1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版

1、1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試(10月14日上午8001000)一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)1設(shè)(，),則(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小順序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosab0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿足|y|1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的( )二填空題(本題滿分30分，每小題5分)1設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b

2、=2，則 +的最小值是 2設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t60)，cos(2t60)為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15變到45時(shí)，線段AP掃過(guò)的面積是 3設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是 4對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求f(1)+f(2)+f(1990)5設(shè)n=1990，則 (13C+32C33C+3994C3995C= 68個(gè)女孩與25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩，則共有 種不同和排列方法(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認(rèn)為是相

3、同的)三(本題滿分20分)已知a，b均為正整數(shù)，且ab，sin=，(其中0)，An=(a2+b2)nsinn求證：對(duì)于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)四n2個(gè)正數(shù)排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3 an4 ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann五設(shè)棱錐MABCD的底面為正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑第二

4、試(10月14日上午10301230)一(本題滿分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4求證OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn) OOABCDP1OOO234F二(本題滿分35分)設(shè) E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列兩條性質(zhì)： 對(duì)任何1ij100，恒有 ai+aj201； ai=10080試證明：G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)且G中所有數(shù)字的平方和為一個(gè)定數(shù)三(本題滿分35分)某市有n所中學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名代表(1Ci39，1in)來(lái)到體育館觀看球賽，全部學(xué)生總數(shù)

5、為Ci=1990看臺(tái)上每一橫排有199個(gè)座位，要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排，問體育館最少要安排多少橫排才能夠保證全部學(xué)生都能坐下1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(解答)第一試一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)1設(shè)(，),則(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小順序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosa(sina)cosa (1990年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解：(，)

6、0cossin1， (cosa)cosa(sina)cosa；(cosa)sina0但x3+y3+3=xy，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x3=y3=時(shí)，即x=，y=時(shí)成立故選B5設(shè)非零復(fù)數(shù)x、y滿足x2+xy+y2=0，則代數(shù)式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不對(duì)解：=或2，其中=cos120+isin1201+2=0且3=1若=，則得()1990+()1990=1若=2，則得()1990+()1990=1選B6已知橢圓+=1(ab0)通過(guò)點(diǎn)(2，1)，所有這些橢圓上滿足|y|1的點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的( )解：+=1，由a2b2，故得1+=，1b+=15故選C二填空題(本題滿分

7、30分，每小題5分)1設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b=2，則 +的最小值是 解：ab()2=1，從而anbn1，故 + = 1等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)成立即所求最小值=12設(shè)A(2，0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t60)，cos(2t60)為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)t由15變到45時(shí)，線段AP掃過(guò)的面積是 解：點(diǎn)P在單位圓上，sin(2t60)=cos(1502t)，cos(2t60)=sin(1502t).當(dāng)t由15變到45時(shí)，點(diǎn)P沿單位圓從(，)運(yùn)動(dòng)到(,)線段AP掃過(guò)的面積=扇形面積=3設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，則n的最

8、小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)成立故n=34對(duì)任意正整數(shù)n，連結(jié)原點(diǎn)O與點(diǎn)An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)端點(diǎn))，試求f(1)+f(2)+f(1990)解 線段OAn的方程為y=x(0xn)，故f(n)等于該線段內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)若n=3k(kN+)，則得y=x (0xn)(kN*)，其內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)(k，k+1)，(2k，2k+2)，此時(shí)f(n)=2；若n=3k1(kN+)時(shí)，則由于n與n+3互質(zhì)，故OA

9、n內(nèi)沒有格點(diǎn)，此時(shí)f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=13265設(shè)n=1990，則 (13C+32C33C+3994C3995C= 解：取(+i)1990展開的實(shí)部即為此式而(+i)1990=+i故原式=68個(gè)女孩與25個(gè)男孩圍成一圈，任何兩個(gè)女孩之間至少站兩個(gè)男孩，則共有 種不同和排列方法(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認(rèn)為是相同的)解：每個(gè)女孩與其后的兩個(gè)男孩組成一組，共8組，與余下9個(gè)男孩進(jìn)行排列，某個(gè)女孩始終站第一個(gè)位子，其余7組在8+91個(gè)位子中選擇7個(gè)位子，得C=C種選法7個(gè)女孩可任意換位，25個(gè)男孩也可任意換位，故共得C7!25!種排列方法三(本題滿分20分)已

10、知a，b均為正整數(shù)，且ab，sin=，(其中01即O與平面MAB的距離r，同理O與平面MCD的距離r故球O是放入此棱錐的最大球 所求的最大球半徑=1第二試(10月14日上午10301230)一(本題滿分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對(duì)角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4求證OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn) 證明 O為ABC的外心， OA=OB O1為PAB的外心，O1A=O1B OO1AB作PCD的外接圓O3，延長(zhǎng)PO3與所作圓交于點(diǎn)E，并與AB交于點(diǎn)F，連DE，則1=2=3，EPD=BPF， PFB=EDP=90 PO3

11、AB，即OO1PO3同理，OO3PO1即OO1PO3是平行四邊形 O1O3與PO互相平分，即O1O3過(guò)PO的中點(diǎn)同理，O2O4過(guò)PO中點(diǎn) OP、O1O3、O2O4三直線共點(diǎn)二(本題滿分35分)設(shè) E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列兩條性質(zhì)： 對(duì)任何1i395，故每排至少可坐5所學(xué)校的學(xué)生1990=19910，故如果沒有“同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排”的限制，則全部學(xué)生只要坐在10排就夠了現(xiàn)讓這些學(xué)生先按學(xué)校順序入坐，從第一排坐起，一個(gè)學(xué)校的學(xué)生全部坐好后，另一個(gè)學(xué)校的學(xué)生接下去坐，如果在某一行不夠坐，則余下的學(xué)生坐到下一行這樣一個(gè)空位都不留，則坐10排，這些學(xué)生就全部坐完這時(shí)，有些學(xué)校的學(xué)生可能分坐在兩行，讓這些學(xué)校的學(xué)生全部從原坐處起來(lái)，坐到第11、12排去由于，這種情況只可能在第一行末尾與第二行開頭、第二行末尾與第三行開頭、第九行末尾與第十行開頭這9處發(fā)生，故需要調(diào)整的學(xué)校不超過(guò)10所，于是第11、12行至多各坐5所