八個無敵模型——全搞定空間幾何的外接球和內(nèi)切球問題

1、八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球文：付雨樓、段永建類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2 a2 b2 c2 ,即2R Ja2 b2 c2 ,求出R例1 （1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是（C ）A. 16 B . 20 C . 24 D . 32（2）若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為73,則其外接球的表面積是9解：（1） V a2h 16, a 2, 4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 , S 24，選 C;（2） 4R2 3 3 3 9, S

2、4 R2 9（3）在正三棱錐 S ABC中，M、N分別是棱SG BC的中點，且 AM MN，若側(cè)棱SA 2石，則正三棱錐S ABC外接球的表面積是 。 36解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：題-1如圖（3） -1 ,取AB, BC的中點D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH ,則H是底面正三角形 ABC的中心， SH 平面ABC , SH AB ,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD ,AC(3)題-2(4)在四面體S ABC中，SA 平面ABC ,的外接球的表面積為(D ) A11BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,則該四面體

3、B.7c.103AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3) -2, AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC,故三棱錐S ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2 (2 禽)2 (273)2 (273)2 36,即 4R2 36,正三棱錐S ABC外接球的表面積是362(5)如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為 6、4、3,那么它的外接球的表面積是(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示， 方形，則該幾何體外接球的體積為解析

4、：(4)在 ABC 中，BC2 AC2BC J7 , ABC的外接球直徑為2r三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正2AB 2AB BC cos120 7 ,BC7 2 7sin BAC33(2R)2 (2r)2 SA22440 c4 ，S340，選D3（5）三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a,b,c ( a,b,c Rab 12bc 8 , abcac 624, a 3, b 4, c2, (2R)2b2c2 29, S 4 R2 29 ,(6) (2r)2 a2 b2c2 3，R2 j R4343.3V - R -338類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1.題設(shè)：如圖5

5、, PA平面ABC解題步驟:第一步：將 ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點,圓的直作小徑AD ,連接PD ,則PD必過球心O ;第二步：Oi為ABC的外心，所以O(shè)Oi平面ABC,算出小圓Oi的半徑OiD r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得a bsin A sinBcsinC2r)1,OOi PA； 2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 (2r)2 2R JPA2(2r)2 ; R2 r2 OOi2R . r2 OO；2.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱錐P ABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點

6、P點也是圓錐的頂點解題步驟: 第一步：確定球心。的位置，取 ABC的外心Oi,則P,O,Oi三點共線;第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi r,再算出棱錐的高POi h (也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2 R2 (h R)2 r2 ,解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()CA. 3B. 2 C. 16D .以上都不對3解：選 C, ( .3 R)2 1 R2, 3 2 3R R2 1 R2, 4 2 3R 0 ,163類型三、切瓜模型(兩個平面互相垂直)1 .題設(shè)：如圖9-1 ,平面PAC 平面ABC，且

7、AB BC (即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心 。必是PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC 2r ;第二步：在 PAC中，可根據(jù)正弦定理 一a- -b-2R,求出Rsin A sin B sin C2 .如圖9-2 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小圓的直徑)3 .如圖9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小圓的直徑)，且P的射影是ABC的外心 三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心。的位置，取 ABC的外心Oi,則P,O,Oi三點共線；第二步：先

8、算出小圓Oi的半徑AOi r,再算出棱錐的高POi h (也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 OiO2R2 (h R)2 r2 ,解出R4 .如圖9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC為小圓的直徑)，且 PA AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑： (2R)2 PA2 (2r)22R PPA2 (2r)2 ; R2 r2 OO12R . r2 OO12例3 (1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為273,則該球的表面積為。(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為V2 ,各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為解：（1）由正

9、弦定理或找球心都可得2R 7, S 4 R2 49 ,（2）方法一：找球心的位置，易知r 1, h1, h r ,故球心在正方形的中心 ABCD處,方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是SAC的外接圓，此處特殊，Rt SAC的斜邊是球半徑，2R 2 , R 1 , V433（3）在三棱錐P ABC中，PAPB PCV3，側(cè)方稔PA與底面ABC所成的角為60 ,則該三棱錐外接球的體積為（A.B. 3C. 4D. 3解：選D,圓錐A, B,C在以r 、的圓上,2（4）已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球O的求面上,ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑，且SC 2,則此棱錐的體積為（A -

10、16b 3 cB.CD.解：OO-R2 r21（ ；）21Sh 3類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球） 題設(shè)：如圖10-1 ,圖10-2,圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：確定球心。的位置，Oi是 ABC的外心，則OOi平面ABC;11第二步：算出小圓01的半徑AO1 r, OO1 1AAih ( AA h也是圓柱的局)；22第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 (h)2 r2 R Jr2 (h)2 ,解出 R222例4 (1) 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面

11、上，且jg六棱柱的體積為 9,底面周長為3,則這個球的體積為 81解：設(shè)正K邊形邊長為a ,正K梭柱的圖為h ,底面外接圓的關(guān)徑為r,則a -,h ® R2 弓)2 g)2 M23 ,1、2 3.3、，3.3,9底面積為S 6 (一), V柱 Sh h - ,42888R 1 ,球的體積為V 3AC AA 2, BAC 120 ,(2)直三棱柱ABC A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB 則此球的表面積等于。解：BC 2a 2r2n4, r 2, R 典，S 20sin 120(3)已知 EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB

12、60，則多面體 E ABCD的外接球的表面積為。 16解析：折疊型，法一：EAB的外接圓半徑為1 V3, OO1 1,.3R 5 3 2 ;法一：01M ,2o2d43-2413_ _13 4, R 2, S 164(4)在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB4, AC 6, A -,AA1 34則直三棱柱ABC A1B1C1的外接球的表面積為1603解析：BC2 1636«2 7BC 2,7 , 2r =-=-3T4. 7廿r27廿R2 r2 爭2840c 160S3類型五、折疊模型 題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊 (如圖11)ABD的外心H1和第一步：先畫

13、出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出 BCD和H2；第二步：過Hi和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心 O,連 接 OE,OC ;第三步：解 OEH1,算出OH1,在Rt 0cHi中，勾股定理：OH 2 CH 12 OC2例5三棱錐P ABC中，平面PAC 平面ABC, PAC和 ABC均為邊長為2的正三角 形，則三棱錐P ABC外接球的半徑為2421斛析：2rl 2r2 ,r1r2, O2H,sin 60. 3、33R2 02H 2,153法二:02HAH1,2222R2 AO2 AH2 01H2Q0215R 321r13類型六、對棱相等模型（補形為長方體）

14、題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（AB CD , AD BC ,AC BD )第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱;第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c ,AD BC x ,ABCD y, AC BD z,列方程組,2 ab22 cb22 c2 a2 x2 y2 z22(2R) ab2補充:VaBCDabc 1abc63abe圖12D第三步:根據(jù)墻角模型，2R2R2 22222廠'R J廠,求出R'例如，正四面體的外接球半徑可用此法題例6 (1)棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角

15、形(正四面體的截面)的面積是(2) 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是(_34_312(1)題解答圖解：(1)截面為 PCO1 ,面積是22 ;(2)高h R 1,底面外接圓的半徑為R 1,直徑為2R 2,設(shè)底面邊長為a,則2R 2, a也，S近a2 3 sin 6044三棱錐的體積為V 1Sh會 34(3)在三棱錐 A BCD 中，AB CD 2, ADBC 3, AC BD 4,則三棱錐A BCD外接球的表面積為292解析：如圖12,設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c,則 a2 b2 9,

16、.22.222.222.22、b c 4 , c a 162(a b c ) 9 4 16 29 , 2(a b c ) 9 4 16 29 ,a2 b2 c2 292929222(4)如圖所示三棱錐 A BCD ,其中AB CD 5,AC BD 6, AD BC 7,則該三棱錐外 接球的表面積為解析：同上，設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c,222222_ 22(a2b2c2)25 36 49 110, a2b2c255, 4R255, S 55【55 ;對稱幾何體；放到長方體中】(5)正四面體的各條棱長都為、泛，則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況，

17、但也是對棱相等的模式，放入長方體中,12512963類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型 題設(shè)：APB ACB 90 ,求三棱錐P ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點O,連接1OP,OC,WJOA OB OC OP 1AB, 。為二棱錐P ABC外接球球心，然后在 OCP 2中求出半徑)，當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要 不是平角球半徑都為定值。例7 ( 1)在矩形 ABCD中，AB 4 , BC 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積為(125125解：（1

18、） 2R AC 5, R V - R3 -125 125-,選 C23386（2）在矩形ABCD中，AB 2, BC 3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐A BCD的外接球的表面積為.解析：（2） BD的中點是球心O, 2R BD t13, S 4 R2 13 ；類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心；1 第一步：求DH BD , PO PH r, PD是側(cè)面 ABP的局； 3第三步：由 POE相似于PDH ,建立等式：-OE- EO ,解出r DH PD圖152.題設(shè)

19、：如圖15,四才8錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半 徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O, H三點共線；1 _第二步：求FH -BC , PO PH r , PF是側(cè)面 PCD的局； 2第三步：由 POG相似于 PFH ,建立等式：OG 里，解出 HF PF3.題設(shè)：三棱錐P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ,建立等式:VpABCVoABCVoPABVoPACVoPBC第三步：解出r3VpABCSo abcSo pabSo pacSo pbc習(xí)題：1 .若三棱錐S ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA 2, SB SC 4,則該三棱錐的外接球 半徑為（）A. 3 B