2019-2020學年高中人教A版數(shù)學選修2-3學案：132　“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質Word版含解析【KS5U高考】

1、二項式系數(shù)的性質對稱性與首末兩端“_等距離_”的兩個二項式系數(shù)相等(即CC)增減性當k<_時，二項式系數(shù)逐漸增大由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值最大值當n是偶數(shù)時，中間一項取得最大值_Cn_當n是奇數(shù)時，中間兩項相等，同時取得最大值_各二項式系數(shù)的和CCCC_2n_.CCCCCC_2n1_.1二項式(x1)n的奇數(shù)項二項式系數(shù)和是64，則n等于(C)A5B6C7D8解析二項式(ab)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，2n164，n7.故選C2(2017·全國卷理，4)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(C)A80B40

2、C40D80解析因為x3y3x·(x2y3)，其系數(shù)為C·2240，x3y3y·(x3y2)，其系數(shù)為C·2380所以x3y3的系數(shù)為804040故選C3已知(12x)n的展開式中所有系數(shù)之和等于729，那么這個展開式中x3項的系數(shù)是(B)A56 B160C80 D180解析由條件知(12)n729，n6，展開式的通項為Tr1C(2x)r2rCxr，令r3得23C1604(2018·深圳二模)若(x)n的展開式中各項系數(shù)的和為81，則該展開式中的常數(shù)項為_96_解析在(x)n中，令x1可得，其展開式中各項系數(shù)和為(3)n，結合題意可得(3)n8

3、1，解得n4(x)n的展開式的通項公式為：Tr1Cx4r()r(4)r·C·x42r，令42r0，解得r2.常數(shù)項為C×(4)296故答案為96命題方向1與楊輝三角有關的問題典例1如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，記這個數(shù)列的前n項和為Sn，求S19思路分析由數(shù)列的項在楊輝三角中的位置，將項還原為二項式系數(shù)，然后結合組合數(shù)的性質求和解析由楊輝三角可知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C；第4項是C，第17項是C，第18項是C，第19項是C故S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(

4、CCC)C274規(guī)律總結解決與楊輝三角有關的問題的一般思路命題方向2二項展開式的系數(shù)和問題典例2在(2x3y)10的展開式中，求：(1)各項的二項式系數(shù)的和；(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和；(3)各項系數(shù)之和；(4)奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和解析在(2x3y)10的展開式中：(1)各項的二項式系數(shù)的和為CCC2101024(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為CCC29512，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為CCC29512(3)設(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*)，各項系數(shù)之和即為a0a1a2a10，由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求解令(*)中

5、xy1，得各項系數(shù)之和為(23)10(1)101(4)奇數(shù)項系數(shù)的和為a0a2a4a10，偶數(shù)項系數(shù)的和為a1a3a5a8由(3)知a0a1a2a101.令(*)中x1，y1，得a0a1a2a3a10510.得2(a0a2a10)1510，故奇數(shù)項系數(shù)的和為(1510)；得2(a1a3a9)1510，故偶數(shù)項系數(shù)的和為(1510)規(guī)律總結求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法“賦值法”是求二項式系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值一般地，要使展開式中項的關系變?yōu)橄禂?shù)的關系，令x0可得常數(shù)項，令x1可得所有項系數(shù)之和，令x1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差，而當二項展開式中含負值項

6、時，令x1則可得各項系數(shù)絕對值之和命題方向3有關二項式系數(shù)和展開式的系數(shù)和的問題典例3設(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2思路分析用賦值法求各系數(shù)的和解析(1)由(2x)100展開式中的常數(shù)項為C·2100，即a02100(或令x0，則展開式可化為a02100)(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，a1a2a100(2)1002100(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100，與聯(lián)立相減可得a1a3a99(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)·(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100×(2)1001規(guī)律總結1.各項的系數(shù)和一般地，二項展開式f(x)中的各項系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)和為f(1)f(1)，偶數(shù)項系數(shù)和為f(