為什么要證明教學(xué)設(shè)計(jì)聶慧

1、第七章 平行線的證明1為什么要證明貴陽市第十七中學(xué) 聶慧一、 內(nèi)容和內(nèi)容解析1、 內(nèi)容感受證明的必要性,了解檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法。2、 內(nèi)容解析本節(jié)課是義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)（北師大版）第七章第一節(jié)。學(xué)生在從小學(xué)到初中的三個(gè)學(xué)段中，認(rèn)識(shí)圖形的要求有著明顯的層次性，從“辨認(rèn)”到“初步認(rèn)識(shí)”，再從“認(rèn)識(shí)”到“探索并證明”。這種層次性既體現(xiàn)了從整體到局部的認(rèn)識(shí)過程，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，逐步深入，循序漸進(jìn)。這節(jié)內(nèi)容設(shè)置在八年級(jí)，已經(jīng)是第三學(xué)段中期。在七年級(jí)時(shí)教材已經(jīng)設(shè)置了基本平面圖形、相交線與平行線和三角形的學(xué)習(xí)，學(xué)生通過觀察、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)、操作等活動(dòng)探究得到了很多正確的結(jié)論，學(xué)生也嘗試進(jìn)行了

2、一些驗(yàn)證和說理，基本認(rèn)可這些結(jié)論，但并沒有進(jìn)行嚴(yán)格的證明，因而容易給學(xué)生造成一些錯(cuò)覺，認(rèn)為通過探究得到的結(jié)論都是正確的。本節(jié)課就是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納等活動(dòng)得到的結(jié)論未必可靠，就是可靠的結(jié)論也需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明，初步感受證明的必要性，從而為后面學(xué)習(xí)演繹推理埋下伏筆。根據(jù)以上對(duì)教材地位和作用的分析，結(jié)合課標(biāo)對(duì)本節(jié)課的要求，我將本節(jié)課的重點(diǎn)確定為：知道觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納所得到的結(jié)論未必可靠，初步感受證明的必要性，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1、 目標(biāo)（1）經(jīng)歷觀察、驗(yàn)證、歸納等過程，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，對(duì)由這些方法所得到的結(jié)論產(chǎn)生懷疑，從而認(rèn)識(shí)證明的必要性。 （2）了解檢驗(yàn)數(shù)

3、學(xué)結(jié)論的常用方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉反例論證、推理論證等，并能運(yùn)用這些方法來驗(yàn)證某些問題的結(jié)論正確與否，發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí) （3）在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；通過實(shí)驗(yàn)和探究活動(dòng)，養(yǎng)成合作交流、反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成修正錯(cuò)誤、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。2、目標(biāo)解析目標(biāo)（1）達(dá)成的標(biāo)志是學(xué)生通過“觀察圖片”、“比較線段長(zhǎng)短”的問題、“鐵絲圍地球”的問題、“費(fèi)馬數(shù)”的問題等，發(fā)現(xiàn)通過觀察、猜測(cè)、歸納等活動(dòng)得到的結(jié)論不一定都正確，從而認(rèn)識(shí)到證明的必要性 目標(biāo)（2）達(dá)成的標(biāo)志是通過學(xué)生在經(jīng)歷多次錯(cuò)誤的觀察、猜想判斷后，不再隨意猜測(cè)，而是通過測(cè)量、計(jì)算、推理

4、、舉反例等方法來有理有據(jù)地證明這些結(jié)論正確與否。逐步形成推理的意識(shí)，學(xué)會(huì)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、推理論證或舉反例論證。目標(biāo)（3）達(dá)成的標(biāo)志是學(xué)生對(duì)本節(jié)課產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，能夠小組合作交流，對(duì)老師或同學(xué)提出問題不會(huì)盲目地跟從，而是要有嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。三、 教學(xué)問題診斷分析在七年級(jí)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)了很多與幾何相關(guān)的知識(shí)，為今天的進(jìn)一步的學(xué)習(xí)作好了知識(shí)儲(chǔ)備，同時(shí)， 在以往的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)參與了對(duì)幾何圖形的觀察、比較、動(dòng)手操作、猜測(cè)、歸納等活動(dòng)，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)今天本節(jié)課的討論、自主探究等活動(dòng)有很大的幫助八年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具有一定的分析問題、解決問題的能力，在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也經(jīng)歷了很多

5、驗(yàn)證結(jié)論合理性的過程，有了初步的邏輯推理思維，合情推理能力也得到了很大的提高，為今天系統(tǒng)的培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Υ蛳铝肆己玫幕A(chǔ)但是，“鐵絲圍地球”的問題中，將地球赤道長(zhǎng)用一個(gè)字母C表示，從而地球半徑、鐵絲圍成的圓的半徑都可以用字母C表示，這對(duì)于八年級(jí)乃至于初中學(xué)生而言都很難想到，在此處可以將赤道的長(zhǎng)具體化：例如用其近似值表示出來，這樣可以降低難度；而對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，老師也可以鼓勵(lì)他們用字母來表示。在證明“三角形外角和等于360°”時(shí)，學(xué)生可能還不能寫出很規(guī)范的證明過程，此處只要學(xué)生有推理證明的意識(shí)，并能說清楚即可。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：探索“用一根比地球的赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球

6、赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大？”；會(huì)用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉反例驗(yàn)證、推理論證等方法來驗(yàn)證某些問題的結(jié)論正確與否。四、教學(xué)策略分析學(xué)生的直觀能力是數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中要培養(yǎng)的一個(gè)方面，但如果學(xué)生僅有對(duì)圖形的直觀感受而不能進(jìn)行推理、論證，有時(shí)是會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論，本課時(shí)先由幾幅容易讓學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)覺的圖片入手讓學(xué)生的直觀感受與實(shí)際結(jié)果之間產(chǎn)生思維上的碰撞，使學(xué)生對(duì)原有的直觀感覺產(chǎn)生懷疑，從而感受對(duì)某一事物進(jìn)行合理論證的必要性。在例題的選擇上，由于中位線定理學(xué)生雖然容易猜想并測(cè)量出正確的結(jié)論，但是證明還是很困難的，無法體現(xiàn)通過證明來驗(yàn)證結(jié)論的正確性，所以此處我將該例題更換成“探索并證明三角形的外角和

7、為360°”，學(xué)生既可以通過測(cè)量得到結(jié)論也可以通過證明來驗(yàn)證結(jié)論。對(duì)于書上“做一做”的（1）小題，由于學(xué)生沒有接觸過數(shù)學(xué)歸納法，也可能想不到用舉反例的方法來推翻一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，所以此處我先介紹“費(fèi)馬和歐拉的”故事，一方面讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，知道數(shù)學(xué)家也會(huì)犯錯(cuò)，培養(yǎng)學(xué)生反思質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，另一方面給學(xué)生呈現(xiàn)可以用舉反例的方法來證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，這樣再讓學(xué)生完成這個(gè)題就簡(jiǎn)單很多。五、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)1、 創(chuàng)設(shè)情境、引入新課：感受“眼見未必為實(shí)”師生活動(dòng)：教師展示幾幅容易讓學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)覺的照片，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。問題1：圖中a、b兩條線段哪條長(zhǎng)？ 師生活動(dòng)：很多學(xué)生會(huì)憑視覺感受回答

8、，有的學(xué)生會(huì)憑空猜想，答案多種多樣。 追問1：你怎么證明你的猜想？ 師生活動(dòng)：可以通過刻度尺測(cè)量、圓規(guī)截取等方法獲得正確答案。 追問2：通過剛才的活動(dòng)，你能談?wù)剬?duì)“耳聽為虛，眼見為實(shí)”的理解嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生通過上述活動(dòng)發(fā)現(xiàn)：眼見未必為實(shí)，我們要通過測(cè)量、實(shí)驗(yàn)等來驗(yàn)證自己的結(jié)論。教師明晰：現(xiàn)實(shí)生活中，我們常用觀察的方法來了解世界。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們也用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納的方法得出了很多結(jié)論，觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納的方法得到的結(jié)論不一定正確，所以我們要進(jìn)行有理有據(jù)的證明。教師板書課題：“為什么要證明”。設(shè)計(jì)意圖：為了增強(qiáng)趣味性，我展示了一組圖片，讓學(xué)生產(chǎn)生視覺沖突，初步體會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納所得的結(jié)論未必

9、可靠，感受證明的必要性。2、自主探索、敢于猜想：猜想并驗(yàn)證活動(dòng)1問題1、如圖，假如用一根比地球的赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進(jìn)一根頭發(fā)絲嗎？能放進(jìn)一顆葡萄嗎？能放進(jìn)一個(gè)網(wǎng)球嗎？ 師生活動(dòng)： 在剛一提出這一問題時(shí)，大部分學(xué)生都會(huì)下意識(shí)地認(rèn)為這個(gè)縫隙應(yīng)該會(huì)很小，所以多數(shù)學(xué)生選擇只能放進(jìn)一根頭發(fā)絲。之后教師展示一個(gè)圓環(huán)和一個(gè)球，建立數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生思考，通過證明發(fā)現(xiàn)猜測(cè)與實(shí)際的巨大差異，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感受證明的必要性。參考答案：設(shè)赤道周長(zhǎng)為C，鐵絲與地球赤道之間的間隙為 ： 它們的間隙不僅能放進(jìn)一顆葡萄，而且也能放進(jìn)一個(gè)網(wǎng)球追問1：

10、如果把地球換成籃球或者乒乓球，其他條件不變呢？又能放進(jìn)什么？師生活動(dòng)：從上面的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，只要鐵絲周長(zhǎng)比物體周長(zhǎng)長(zhǎng)1米時(shí)，其縫隙大小與物體周長(zhǎng)無關(guān)，仍然是0.16m.追問2：通過這個(gè)問題，你有什么感受？師生活動(dòng)：總結(jié)：對(duì)一個(gè)結(jié)論的正確與否一定不能靠猜測(cè)，要進(jìn)行有理有據(jù)的證明。設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)我用問題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考.通過理性的計(jì)算，驗(yàn)證了很難想像到的結(jié)論，讓學(xué)生產(chǎn)生思維上的碰撞，進(jìn)而對(duì)自己的直觀感覺產(chǎn)生懷疑，再次為證明的必要性提供素材但要注意的是要充分讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，首先讓學(xué)生對(duì)自己的結(jié)論確信無疑，再進(jìn)一步計(jì)算，結(jié)果與學(xué)生的感覺產(chǎn)生矛盾，切忌直接進(jìn)行計(jì)算，把結(jié)論告訴學(xué)生，這樣就達(dá)不到預(yù)

11、想的要求，不能讓學(xué)生留下深刻的印象.本題設(shè)置的追問是對(duì)教材的提升，學(xué)生只要認(rèn)真分析不難得到結(jié)論，發(fā)展了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升了學(xué)生的思維深度和廣度。3、深化新知、鞏固創(chuàng)新：猜想并驗(yàn)證活動(dòng)2問題1、對(duì)于所有自然數(shù)代數(shù)式n2-n+11的值是質(zhì)數(shù)嗎？師生活動(dòng)1：我們?cè)诎l(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，其實(shí)數(shù)學(xué)家也會(huì)犯錯(cuò)，我們來聽聽這位數(shù)學(xué)家的故事：介紹費(fèi)馬數(shù)，了解數(shù)學(xué)史。從這個(gè)故事我們知道了：要證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，舉反例一種常用的方法。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生沒有接觸過數(shù)學(xué)歸納法，也可能想不到用舉反例的方法來推翻一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，通過這個(gè)故事讓學(xué)生知道：沒有嚴(yán)格的推理，僅由若干特例歸納、猜測(cè)的

12、結(jié)論,并不可靠，可能潛藏著錯(cuò)誤；通過這個(gè)故事，讓學(xué)生學(xué)習(xí)歐拉的求實(shí)態(tài)度與科學(xué)精神；要證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，舉反例就是一種常用方法。追問1：現(xiàn)在“對(duì)于所有自然數(shù)代數(shù)式n2-n+11的值是質(zhì)數(shù)”這一說法，你贊同嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分小組討論，如果贊同給出證明過程，如果不贊同舉出反例。很快學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=12時(shí)，代數(shù)式的值為121，不是質(zhì)數(shù)，這就是一個(gè)反例，所以上述結(jié)論是錯(cuò)誤的。 問題2：如圖ABC內(nèi)角的一條邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角稱為ABC的外角，1、 2、 3都是ABC的外角，請(qǐng)你猜一猜， 1、 2和 3的和是多少度？ 師生活動(dòng)：學(xué)生猜想結(jié)論：1+2+3=360º 追問1：你是

13、怎么得到這個(gè)結(jié)論的？ 師生活動(dòng)：學(xué)生暢所欲言，可以是測(cè)量得到結(jié)論，也可以是證明得到結(jié)論，但是老師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：測(cè)量會(huì)存在誤差，我們?nèi)匀恍枰欣碛袚?jù)的證明來得到結(jié)論。 參考答案：1+4=180°，2+5=180°，3+6=180°， 1+4+2+5+3+6=3×180° 4+5+6=180°1+2+3=3×180°-180°=360°追問2：改變?nèi)切蔚男螤睿銈兊慕Y(jié)論還成立嗎？ 師生活動(dòng)：通過上題的證明發(fā)現(xiàn)，三個(gè)外角之和與三角形的形狀無關(guān)，結(jié)果仍然是360°. 設(shè)計(jì)意圖：通過以上兩個(gè)

14、例子（一個(gè)是代數(shù)的，一個(gè)是幾何的；一個(gè)是錯(cuò)誤的，一個(gè)是正確的）引發(fā)學(xué)生對(duì)觀察、歸納得到的結(jié)論的懷疑，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韥碜C明結(jié)論。4、交流討論、建立觀念：議一議 問題1、你怎樣判斷一個(gè)結(jié)論是否正確？ 師生活動(dòng)： 通過以上幾個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生對(duì)每一個(gè)問題的結(jié)論的正確性有了懷疑，從而知道了由觀察、猜想等渠道得到的結(jié)論不一定正確，還必須經(jīng)過有理有據(jù)的證明才能對(duì)其進(jìn)行肯定，也即：要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是正確，僅觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)還不夠，必須經(jīng)過一步一步， 有根有據(jù)的推理 檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確的常用方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉反例論證、推理論證. 設(shè)計(jì)意圖：通過相互交流，讓學(xué)生進(jìn)一步對(duì)“通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納

15、得到的結(jié)論不一定都正確”有一個(gè)更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)，從而認(rèn)識(shí)到證明的必要性，再次幫助學(xué)生建立推理意識(shí) 5、隨堂練習(xí) 1.下圖中a、b兩條線段那條長(zhǎng)： 答案：a=b 2.當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，n2+3n+1的值一定是質(zhì)數(shù)嗎？ 答案：不一定，經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)n=6時(shí)，n2+3n+1=55，是一個(gè)合數(shù). 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生繼續(xù)體會(huì)：實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確，體會(huì)證明的必要性。 6、回顧反思、感悟提升： 談?wù)勀愕氖斋@？ 學(xué)生根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)發(fā)表自己的觀點(diǎn)：1、實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論不一定正確。因此，要判斷一個(gè)結(jié)論是否正確，僅靠實(shí)驗(yàn)，觀察，歸納是不夠的，必須進(jìn)行有理有據(jù)的證明。 2、檢驗(yàn)一

16、個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確的常用方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉反例論證、推理論證. 設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，使學(xué)生對(duì)證明的必要性有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)杜絕隨意性，數(shù)學(xué)是嚴(yán)密的科學(xué). 7、布置作業(yè) A層次學(xué)生：課本第164頁習(xí)題7.1第1題 B層次學(xué)生：課本第164頁習(xí)題7.1第1、2、3題 設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的作業(yè)設(shè)置為分層作業(yè)，通過分層練習(xí)使每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。通過作業(yè)反饋學(xué)生掌握知識(shí)的效果，以利課后解決學(xué)生尚有疑惑的地方，調(diào)整教學(xué)安排。六、 目標(biāo)檢測(cè)題1、在學(xué)習(xí)中，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=1，2，3時(shí)，n26n的值都是負(fù)數(shù)于是小明猜想：當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，n26n的值都是負(fù)數(shù)小明的猜想正確嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明你

17、的理由設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生會(huì)用舉反例的方法證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。2、張、王、李三人預(yù)測(cè)甲、乙、丙、丁四個(gè)隊(duì)參加足球比賽的結(jié)果：王說：“丁隊(duì)獲得冠軍，乙隊(duì)獲得亞軍”；李說：“甲隊(duì)獲得亞軍，丙隊(duì)獲得第四”；張說：“丙隊(duì)獲得第三，丁隊(duì)獲得亞軍”賽后得知，三人都只猜對(duì)了一半，親愛的同學(xué)，你能判斷誰獲得了冠軍嗎？說說你的理由設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生的邏輯思維能力及推理論證能力。七、教學(xué)反思本節(jié)課已基本完成教學(xué)目標(biāo)，達(dá)到預(yù)設(shè)的教學(xué)效果，課堂氣氛活躍，師生互動(dòng)良好，學(xué)生在課堂中表現(xiàn)突出，思維活躍，解題方法多樣。在能力培養(yǎng)方面注重發(fā)展學(xué)生的合作交流意識(shí)、空間觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，符合課標(biāo)對(duì)學(xué)生“四基四能”的要求。尊重學(xué)生的直觀感覺，并從學(xué)生的直觀感覺出發(fā)逐步將學(xué)生的思維引向嚴(yán)密性、邏輯證明等方面，不是一味地強(qiáng)調(diào)證明的必要性，而是通過幾個(gè)事實(shí)的說明來讓學(xué)生意識(shí)到證明的必要性，設(shè)計(jì)中突出體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位?；仡櫛竟?jié)課的教學(xué)，有以下幾點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)和不足：優(yōu)點(diǎn)：1.本節(jié)課的問題由學(xué)生發(fā)現(xiàn)，操作由學(xué)生實(shí)踐，猜想由學(xué)生提出，驗(yàn)證由學(xué)生完成。教師只起主導(dǎo)的作用，充分體現(xiàn)了學(xué)生在活動(dòng)中的主體地位。2.本節(jié)課通過事例讓