拉氏變換及反變換 (1)

1、補充：拉普拉斯（拉氏）變換及其反變換補充：拉普拉斯（拉氏）變換及其反變換拉氏變換的定義拉氏變換的定義設函數(shù)f(t)滿足： 1、f(t)實函數(shù)； 2、當t0時，f(t)=0； 3、當t0時，f(t)的積分 在s的某一域內(nèi)收斂。0)(dtetfst則函數(shù)則函數(shù)f(t)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：的拉普拉氏變換存在，并定義為： 式中：s=+j（，均為實數(shù)）F(s)F(s)稱為函數(shù)f(t)f(t)的拉普拉氏變換拉普拉氏變換或象函數(shù)象函數(shù); ;f(t)f(t)稱為F(s)F(s)的原函數(shù)原函數(shù)；L L為拉氏變換的符號。拉氏反變換的定義拉氏反變換的定義其中L1為拉氏反變換的符號。常見時間函數(shù)拉氏

2、變換表常見時間函數(shù)拉氏變換表序號序號f(t)F(s)1單位脈沖函數(shù):d d(t)12單位階躍函數(shù):1(t)1/s3單位速度函數(shù)：t1/s2456sin(w wt)7cos(w wt)ate atte as 1 21as 22w ww w s22w w ss常見時間函數(shù)拉氏變換表常見時間函數(shù)拉氏變換表序號序號f(t)F(s)8tn(n=1,2,3.)9 (n=1,2,3.)1011teatw wsin atnet 1! nsn 22w ww w asteatw wcos 1! nasn 22w w asas指數(shù)函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)的拉氏變換（歐拉公式）三角函數(shù)的拉氏變換三角函數(shù)的拉氏變換階躍函

3、數(shù)的拉氏變換階躍函數(shù)的拉氏變換冪函數(shù)的拉氏變換冪函數(shù)的拉氏變換斜坡函數(shù)單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù)的拉氏變換洛必達法則單位脈沖函數(shù)拉氏變換單位脈沖函數(shù)拉氏變換拋物線函數(shù)單位加速度函數(shù)拉氏變換單位加速度函數(shù)拉氏變換拉氏變換的主要運算定理線性定理線性定理原函數(shù)的高階導數(shù) 像函數(shù)中s的高次代數(shù)式多重微分多重微分積分定理積分定理多重積分多重積分原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)e-at像函數(shù)d在復數(shù)域中作位移a位移定理位移定理原函數(shù)平移 像函數(shù)乘以 e-s 延時定理延時定理終值定理終值定理初值定理初值定理F(s)= F1(s)+F2(s)+Fn(s)L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1

4、Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)條件： 分母多項式能分解成因式10111011.( )( ),( ).mmmmnnnnb sbsbsbB sF smnA sa sa sasb).()().()()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsFnppp,.,21mzzz,.,21多項式極點多項式零點拉氏反變換方法拉氏反變換方法)(tf)(sF)()()(1sFsFsFn由線性性質(zhì)可得由線性性質(zhì)可得如果如果的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換可分解為可分解為并假定并假定 的拉普拉斯變換容易求得，即的拉普拉斯變換容易求得，即)(sFi)(sFi)(tfLi則則)()()(sFLsFLsFLn1111)()(tftfn1例例1 求求 的的Laplace 反變換反變換233)(2ssssF)()(2112111sLsLsFLtfttee220t解解)()(2132332sssssssF2112ss例例2 求求的的Laplace 反變換反變換解解2)2(111)(sssF)()(2112111sLsLtf)(0 2tteett將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方程；解代數(shù)方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。拉氏變換求解線性微分方程拉氏變換求解線性微分方程應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始條件已自動