注 從級數(shù)加括號后的收斂,不能推斷它在未加括號 于是, 若 為收斂級數(shù)的部分和數(shù)列, 則級數(shù) 時也收斂. 例如 收斂, 但級數(shù) 卻是發(fā)