中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)(中考題型整理,突破提升)含詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)(中考題型整理，突破提升)含詳細(xì)答案一、銳角三角函數(shù)1 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,/AEF=90； AE=EF過(guò)點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為 H,連接AC.(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：/ACF=90;連接AF,過(guò)A, E, F三點(diǎn)作圓，如圖2.若EC=4, ZCEF=15, W熊的長(zhǎng).圖1圖2【答案】(1) BE=FH；理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)/=2?！窘馕觥吭囶}分析：(1)由ABEEHF (SAS即可得到 BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而B(niǎo)C=AB, FH=EB從而可知

2、 FHC是等腰直角三角形，/ FCH為45,而/ ACB也為45,從而可證明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直徑，設(shè)圓心為 O,連接EO,過(guò)點(diǎn)E作ENL AC于點(diǎn)N, 則可得4ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得 AE的長(zhǎng)，得到半徑，得到福所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長(zhǎng) 試題解析：(1) BE=FH理由如下： 四邊形ABCD是正方形/ B=90 ； . FHXBC / FHE=90 又,：L AEF=90/ AEB+/ HEF=90且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF .ABEAEHF (SAS.BE=FH(2)AAB

3、EAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH. BE=CH.CH=FH/ FCH=45 ,/ FCM=45 .AC是正方形對(duì)角線，Z ACD=45 / ACF=Z FCM +/ ACD =90 (3) AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圓的圓心在斜邊 AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為 O.連結(jié)EO得/AOE=90過(guò)E作EN AC于點(diǎn)NRtA ENC 中，EC=4, / ECA=45。， . EN=NC=0RtA ENA 中，EN =2又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 （等弧對(duì)等角）/ EAC=30 .AE=RtA AFE 中，AE=472 = EF,，A

4、F=8AE所在的圓O半徑為4,其所對(duì)的圓心角為 /AOE=90募=2 兀- 490 + 36。 =2 ?？键c(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)2.如圖，在平行四邊形ABCD中，匯平分上，交,于點(diǎn)，F(xiàn)平分乙伊匚，交仞于點(diǎn)F, HE與HF交于點(diǎn)P,連接叼，PD（1）求證：四邊形是菱形；若命二n叩=6/才求3UDP的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)AE平分/ BAD BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得 AF=AB=BE 從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形（2）由菱形的性質(zhì)可知 AP的長(zhǎng)及/PAF=60,過(guò)點(diǎn)P作PH, AD于H

5、,即可得到 PH、DH 的長(zhǎng)，從而可求tan/ADP 試題解析：（1）.AE平分/ BAD BF平分/ABC/ BAE=Z EAF / ABF=Z EBF 1.AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB / AFB=/ ABF，AB=BE AB=AF，AF=AB=BE .ADZ/BC .ABEF為平行四邊形又 AB=BE .ABEF為菱形(2)作 PH，AD于 H由/ABC=60而已（1）可知 /PAF=60, PA=2,貝U有 PH=/3 , AH=1, . DH=AD-AH=5/me近tanZ ADP=_ 考點(diǎn)：1、平行四邊形；2、菱形；3、直角三角形；4

6、、三角函數(shù)3.已知：如圖，在 RtA ABC中，/ACB=90,點(diǎn)M是斜邊 AB的中點(diǎn)，MD/ BC,且MD=CM, DEL AB 于點(diǎn) E,連結(jié) AD、CD.（1）求證：MEDsBCA;（2）求證： AMDCMD；(3)17.設(shè)4MDE的面積為S,四邊形BCMD的面積為8,當(dāng)S2=S時(shí)，求cos/ABC的5值.5【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） cos/ABC=5.7【解析】【分析】(1)易證 /DME=/CBA /ACB=/ MED=90 ,從而可證明 MEDs BCA;(2)由/ACB=90 ,點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，可知 MB=MC=AM ,從而可證明ZAMD=ZCMD

7、,從而可利用全等三角形的判定證明AMD0CMD;MDAB-1 -Sa mcb= Saacb=2Si , 從而可求出22 c ，-SaebcfS2 &mcb - Si = Si , 由于5SiSVEBDME,從而可EB% ME 5 5知 ,設(shè) ME=5x, EB=2x, EB 2定義即可求出答案.從而可求出AB=14x, BC=7 ,最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的2【詳解】(1) .MD/BC,/ DME=Z CBA / ACB=Z MED=90 ；.MEDsBCA;(2) / ACB=90 ,點(diǎn) M 是斜邊AB的中點(diǎn),MB=MC=AM ,/ MCB=Z MBC, / DMB=Z MBC,/ MCB=Z

8、 DMB=Z MBC, / AMD=180 - / DMB,/ CMD=180 - / MCB- / MBC+Z DMB=180 - / MBC,/ AMD=Z CMD,在 AMD與ACMD中,MDMDAMDAMCMD , CM(3)易證 MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCA,所以 SVACB.AMDACMD (SAS ； (3) MD=CM,，AM=MC=MD=MB , .MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCAMDSvacbAB2Saacb=4Si ,.CM是 ACB的中線,c1Samcb= Saacb=2Si ,2SaebcfS? Samcb- Si= Si5 ，SVEBDSiM

9、EEB，ME 5EB 2設(shè) ME=5x, EB=2x, .MB=7x, .AB=2MB=14x,MDME 1 ABBC 2.BC=10x,BC 10x5cos/ ABC=.AB 14x 7【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問(wèn)題，涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與 判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜 合程度較高，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)及定理進(jìn)行解題是關(guān)鍵4.如圖，等腰 4ABC 中，AB=AC, / BAC=36, BC=1,點(diǎn) D 在邊 AC 上且 BD 平分/ABC, 設(shè) CD=x.(1)求證：ABJBCD;(2)求x的值；(3)

10、求 cos36 -cos72 的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2） 1 ; （3） 7芯8 .216【解析】試題分析：（1）由等腰三角形 ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出/DBC的度數(shù)，得到/DBC=Z A,再由/C為公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得 到三角形ABC與三角形BCD相似；（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC根據(jù)AD+DC表示出AC,由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；(3)過(guò)B作BE垂直于AC,交AC于點(diǎn)E,在直角三角形 ABE和直角三角形 BCE中，利用 銳角三角函數(shù)定義求出 cos36。與cos72。的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.試

11、題解析：(1)二.等腰 4ABC 中，AB=AC, / BAC=36 ,/ ABC=Z C=72 ； BD 平分 / ABC,/ ABD=Z CBD=36 ； / CBD=Z A=36 : C C=Z C, .ABCABCD;(2) / A=/ABD=36 , .AD=BD, BD=BC, .AD=BD=CD=1,設(shè) CD=x,則有 AB=AC=x+1,.ABCABCD,AB BC 口 x 11,即BD CD 1 x整理得：x2+x-1=0,解得：x1= J一，x2= 15 (負(fù)值，舍去)，22則 x= 15；2.E為CD中點(diǎn)，即(3)過(guò)B作BEX AC,交AC于點(diǎn)E,-1,15DE=CE=5

12、 ,41 . 5 人一。AE 14在 RtA ABE 中,cosA=cos36 = 4一AB 1121 .5AG麗=乂zv ,tan/AFD= y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（不要求寫(xiě)出（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè) x的取值范圍）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】入-2-1y 二/；(3)在 RtBCE 中，cosC=cos72= EC 41 y/5 , BC 14則 cos36 -cos72 = 氏 1 -1_叵=-. 442【考點(diǎn)】1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.黃金分割；4.解直角三角形.5.如圖，在。的內(nèi)接三角形 ABC中，/ACB= 90, AC=2BC,過(guò)

13、C作AB的垂線l交。O 于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是用1上異于A, C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 AP交l于點(diǎn)F,連接PC與PD, PD交AB于點(diǎn)G.（1）求證：PASPDF;（2）若AB=5,稗=叮，求PD的長(zhǎng);試題分析：（1）應(yīng)用圓周角定理證明 Z APD= / FPC得到Z APC= / FPD,又由/ PAC= /PDC,即可證明結(jié)論.（2）由AC=2BC設(shè)“二修，應(yīng)用勾股定理即可求得 BC, AC的長(zhǎng)，則由AC=2BC導(dǎo) RC=2a,由ACaABC可求得AE, CE的長(zhǎng)，由鼎二國(guó)可知4APB是等腰直角三角 形，從而可求得 PA的長(zhǎng)，由4AEF是等腰直角三角形求得 EF=AE=4從而求得DF的長(zhǎng)

14、，PA AC由（1） PASPDF得PD 二 即可求得 PD的長(zhǎng).叩（3）連接BP, BD, AD,根據(jù)圓的對(duì)稱性，可得 ,由角的轉(zhuǎn)換可得APAG ZIP AGPADGBW/)f,DG AD,由AGDPGB可得，兩式相乘可得結(jié)果.試題解析：（1）由APCB內(nèi)接于圓O,得/FPC=/B,又. / B= / AC 90 /BCE, /AC&/APD, ，/APD= / FPC.Z APD+ Z DPC= Z FPC+ Z DPC,即 Z APO Z FPD.又. / PAG= / PDC, .PACAPDF.(2)連接 BP,設(shè)網(wǎng)1= q, ZACB=90, AB=5, 便 + (2a)2 = 5

15、 2=口 =BC =(5/C = 2 ,15,.ACEAABC,.ABXCD, ,SEDE-2.如圖，連接BP,耳尸二，.APB是等腰直角三角形 AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4. DF=6.&PA AC F 入53X/TD = _j = = Pl)=由(1) PAS4PDF得PC 吟 即623VBiPD的長(zhǎng)為 2.(3)如圖,連接 BP, BD, AD,AD.AC=2BC, .根據(jù)圓的對(duì)稱性，得 AD=2DB,即,. ABXCD, BP AE, . . / ABP= / AFD.AP.tanAFD = y AB- = y 5 一AG AP. AGP ADGB,i)lt.AGDAPGB,

16、DG AD前二而a bceDE, 當(dāng)ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰， OEXDM, 又 AD= AC,.ADC為等邊三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;1 在 RtADN 中，DN= AD= 2 在 RtODN 中，ON=DN=13 ， 當(dāng)ON等于1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形；當(dāng)MD=ME, DE為底邊，如圖 3,作DHXAE, . AD=2 73 , ZDAE= 30； .DH=6 /DEA=60 ； DE=2, .ODE為等邊三角形， .OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME, / M

17、DE= 75 ,Z ADM =90 - 75 = 15 ,/ DNO= 45 ； NDH為等腰直角三角形，1 .NH=DH=曲,.on= 73 -1 ；綜上所述，當(dāng)ON等于1或J3 - 1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形;(3)當(dāng)。O變動(dòng)時(shí)DP-DQ的值不變，DP - DQ= 2近.理由如下：連AP、AQ,如圖2,3 z c= Z CAD= 60 ；而 DPI AB,4 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 ,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ,Z CAQ= / PAD,5 . AC=AD, /AQC=/P,6 .AQCAAPD,.DP= CQ,7 .DP-

18、DQ= CQ- DQ= CA 2 43 .到）t teL）【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對(duì)的弦；在同圓和等圓中，相 等的弧所對(duì)的圓周角相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30。的直角三角形三邊的關(guān)系.3、315.小明坐于堤邊垂釣，如圖 ，河堤AC的坡角為30, AC長(zhǎng)工米，釣竿AO的傾斜角 是60,其長(zhǎng)為3米，若AO與釣魚(yú)線OB的夾角為60,求浮漂B與河堤下端C之間的距離（如圖）.【答案】1. 5米.【解析】試題分析：延長(zhǎng) OA交BC于點(diǎn)D.先由傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出ZC4A = 1800 -ARDB -DACD = 90RtACD中)一”門上。一之米 cd=2AD=3丁 f?Z)