圓錐曲線方程單元知識(shí)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載圓錐曲線方程單元知識(shí)總結(jié)【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【命題趨勢(shì)分析】從近三年高考情況看，圓錐曲線的定義、方程和性質(zhì)仍是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，三年平均占分20分，約為全卷分值的13.3%，在題型上一般安排選擇、填空、解答各一道，分別考查三種不同的曲線，而直線與圓錐曲線的位置關(guān)系又是考查的重要方面。例1（20XX年江蘇卷理科第13題）橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，2），則k_。分析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后求解。1a2b21，由ca2b2解橢圓方程即y2x2551k5k12解k得k=1。點(diǎn)評(píng)由焦點(diǎn)在y軸上，其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)化為y2x2a2b21的形式，若此題變化為：已知曲

2、線5x2ky25的焦距為4，則k_。（則應(yīng)分兩種情況討論：1）若為橢圓，則k=1；2）若為雙曲線，方程即為x2y2115ka21，由b2學(xué)習(xí)必備歡迎下載5k55，由ca2b212，得k。k3916例2（20XX年全國卷理科第14題）雙曲線x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn)為FF，點(diǎn)P12在雙曲線上，若PFPF，則點(diǎn)P到x軸的距離為_。12分析本題主要考查雙曲線的定義，從“形”的角度看，只需求出RtPFF斜邊FF1212上的高，可用第一定義求解；從“數(shù)”的角度看，只需求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y，先利用第二0定義即焦半徑公式表示出|PF|，|PF|，由勾股定理求出x，再代入雙曲線方程即可求120出y的值；由于點(diǎn)P在以F

3、F為直徑的圓上，因此，解決本題一個(gè)最基本的方法，則是利012用交跡法求出點(diǎn)P。解法一設(shè)|PF|m1|PF|n，且由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則2mn=2a6，m2n24c2100，2得2mn=64，mn=32，作PQx軸于Q，則在RtPFF中，12|PQ|mnFF12321616，即點(diǎn)P到x軸的距離為，1055解法二設(shè)P(x，y)(x0，y0)，由第二定義可得0000exa，|PF|exexa，PFPF，cc|PF1|ex0a2a2020012即e2x22c2a2，這里a=3c=5e535(exa)2(exa)24c2，003，代入得x41。00由雙曲線方程得y21601925500

4、 x225616，y。解法三設(shè)P(x，y)(x0，y0)，PFPF000012點(diǎn)P在以FF為直徑的圓上，即12學(xué)習(xí)必備歡迎下載16x29y2144，由，消去x2，得y2256255x2y225，又點(diǎn)P在雙曲線上，0016，y。00000點(diǎn)評(píng)（1）由雙曲線的對(duì)稱性，可將點(diǎn)P設(shè)定在第一象限內(nèi)，而不必考慮所有的情況。（2）解題的目標(biāo)意識(shí)很重要，例如在解法一中只需整體求出mn的值，而不必將m，n解出；在解法三中只需求y即可；0（3）在三種解法中，以解法三最簡(jiǎn)潔，因此，最基本的方法有時(shí)也是最有效的方法。（4）如果將問題改為：當(dāng)FPF為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是12_。那么，可先求出使PFPF時(shí)的點(diǎn)

5、P的橫坐標(biāo)為x1203541，由圖形直觀及雙曲線的范圍可得，2000年高考理科第14題考查了橢圓中與此類似的問題。例3（2000年全國卷理科第11題）過拋物線yax2(a0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則11等于（）pqA2aB1解拋物線方程即x214C4aD2aa分析此題主要考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用焦半徑公式來解決。1）y，記m，則F（0，m，而直線PQ的方程可設(shè)為x=ka4a（ym），代入拋物線方程x24my得k2y22(k22)myk2m20，設(shè)P(x，y)，Q(x，y)，則11221kyym22(k22)yy2212m,而pym，q

6、ym，12于是，pqyy2m122(k22)4(k21)m2mm，k2k2故，1pq(ym)(ym)yym(yy)m21212121pq14a。pqpqm4(k21)k2m2。學(xué)習(xí)必備歡迎下載|PF|y14a4a4a當(dāng)k=0時(shí)，易證結(jié)論也成立，因而選C。點(diǎn)評(píng)（1）由于所給拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，故其焦點(diǎn)是(0，1)，焦半徑公式是4a11（，而不能寫成|PF|x。2）解題中，令m以及將直線PQ的11（方程設(shè)為x=k（ym），都是為了簡(jiǎn)化運(yùn)算。3）作為一道選擇題，如此解法顯然是不經(jīng)濟(jì)的，可以利用上節(jié)例5中的結(jié)論3直接得出結(jié)果，因此，記住一些重要結(jié)論，對(duì)提高解題效率無疑是有益的。（4）特例法也是解選擇

7、題的常用的解題方法，本題只需考慮PQ/x軸，即為通徑的情況，可立即得出結(jié)果。例4（20XX年全國卷理科第19題）設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/x軸，證明直線AC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O。分析本小題主要考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力，證明三點(diǎn)共線，只須證明OC、OA兩直線的斜率相等，也可利用拋物線的性質(zhì)證明AC與x軸的交點(diǎn)N恰為EF的中點(diǎn)，從而N與O重合，證得結(jié)論。解法一易知焦點(diǎn)F(，設(shè)直線AB的方程是xmyp20)p2，代入拋物線方程得y11，22pyy22pmp20設(shè)A(x，y)，B(x，y)，則

8、1122p2yyp2，即y。1221py2因BC/x軸，且C在準(zhǔn)線1上，故點(diǎn)C(，y)，且y22px，從而x211從而OA1ppyxy2ykOC21yp22pyy2p，k1y1112212p，于是，kOCkOA，從而A、O、C三點(diǎn)共線，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。，解法二如圖，設(shè)準(zhǔn)線1交x軸于點(diǎn)EAD1于D，連AC交EF于點(diǎn)N，由AD/EF/BC，得|EN|學(xué)習(xí)必備歡迎下載|CN|BF|AD|BF|，即|EN|，|AD|AC|AB|AB|NF|AF|AF|BC|，即|NF|，|BC|AB|AB|又由拋物線的性質(zhì)可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入可得|EN|=|NF|，即N為EF的中點(diǎn)

9、，于是N與點(diǎn)O重合，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。點(diǎn)評(píng)（1）本例解法一利用曲線的方程研究曲線的性質(zhì)，充分體現(xiàn)了用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想，而解法二則充分利用了拋物線的幾何性質(zhì)及相似三角形中的有關(guān)知識(shí)。（2）在解法一中，直線AB方程的設(shè)法值得推崇，從思路分析看，若證kOCkOC，即證px2ppyyyy2y2p21，將x1代入后即證2，即證yyp2，為此應(yīng)通過直線AB121122的方程及拋物線方程y22px聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，解法一中的這一設(shè)法，既回避了直線方程的變形過程使運(yùn)算簡(jiǎn)單，同時(shí)也回避了當(dāng)ABx軸的情況的討論，若將AB方程設(shè)為yk(xp2（)，則必須對(duì)k不存在的情況作出說明。3

10、）試驗(yàn)修訂本（必123習(xí)題86第6題是：過拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）PP、Q，經(jīng)過點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，求證直線MQ平行于拋物線的對(duì)稱軸，可見，這道高考題實(shí)際上是課本習(xí)題的一個(gè)逆命題，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，對(duì)課本典型例題，習(xí)題要加強(qiáng)研究。例5（20XX年江蘇卷第20題）設(shè)A、B是雙曲線x2y221上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)。（1）求直線AB的方程；（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？（分析本題主要考查直線、圓及雙曲線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。求直線AB

11、的方程，可以設(shè)出其點(diǎn)斜式，與雙曲線方程聯(lián)立消元，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)公式求出其斜率，由于涉及“中點(diǎn)弦”問題，亦可利用“設(shè)而不求”法解決。對(duì)于第（2）小題，根據(jù)圖形特征，若四點(diǎn)共圓，則CD必為其直徑，至少可有以下三種解題思路：（1）判斷CD中點(diǎn)到四點(diǎn)是否等距；2）判斷是否有ACAD；（3）判斷A、B兩點(diǎn)是否以CD為直徑的圓上。解（1）解法一：設(shè)AB：y=k（x1）+2代入x2y221，整理得(2k2)x22k(2k)x(2k2)20。設(shè)A(x，y)，B(x，y)，則1122學(xué)習(xí)必備歡迎下載2k20，且xx12因N（1，2）是AB的中點(diǎn)，故xx2，于是122k(2k)2k22k(2k)2k22，解得

12、k=1，從而所求直線AB的方程為y=x+1。解法二：設(shè)A(x，y)，B(x，y)，代入雙曲線方程得112212x2x2y221y22,222(xx)(xx)(yy)(yy)。12121212因N（1，2）為AB的中點(diǎn)，故xx2，yy4，將它們代入上式可得1212xxyy，從而k1212AB1，于是直線AB的方程為y=x+1。（2）將k=1代入方程得，x22x30，解得x1，x3。12由y=x+1得，y0，y4，即A（1，0），B（3，4），而直線CD的方程是y121=（x2），即y=3x，代入雙曲線方程并整理得x26x110設(shè)C(x，y)，D(x，y)，則xx6，xx11。334434342解

13、法一：設(shè)CD中點(diǎn)為M(x，y)，則xx3x00043，于是y03x6，0即M（3，6）。因|CD|(xx)2(yy)22(xx)23434342(xx)24xx4103434故|MC|MD|210。又|MA|MB|(xx)2(yy)22(xx)23434342(xx)24xx4103434即ABCD四點(diǎn)與點(diǎn)M的距離相等，從而A、B、C、D四點(diǎn)共圓。解法二：由xx6，xx11得，xx(3x)(3x)12，34343434yy(3x)(3x)16，故3434ADy41，即ACAD。kACkyyy334x1x1xx(xx)1343434由對(duì)稱性可知，BCBD，于是A、B、C、D四點(diǎn)共圓。解法三：以C

14、D為直徑的圓的方程是(xx)(xx)(yy)(yy)0，即3434x2y2(xx)x(yy)yxxyy0。34343434學(xué)習(xí)必備歡迎下載例6設(shè)F、F分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，試問：在橢圓上是否存在一點(diǎn)P，43將xx6，xx11，xx12，xx16，代入得34343434x2y26x12y50，即(x3)2(y6)240。因(x3)2(y6)2(13)2(06)240，11(x3)2(y6)2(33)2(46)240，22故A、B在以CD為直徑的圓上，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓。（點(diǎn)評(píng)（1）處理直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，要重視韋達(dá)定理的應(yīng)用。2）“設(shè)而不求”是解決“中點(diǎn)弦”問題常用的方法，通過“設(shè)

15、而不求”可以建立弦所在直線的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，本題已知中點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定出直線的斜率。3）判斷四點(diǎn)共圓的方法很多，注意從多種不同的角度進(jìn)行思考，鍛煉思維的靈活性?！镜湫蜔狳c(diǎn)考題】1探究x2y212使得FPF90？為什么？12分析根據(jù)點(diǎn)P滿足的條件，探究是否能夠?qū)Ⅻc(diǎn)P的坐標(biāo)求出，若能，則存在；若不能，則不存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)，有以下兩條思路：思路一設(shè)P(x，y)，用焦半徑公式將|PF|，|PF|用x表示，由00120|PF|2|PF|2|FF|2，探求x是否存在。12120思路二由FPF90知，點(diǎn)P在以FF為直徑的圓上，只須考察該圓與橢圓是1212否存在公共點(diǎn)。思考：畫一個(gè)較為準(zhǔn)確的圖形

16、，不難發(fā)現(xiàn)，圓xy1與橢圓22x2y21沒有公44共點(diǎn)，所以這樣的點(diǎn)P是不存在的，關(guān)鍵是這個(gè)橢圓太“圓”了，由此引發(fā)我們思考：為使點(diǎn)P存在，橢圓應(yīng)盡量“扁”一些，也即其離心率應(yīng)該較大，于是我們可以去思考一個(gè)一般性的問題：一般化：若橢圓x2ya2b2學(xué)習(xí)必備歡迎下載1(ab0)上存在一點(diǎn)P，使得FPF90，求離心12率e的取值范圍。1)利用例6提供的兩個(gè)思路均可得到e2，從而驗(yàn)證了我們的猜想。2再思考：考察點(diǎn)P從長軸端點(diǎn)A始沿橢圓運(yùn)動(dòng)至A的過程，F(xiàn)PF由0逐漸增大2112后又逐漸減小為0，猜想在某一位置必然取得最大值，試問：這個(gè)最大值是多少？又在何處取得？從橢圓的對(duì)稱性來看，我們可以猜想：當(dāng)點(diǎn)P

17、在短軸端點(diǎn)B處時(shí)，F(xiàn)PF取得12最大值，是不是這樣呢？利用焦半徑公式及余弦定理不難驗(yàn)證這一猜想是正確的。若設(shè)FPF，我們有cos122b2a21?；仡^看，在例6中，a24，b23，代入可得cos使=90的點(diǎn)P是不存在的。12，故060，可見又一個(gè)問題：若橢圓x2y2ab21上存在一點(diǎn)P，使APA120（A、A為長軸1212端點(diǎn)），求離心率e的取值范圍。分析PA、PA不再是橢圓的焦半徑，按照例6中的思路一已經(jīng)不能解決問題，但是12我們知道，使APA120的點(diǎn)P是軌跡是關(guān)于AA對(duì)稱的兩段圓弧，可先求出圓弧所1212在圓的方程，然后按照思路二進(jìn)行研究，下面我們給出這一問題的解答。解由對(duì)稱性，不妨設(shè)P(x，y)(y0)，則k000PA1yy0，k0PA1xaxa00，由到角公式得PA2ktg120kPA2kPA11k