有限元基礎(chǔ)知識(shí)第一章123節(jié)

1、第一章 桿系結(jié)構(gòu)有限元分析的基本原理 返回 桿系結(jié)構(gòu)是一類最為常見的廣泛應(yīng)用的結(jié)構(gòu)，因而，桿系結(jié)構(gòu)有限元分析方法（通常又稱為矩陣分析方法）本身具有很大的實(shí)用意義。 1-1 引 言 桿系結(jié)構(gòu)矩陣分析方法實(shí)際上是對任何離散化結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析的典型方法。對于板、殼和三維彈性體，一旦單元力學(xué)特性確定之后，全部分析求解過程與桿系結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是類似的。因此，它也是學(xué)習(xí)彈性連續(xù)介質(zhì)有限元法的導(dǎo)引。 桿系結(jié)構(gòu)矩陣分析方法所依據(jù)的力學(xué)原理仍然是結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本力學(xué)原理。 解決任何超靜定結(jié)構(gòu)問題，必須同時(shí)兼顧靜力平衡、變形協(xié)調(diào)這兩個(gè)方面。就基本概念而言，矩陣位移法與一般結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法并無不同。但引入矩陣工具后，

2、可簡潔地闡明分析原理和運(yùn)算過程，并使全部計(jì)算求解過程變得十分規(guī)則，便于編制成為通用性較強(qiáng)的計(jì)算程序上機(jī)運(yùn)算。 桿系結(jié)構(gòu)矩陣位移法的分析求解過程包含三個(gè)基本方面。 一、結(jié)構(gòu)離散化 結(jié)構(gòu)離散化是把給定的桿系結(jié)構(gòu)按適當(dāng)?shù)姆绞絼澐殖扇舾蓚€(gè)桿件，每個(gè)桿件稱為一個(gè)單元，用桿的軸線代表。各桿軸線之間的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。按照自然數(shù)的順序，對所有結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)。 全部未知結(jié)點(diǎn)位移是整個(gè)問題中的基本未知量。二、單元分析 在位移法中，單元分析的核心是建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?每個(gè)桿件單元，都是在其兩端結(jié)點(diǎn)處切開、從結(jié)構(gòu)中取出的一個(gè)分離體。作用在桿單元兩端截面上的結(jié)構(gòu)內(nèi)力稱為單元結(jié)點(diǎn)力。 單元結(jié)點(diǎn)力和單元結(jié)點(diǎn)位移都是未知的

3、。單元分析的主要目的就是建立用未知的結(jié)點(diǎn)位移去確定單元結(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。聯(lián)系單元結(jié)點(diǎn)力與單元結(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系的變換矩陣即單元?jiǎng)偠染仃嚒?三、系統(tǒng)分析 對桿系結(jié)構(gòu)分析的位移法而言，各單元之間僅在結(jié)點(diǎn)處相互連接。相交于某一結(jié)點(diǎn)的各個(gè)單元（桿件），它們的節(jié)點(diǎn)位移（桿端位移）可用上述同一結(jié)點(diǎn)的位移表示，因而位移連續(xù)條件自動(dòng)得到滿足。 在位移法中，把單元組集為完整結(jié)構(gòu)的充分且必要條件就是結(jié)點(diǎn)靜力平衡條件：匯交于某個(gè)結(jié)點(diǎn)的各個(gè)單元（桿件）對該結(jié)點(diǎn)的作用力與作用在該結(jié)點(diǎn)上的外荷載組成平衡力系。 某一桿件對結(jié)點(diǎn)的作用力與結(jié)點(diǎn)對該桿件的作用力（單元結(jié)點(diǎn)力）大小相等，方向相反，因而可通過未知的結(jié)點(diǎn)位移予以表示。因而

4、，結(jié)點(diǎn)靜力平衡條件就體現(xiàn)為未知結(jié)點(diǎn)位移必須滿足的條件。 結(jié)點(diǎn)平衡方程組就提供了確定全部未知結(jié)點(diǎn)位移的一組代數(shù)方程。對于線性彈性結(jié)構(gòu)，這是一組對未知結(jié)點(diǎn)位移而言的線性代數(shù)方程組。方程組的系數(shù)矩陣即結(jié)構(gòu)剛度矩陣 。系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是： (1) 由單元?jiǎng)偠染仃嚱M集結(jié)構(gòu)剛度矩陣。 (2) 求解結(jié)點(diǎn)平衡方程組，解出全部未知結(jié)點(diǎn)位移。 求得全部結(jié)點(diǎn)位移后，利用單元?jiǎng)偠染仃嚰纯伤愠龈鲉卧膬?nèi)力。 線性彈性桿系結(jié)構(gòu)分析基本假定(1) 假定位移和變形都是很小的。 建立平衡方程時(shí)，可不考慮結(jié)構(gòu)的幾何改變。 研究結(jié)構(gòu)變形時(shí)，可以略去應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的二次冪及乘積項(xiàng)。 (2) 假定應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律。 對線性彈性

5、結(jié)構(gòu)而言，疊加原理成立 。 從工程結(jié)構(gòu)角度來看，桿系結(jié)構(gòu)可分為連續(xù)梁、平面桁架、平面剛架、格柵、空間桁架和空間剛架等種基本類型。 對其中任何一種類型，矩陣位移法的分析求解過程都是相同的，程序結(jié)構(gòu)也完全相同，區(qū)別僅在于結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移自由度不同而使得單元?jiǎng)偠染仃嚥煌?1-2 桿系結(jié)構(gòu)類型和結(jié)點(diǎn)自由度結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系與結(jié)點(diǎn)位移定義圖11 結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系與結(jié)點(diǎn)位移 對空間結(jié)構(gòu)的每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)而言，均具有六個(gè)位移自由度，即沿坐標(biāo)軸方向的三個(gè)線位移和三個(gè)角位移。 結(jié)點(diǎn)位移記為 ：或 假定被劃分為單元的每根桿件都是一根等截面直桿或可近似視為一段等截面直桿，并且對該單元而言，所有彈性系數(shù)均為常量。同時(shí)還假定所有外荷載都僅

6、僅作用在結(jié)點(diǎn)上。如果有分布荷載，則假定已按靜力等效原則把它移置為結(jié)點(diǎn)荷載。 一、連續(xù)梁 圖1-2 連續(xù)梁 所有荷載均為作用于平面內(nèi)的荷載。外力矩按右手螺旋法則用雙箭頭矢量表示。所有外力矩均為對軸的矩。 我們用列矢量表示結(jié)點(diǎn)的位移。 亦可記為: 所有結(jié)點(diǎn)位移分量均以坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?。角位移用雙箭頭矢量表示 。二、平面桁架 所謂桁架就是各桿之間的連接假定為理想鉸，因而各桿僅能承受軸向力。結(jié)點(diǎn)位移是由各桿軸向變形引起的，所以結(jié)點(diǎn)位移僅用線位移描述。對平面桁架而言，任一結(jié)點(diǎn)的位移自由度為2 。圖1-3 平面桁架 結(jié)點(diǎn)的位移記為： 或 其中 分別為結(jié)點(diǎn)沿軸和軸方向的線位移。 對平面桁架而言，所有外荷載

7、假定均作用在桁架所在平面內(nèi)，且均為節(jié)點(diǎn)集中荷載，沒有力矩。 三、平面剛架 平面剛架定義（a）結(jié)構(gòu)桿件軸線均位于用一平面內(nèi)。 （b）桿件之間的連接點(diǎn)假定為剛性結(jié)點(diǎn)。 （c）所有外荷載均位于桿件所在的同一平面內(nèi)。 此平面即為各桿件的彎曲平面。 平面剛架中任一結(jié)點(diǎn)具有三個(gè)位移自由度 。圖1-4 平面剛架 或 平面剛架中任一結(jié)點(diǎn)位移可表示為： 平面剛架與平面連續(xù)梁的區(qū)別僅在于是否考慮水平位移（也可略去桿件軸向變形）。 四、格柵 格柵本身為一平面結(jié)構(gòu)，所有桿件均位于同一平面內(nèi)，稱為縱橫梁系統(tǒng)。 格柵與平面剛架的主要區(qū)別在于荷載條件。格柵承受的荷載為： （a）垂直于格柵平面即平行于Z軸的結(jié)點(diǎn)集中力。 （b

8、）在格柵平面內(nèi)的結(jié)點(diǎn)集中力矩。 假定：格柵中每個(gè)桿件的橫截面均有兩根對稱軸，在這個(gè)假定下，桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)彼此互不耦合，可以分別處理。 對格柵中任一結(jié)點(diǎn)而言，具有三個(gè)位移自由度。一個(gè)沿Z軸的線位移（撓度），另外兩個(gè)是截面繞X軸和Y軸的角位移。 圖1-5 格柵 對XY平面內(nèi)的格柵而言，結(jié)點(diǎn)位移為： 或 格柵的支座根據(jù)工程需要設(shè)置，可以是固定端、固定鉸支、活動(dòng)鉸支或彈性支承。 五、空間桁架 空間桁架與平面桁架類似，區(qū)別在于各桿件不在同一平面內(nèi)，結(jié)點(diǎn)為理想球形鉸，任一結(jié)點(diǎn)均有三個(gè)線位移分量： 或 圖1-6 空間桁架的結(jié)點(diǎn)位移 六、空間剛架 空間剛架的任一結(jié)點(diǎn)，均有六個(gè)位移自由度，即沿坐標(biāo)軸方向的三個(gè)

9、線位移和三個(gè)角位移。 或 圖1-7a 三維框架示意圖 圖1-7b 空間剛架的結(jié)點(diǎn)位移示意圖 1-3局部坐標(biāo)系 單元分析的核心是建立桿端內(nèi)力與桿端位移之間的關(guān)系式，即建立單元?jiǎng)偠染仃嚒卧治龆?，采用適合于該單元具體方位的坐標(biāo)系將會(huì)方便得多。這種附屬于某個(gè)單元的坐標(biāo)系，稱為單元坐標(biāo)系或局部坐標(biāo)系。 桿系結(jié)構(gòu)的基本類型雖有如前所述的六類，但對各個(gè)桿件（單元）的類型而言，可分為梁單元和鉸接桿單元兩大類。 典型的三維梁單元如圖1-8所示 圖1-8 三維梁單元局部坐標(biāo)系 設(shè)e號(hào)單元兩端結(jié)點(diǎn)號(hào)碼分別為i、j取結(jié)點(diǎn)i作為號(hào)單元局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)；取結(jié)點(diǎn)i到結(jié)點(diǎn)j的桿軸（形心軸）方向?yàn)閤軸正方向（也稱局部坐標(biāo)系1軸）； 對于梁單元，取 i 端截面上的兩個(gè)形心主慣性軸作為軸（2軸）和軸（3軸）。坐標(biāo)系（1、2、3