(完整word版)初中數(shù)學(xué)《幾何最值問題》典型例題

1、1初中數(shù)學(xué)最值問題典型例題一、解決幾何最值問題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵.通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段.幾何最值問題中的基本模型舉例軸對(duì) 稱最值圖形n*P1MN1原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A,B為定點(diǎn)，1為定直線，P為直線1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ),B為定點(diǎn)，1為定直線，MN為直線1上的一條動(dòng)線段，求AM+BN

2、的最小值A(chǔ),B為定點(diǎn)，1為定直線，P為直線1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線1的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M,N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線1的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線1的對(duì)稱點(diǎn)折疊 最值圖形AMtXBNC原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在ABC中，M,N兩點(diǎn)分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，將BMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,連接AB,求AB的最小值.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求AB+BN+NC的最小值、典型題型1.如圖：點(diǎn)P是ZAOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若ZAOB=45,OP=32,則PMN的周長(zhǎng)的最小值為.-4【分析】作P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)C,D

3、.連接OC,OD.則當(dāng)M,N是CD與OA,OB的交點(diǎn)時(shí)，PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng).根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解.【解答】解：作P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)C,D.連接OC,OD.則當(dāng)M,N是CD與OA,OB的交點(diǎn)時(shí)，PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng).PC關(guān)于OA對(duì)稱，.ZCOP=2/AOP,OC=OP同理，ZDOP=2ZBOP,OP=OD2ZCOD=/COP+/DOP=2(/AOP+/BOP)=2/AOB=90；OC=OD.COD是等腰直角三角形.貝UCD=V2OC=0彳72=6.【題后思考】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解PMN周長(zhǎng)最小的條

4、件是解題的關(guān)鍵.2.如圖，當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，a=【分析】因?yàn)锳B,PN的長(zhǎng)度都是固定的，所以求出PA+NB的長(zhǎng)度就行了.問題就是PA+NB什么時(shí)候最把B點(diǎn)向左平移2個(gè)單位到B點(diǎn)；作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B”,連接AB”,交x軸于P,從而確定N點(diǎn)位置,此時(shí)PA+NB最短.設(shè)直線AB”的解析式為y=kx+b,待定系數(shù)法求直線解析式.即可求得a的值.【解答】解：將N點(diǎn)向左平移2單位與P重合，點(diǎn)B向左平移2單位到B(2,-1),作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，根據(jù)作法知點(diǎn)B”(2,1),設(shè)直線AB”的解析式為y=kx+b,512kb則，解礙k=4,b=-7.3kby=4x7.當(dāng)y=0時(shí)，x=，即P(,

5、0),故答案填：3【題后思考】考查關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí).443.如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4，點(diǎn)B到直線的距離BN=1,且MN=4,P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，|PA-PB|的最大值為.【分析】 作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B,則PB=PB因而|PA-PB|=|PA-PB,|則當(dāng)A,B、P在一條直線上時(shí)，|PA-PB|的值最大.根據(jù)平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得PA、PB的值,進(jìn)而求得|PA-PB|的最大值.【解答】解：作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B,連AB并延長(zhǎng)交直線l于P.BN=BN=1,過D點(diǎn)作BDAM,利用勾股定理求出AB=5|PA-

6、PB|的最大值=5.【題后思考】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換，勾股定理等，熟知兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵.4.動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A處，折痕為PQ,當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為.【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即BA取最大或最小值時(shí)，點(diǎn)P或Q的位置.經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA取最大值3和當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，BA的最小值1.所以可求點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)的最大距離為2.【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA取最大

7、值是3,當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)（如圖），由勾股定理得AC=4,此時(shí)BA取最小值為1.則點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)的最大距離為3-1=2.【題后思考】本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)生主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯(cuò)誤.5.如圖，直角梯形紙片ABCD,ADAB,AB=8,AD=CD=4,點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P.當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于.5EF最大，且點(diǎn)A落在BD上時(shí)，PD最??；根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，問題即可解決.【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P落在梯形的內(nèi)部時(shí)，四邊形PFAE是以EF為直徑的圓內(nèi)接四

8、邊形， .只有當(dāng)直徑EF最大，且點(diǎn)A落在BD上時(shí)，PD最小,此時(shí)E與點(diǎn)B重合；由題意得：PE=AB=8,由勾股定理得：BD2=82+62=80,以翻折變換為方法， 以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成； 解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動(dòng)過程中的某一瞬間，利用勾股定理列式求出【解答】解：如圖，取.ZMON=90:AB=2OE=AE=1AB=1,2BC=1，四邊形ABCD是矩形，AD=BC=1,DE=2,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，ODvOE+DE,/P=ZA=90；動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng).6.如圖，/MON=90。，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB

9、=2,為.OM,ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離E,連接OD、OE、DE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OEAB,2DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點(diǎn)E時(shí)最大.AB的中點(diǎn)E,連接OD、OE、DE,-BD=4.5,【分析】取AB的中點(diǎn)6當(dāng)OD過點(diǎn)E是最大，最大值為J2+1.故答案為：J2+1.【題后思考】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出OD過AB的中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵.7.如圖， 線段AB的長(zhǎng)為4,C為AB上一動(dòng)點(diǎn)， 分別以AC、BC為斜邊在AB

10、的同側(cè)作等腰直角ACD和等腰直角BCE,那么DE長(zhǎng)的最小值是.【分析】設(shè)AC=x,BC=4x,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD=V2x,CD2(4-x),根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解.【解答】解：設(shè)AC=x,BC=4-x,ABC,BCD均為等腰直角三角形,-DE2=CD2+CE2=【x2+【(4-x)2=x2-4x+8=(x-2)2+422.根據(jù)二次函數(shù)的最值，.當(dāng)x取2時(shí)，DE取最小值，最小值為：4.故答案為：2.【題后思考】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值.8.如圖，菱形ABCD中，AB=2,/A=120。，點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,

11、CD,BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為.AD【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PQ與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K,然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知PQCD時(shí)PK+QK的最小值,然后求解即可.【解答】解：如圖，-AB=2,/A=120,3-.點(diǎn)P到CD的距離為2X=J3,EEC0B2,.2_CD-x,CD甘（4ZACD=45；/BCD=45/DCE=90；7PK+QK的最小值為73.8i題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸對(duì)稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵.9.如圖所示，正方形ABCD的邊

12、長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)（可與B、C重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為B、C、D,貝UBBCC+DD的取值范圍是.【分析】首先連接AC,DP.由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,即可得：SWDP=S正方形ABCD=1,22SzABP+SAACP=SAABC=S正方形ABCD=【,繼而可得【AP?(BBCCDD)=1,又由1令PvJ2,即可求得222答案.【解答】解：連接AC,DP.四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB=CD,S正方形ABCD=1,S/XADP=1S正方形ABCD=1,SzABP+SZACP=SAABC=S正方形ABCD=,2222&ADP+SAABP+SAACP=1,1AP?3B，【APQC1AP?DDP?(BBCCDD)=1,22222,AP1APV2,.當(dāng)P與B重合時(shí)，有最大值2;當(dāng)P與C重合時(shí)，有最小值J2.42WBCCDDW2【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題.此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接2DP,根據(jù)題意得到SWDP+SWBP+SWCP=1,繼而得到BBCCDD=APAC,故答案為：J3.Q故答案為：42BBCCDDW2910.如圖，菱形ABCD中，/A=60,AB=3,OA、OB的半徑分別為2和1,P、E、F分別是邊CD、OA和OB上的動(dòng)點(diǎn)，貝UPE+P