函數(shù)極限連續(xù)2PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)極限連續(xù)函數(shù)極限連續(xù)2 如果按照某一法則，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn，xn按下標(biāo)由小到大排列得一序列 就叫做無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列，記做xn.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng)（通項(xiàng)）. ，nxxxx321第1頁(yè)/共39頁(yè)數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念 如果數(shù)列xn，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列xn的取值無(wú)限接近常數(shù)a，就稱(chēng)a 是xn當(dāng)n 時(shí)的極限，記作 如果數(shù)列沒(méi)有極限，稱(chēng)數(shù)列是發(fā)散的第2頁(yè)/共39頁(yè) 1. 收斂數(shù)列xn的極限是唯一的 2.收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂。 3.無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散 4.收斂數(shù)列的極限有的可以達(dá)到，有的不能達(dá)到。例如，

2、常數(shù)列可以達(dá)到它的極限。收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)第3頁(yè)/共39頁(yè)1）自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第4頁(yè)/共39頁(yè)2）自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第5頁(yè)/共39頁(yè)3）左、右極限第6頁(yè)/共39頁(yè)第7頁(yè)/共39頁(yè)函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)第8頁(yè)/共39頁(yè)函數(shù)極限的運(yùn)算函數(shù)極限的運(yùn)算1）無(wú)窮小、無(wú)窮大無(wú)窮小的定義第9頁(yè)/共39頁(yè)無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小推論推論1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小推論推論2 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小第10頁(yè)/共39頁(yè)無(wú)窮大第11頁(yè)/共39頁(yè)無(wú)窮小的比較第12頁(yè)/共39頁(yè)第1

3、3頁(yè)/共39頁(yè)2）極限的四則運(yùn)算法則第14頁(yè)/共39頁(yè)第15頁(yè)/共39頁(yè)3）兩個(gè)準(zhǔn)則第16頁(yè)/共39頁(yè)第17頁(yè)/共39頁(yè)4）兩個(gè)重要極限第18頁(yè)/共39頁(yè)第19頁(yè)/共39頁(yè)連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念1）增量的概念三、函數(shù)的連續(xù)性第20頁(yè)/共39頁(yè)2）連續(xù)的定義第21頁(yè)/共39頁(yè)3）左連續(xù)、右連續(xù)的定義第22頁(yè)/共39頁(yè);)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)為為并并稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)則則稱(chēng)稱(chēng)要要有有一一個(gè)個(gè)不不滿(mǎn)滿(mǎn)足

4、足如如果果上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中只只xfxxxf函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)第23頁(yè)/共39頁(yè)1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱(chēng)點(diǎn)義則稱(chēng)點(diǎn)處無(wú)定處無(wú)定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第24頁(yè)/共39頁(yè)2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱(chēng)點(diǎn)則稱(chēng)點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左

5、處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy第25頁(yè)/共39頁(yè)解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為

6、第一類(lèi)間斷點(diǎn). .特特點(diǎn)點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x第26頁(yè)/共39頁(yè)3.第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類(lèi)間斷點(diǎn)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱(chēng)點(diǎn)則稱(chēng)點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱(chēng)為無(wú)窮間這種情況稱(chēng)為無(wú)窮間第27頁(yè)/共39頁(yè)例例.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf

7、解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類(lèi)間斷點(diǎn)為第二類(lèi)間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱(chēng)為的振蕩間這種情況稱(chēng)為的振蕩間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).第28頁(yè)/共39頁(yè)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算第29頁(yè)/共39頁(yè)第30頁(yè)/共39頁(yè)初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性第31頁(yè)/共39頁(yè)定義:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間Ixfxf

8、xfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y第32頁(yè)/共39頁(yè) ( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.第33頁(yè)/共39

9、頁(yè)xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy ( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf第34頁(yè)/共39頁(yè).),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf 第35頁(yè)/共39頁(yè) ( (介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )

10、( 及及 Bbf )(, , 那末，對(duì)于那末，對(duì)于A與與B之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間，在開(kāi)區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得Cf )( )(ba . . 第36頁(yè)/共39頁(yè)幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線(xiàn)直線(xiàn)與水平與水平連續(xù)曲線(xiàn)弧連續(xù)曲線(xiàn)弧Cyxfy 第37頁(yè)/共39頁(yè)推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1111.)1 , 0(01423至少有一根至