2019年新人教版高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(必修)

1、2019年新人教版高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)高中數(shù)學(xué)必修1知識點第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集，N *或N菸示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是a w M，或者a皂M ,兩者必居其一. (4)集合的表示法自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合描述法： X| X具有的性質(zhì),其中X為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限

2、集 .含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集(._ ).【1.1.2】集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集A£ B（或B m A）A中的任一元素都屬于B（i）a2 a0三A若A B且BC,則AG C若A1 B且B= A,則A = BG)(或真子集A 二 B（或 BnA）豐A B ,且B中至少 有一元素不屬于A(1) 0U A (A為非空子集)豐若A= B且B二C ,則AU C集合 相等A = BA中的任一元素都屬 于B, B中的任一元素 都屬于A（1）A 三 B（2）B 三 A5(7)已知集合A有n(n21)個元素，則它有2n個

3、子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集,它有2n 2非空真子集(8)交集、并集、補集【1.1.3】集合的基本運算名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集AnB x | x w A,且xw B(1)AA=A(2) Ap|0 =0(3)AQBS AaAB B9。)并集AljB x | x w A,或xw B(1)a!Ja=a(2)AJ。= A(3) a B 3 AAUB3 B：6)補集eU Ax| xU ,且x更 A1 Afi(U A) =02 aU (eu A) =U癡(AB) =( uA)U(?j B) 娜(AUB)=( uA)n(? B)【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕

4、對值的不等式的解法不等式解集| x|<a(a >0)x | -a < x < a| x|>a(a >0)x|x<-a 或 xa|ax+b|<c,|ax +b|>c(c>0)把ax+ b看成一個整體，化成|x|<a,|x|>a(a > 0)型不等式來求解(2) 一元二次不等式的解法判別式b = b2 -4ac >0 =0 <0二次函數(shù)2y=ax +bx + c(a0)的圖象_10%JO#一元二次方程2一，一、ax +bx+c=0(a>0)的根-b ± Jb2 -4acx1,2 一2a(其中

5、x1 <x2)bx1 x2 _2a無實根2,一，一、ax +bx+c >0(a >0)的解集 x| x < x1 或 x A x2r b、x| x# 2aR2 .,.一，一、ax +bx+c<0(aA0)的解集x % < x < x200R 1.2 1函數(shù)及其表示 121 函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的概念設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則 f，對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A, B以及A到B的對應(yīng)法則f ) 叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作f : At B .函數(shù)的三要素：定義

6、域、值域和對應(yīng)法則.只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2)區(qū)間的概念及表示法設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且a<b,滿足aExEb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做 a,b；滿足 a <x <b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做 (a,b)；滿足ax<b，或a<xb的實數(shù)x的 集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 a, b), (a,b；滿足x之a(chǎn), x > a, x w b, x < b的實數(shù)x的集 合分別記做a,"),(a,收),(-0o,b,(-°o,b) .注意：對于集合x|a<x<b與區(qū)間 (a,b)， 前者a

7、可以大于或等于 b ,而后者必須a <b.(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.y=tanx中，x#kn+(kwZ).2零(負)指數(shù)嘉的底數(shù)不能為零.若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題， 一般步驟是：若已知f(x)的定義域為a,b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域應(yīng)

8、由不等式 a <g(x) <b解出.對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.(4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個 最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是 提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的 值域

9、或最值.判別式法：若函數(shù) y = f (x)可以化成一個系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程2a(y)x +b(y)x+c(y) =0 ,則在a(y)#0時，由于x, y為實數(shù)，故必須有2& =b (y) -4a(y) c(y) >0,從而確定函數(shù)的值域或最值.不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)的最值問題.反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.函數(shù)的單調(diào)性法.122 函數(shù)的表示法(5)函

10、數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6)映射的概念設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f ,對于集合A中任何一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A, B以及A到B的對應(yīng)法則f )叫做集合 A到B的映射，記作f :At B .給定一個集合 A到集合B的映射，且a w A,bw B .如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.R1.31函數(shù)的基本

11、性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值xi、x2,當(dāng)xi< x 2時，者B 有f(x i)<f(x 2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).1 yy=f(x), 下(x )/ f(x )(i)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象上升為增)(4)利用復(fù)合函數(shù)oXix 2x如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值xi、x2,當(dāng)xi< x2時，者B 有f(x i)>f(x 2),那么就說 f(x)在這

12、個區(qū)間上是減函數(shù).yf(X i)y=f(x)呼 .(D利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象下降為減)(4)利用復(fù)合函數(shù)ox ix 2x在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).對于復(fù)合函數(shù)y=fg(x),令u = g(x),若y=f(u)為增，u = g(x)為增，則y= fg(x)為增；若y = f (u)為減,u = g(x)為減，則y = f g(x)為增；若y = f (u)為 增，u=g(x)為減，則y = fg(x)為減；若y = f(u)為減，u = g(x)為增，則

13、y*y= fg(x)為減.a ，(2)打 V函數(shù)f (x) = x+(a > 0)的圖象與性質(zhì)xf (x)分別在(-00, -Va> J0)上為增函數(shù)，分別在一/a©、(0,Jai上為減函數(shù).(3)最大(小)值定義一般地，設(shè)函數(shù) y = f (x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) M滿足：(1)對于任意的xw I ,都有 f(x) <M ；(2)存在x0 W I ,使得f (x0) =M .那么，我們稱 M是函數(shù)f (x)的最大值，記作fmax(X)= M .一般地，設(shè)函數(shù) y = f(x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) m滿足：(1)對于任意的xw I ,都有f (x)

14、至m ； (2)存在x0 w I ,使得f (x0) = m .那么，我們稱 m是函數(shù)f (x)的最小值，記作fmax(x) = m .【1.3.2 奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個x,都有f(二x)=- f(x).,那么函數(shù)f(x)叫做奇酉 數(shù).-a(-* f -a)(a. f (a)0 aK(1)利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于原點對稱)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個x,都有f(二x)= f(x), 那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).¥(-a. f (-a

15、)工1 (a, f )(1)利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于y軸對稱)-a。la ,若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x = 0處有定義，則f (0) =0.奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或 奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).R補充知識1函數(shù)的圖象(1)作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)

16、確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本7初等函數(shù)的圖象.平移變換y = f(x) hh,左移h個單位y = f (x h)9y= f(x) -kkOMJ/k|WB T y = f (x) + k伸縮變換y = f (x) 071?f'T y = f 儂 x),0 :A1y = f(x) a 1,伸 y =Af(x)對稱變換xf xx 軸r , Xy = f(x)y = -f (x)y = f3y軸 > y = f(-x)y = f(x)y = -f(-x)r z x直線丫二1 -1z y = f (x)y = f (x)>y =

17、 f (I x|)去掉y軸左邊圖象f (x) 保雷薩防邁1象;邛柞其關(guān)于一河對稱圖象一、,、保留x軸上方圖象、，一、八|f(x)將所下方圖象翻折工丟T y | f (x) |(2)識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義 域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(3)用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了 “形”的直觀性，它是探求解題途徑, 獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.第二章基本初等函數(shù)(I )R2.1 1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)哥的運算(1)根式的概念如果xn =a

18、, aw R,x w R, n>1,且n N +,那么x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時,a的n次方根用符號n/a表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號n/a表示，負的n次方根用符號一n/a表示；0的n次方根是0；負數(shù)a沒有n次方根.式子 石叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，a之0.根式的性質(zhì)：(n/l) n=a；當(dāng)n為奇數(shù)時，van = a ；當(dāng)n為偶數(shù)時，(a-0)(a :二 0)mn:-m ，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意乂是：an = Ja (a>0,m,nw N+且n>1). 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉等于0.m 1 m 1

19、E正數(shù)的負分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是：a n =(-)n =n(1)m(a>0,m,nw N+且n>1). 0a . a的負分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)ar as =ar*(a A0,r,sw R)(ar)s = ars(a a0,r,sw R)(ab)r =arbr(a 0,b 0,r R)【2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y = ax(a > 0且a #1)叫做指數(shù)函數(shù)圖象a >10<a<1y /y = 1Xx /y=a (0,1) y = ax 'y = 4y(0,

20、1)OxOx定義域R值域(0*)過定點圖象過定點(0,1),即當(dāng)x = 0時，y = 1.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況ax >1 (x >0) ax=1 (x=0) ax <1 (x <0)ax <1 (x>0)ax=1 (x=0)ax>1 (x<0)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.【221】對數(shù)與對數(shù)運算(1)對數(shù)的定義若ax =N(a>0,且a #1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x = loga N ,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).負數(shù)和零沒有對數(shù).對

21、數(shù)式與指數(shù)式的互化：x =loga N u ax = N(a >0,a=1,N >0).(2)幾個重要的對數(shù)恒等式logal =0, loga a=1 , loga ab =b .(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：lgN ,即log10 N ；自然對數(shù)：lnN,即logeN (其中e = 2.71828 ) .(4)對數(shù)的運算性質(zhì) 如果a>0,a=1,M >0,N>0,那么加法：logaM +loga N =loga(MN)減法：loga M log a N = log a MN數(shù)乘：nloga M =loga M n(n W R) alogaN=N log b

22、M n =nloga M (b#0,nw R)換底公式：loga N logbN (b>0,l.b1)a blogb a【2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù) 名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y = loga x(a > 0且a # 1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a >10<a<1i yX x = 1 y = loga xJyx x = 1；y = loga xv(1,0).O卜(1,0)xORx定義域(0*)值域R過定點圖象過定點(1,0),即當(dāng)x = 1時，y = 0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0, 七無)上是增函數(shù)在(0,十大)上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況lOgax>

23、;0 (x>1) lOgax = 0 (x=1) logax<0 (0 < x <1)lOga x<0 (x>1)lOga x = 0 (x=1)loga x > 0 (0<x<1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域為 A ,值域為C ,從式子y = f (x)中解出x ,得式子x 二中(y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過式子 x = (y), x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x =邛(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=(y)叫做

24、函數(shù)y = f (x)的反函數(shù)，記作x=f,(y),一 1 、習(xí)慣上改寫成y = f (x).(7)反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式 y = f (x)中反解出x = f,(y)；11將x = f (y)改寫成y = f (x),并注明反函數(shù)的定義域.(8)反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)y = f (x)與反函數(shù)y = f,(x)的圖象關(guān)于直線y = x對稱.1 .函數(shù)y = f (x)的je乂域、值域分別是其反函數(shù) y = f (x)的值域、定義域.若P(a,b)在原函數(shù)y = f(x)的圖象上，則P'(b,a)在反函數(shù)y=f'(x)的圖象上.一般地，函數(shù) y

25、= f (x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).R2.3 1募函數(shù)(D募函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=x"叫做募函數(shù)，其中 x為自變量，口是常數(shù).(2)募函數(shù)的圖象(3)募函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：嘉函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.募函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限 (圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶 函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 .過定點：所有的募函數(shù)在 (0,也)都有定義，并且圖象都通過點 (1,1).單調(diào)性：如果a >0,則募函數(shù)的圖象過原點，并且在 0,十整)上為增函數(shù).如果a <0,則募函數(shù)的圖象在(

26、0, 十比)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.奇偶性：當(dāng)汽為奇數(shù)時，募函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)口為偶數(shù)時，募函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)a =9 (其中p,q互 P 'q_q質(zhì)，p和q w Z ),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y = xp是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y = xpg是偶函數(shù)，若 p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y =xp是非奇非偶函數(shù).圖象特征：嘉函數(shù) y = x%xw (0,七整)，當(dāng)a >1時，若0cx <1,其圖象在直線y = x下方，若x1,其圖象在直線 y =x上方，當(dāng)口 <1時，若0 <x <1,其圖象在直線 丫 = 乂上方，若乂>1,

27、 其圖象在直線y = x下方.R補充知識1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式2 2一般式：f(x)=ax +bx+c(a *0)頂點式：f(x)=a(x-h) +k(a#0)兩根式：f (x) =a(xx1)(xx2)(a #0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式.已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點式.若已知拋物線與 X軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求f(x)更方便.bx = ,頂點坐標(biāo)是 2a(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)2一次函數(shù)f(x)=ax +bx+c(a #0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為/ b 4ac -b2、(

28、一丁,；)-2 a 4abbb當(dāng)a >0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(_oo, _巴上遞減，在 +望)上遞增，當(dāng)x = _-時,2a2a2a4ac -bbb、，fmin(x)=；當(dāng)a M0時，拋物線開口向下，函數(shù)在 (一8，上遞增，在，+資)上4a2a2ab4ac-b遞減,當(dāng)x=時，fmax(x)=2a4a22一次函數(shù)f(x)=ax +bx+c(a #0)當(dāng) = b 4ac>0時，圖象與x軸有兩個交點Mi(xi，0)M2(x2，0)，MiM2 Hxi -% |=.|a|2(4)一兀一次萬桂ax +bx + c =0(a #0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分

29、知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不 夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達定理)的運用， 下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.2設(shè)一元二次萬程ax+bx + c = 0(a豐0)的兩實根為4,x2,且k E & .令22af(x)=ax +bx + c ,從以下四個萬面來分析此類問題： 開口萬向：a對稱軸位置：x 判別式：端點函數(shù)值符號. kvxiWx?U31xi < x2< k/y2a ki<xi0X2<k2uf(ki)f(%) <0,并同時考慮 f(ki)=0有且僅有一個根Xi (或X2)

30、滿足ki< Xi (或X2) < k2w或f( k2)=0這兩種情況是否也符合ki <xy kzW pi< X2< p2U此結(jié)論可直接由推出.2(5)一次函數(shù)f(X)=aX +bX + c(a00)在閉區(qū)間p,q上的最值1設(shè)f (x)在區(qū)間p, q上的最大值為M ,最小值為 m,x0=_(p+q).2(i)當(dāng)a >0時(開口向上)若b2a< p，則 m = f (p)bb、b若p < -<q，則m = f ()若>q ,則2a2a2am = f (q)若xxxx叫做函數(shù)1、y = f(x)(x D)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y

31、= f (x)的零點就是方程f (x) = 0實數(shù)根，亦即函數(shù)y = f (x)的 圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程f(x) =0有實數(shù)根u 函數(shù)y = f (x)的圖象與x軸有交點u 函數(shù)y = f (x)有零點.3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y = f(x)的零點：(代數(shù)法)求方程f (x) =0的實數(shù)根；(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y = f (x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.4、二次函數(shù)的零點：2二次函數(shù) y = ax + bx + c(a 豐 0).2 >。，萬程 ax +bx+c = 0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩

32、個零點.2)= o,方程 ax2 + bx + c = 0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.23)< o,萬桂ax +bx+c = 0無實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸無交點，二次函數(shù)無零點.高中數(shù)學(xué)必修2知識點第一章空間幾何體1.1 柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：(1) .平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；(2) .平行于y軸的線長度變半，平行于 x, z軸的線長度不變；

33、(3) .畫法要寫好。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖1.3 空間幾何體的表面積與體積(一)空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和225球的表面積S = 4；rR 1_.2錐體的體積V = S底M h32圓柱的表面積 S=2nrl +2冗產(chǎn)3圓錐的表面積 S = 71rl 7rr4圓臺的表面積S=nrl +叮2+用1+岷2(二)空間幾何體的體積1柱體的體積V = S底父h1433臺體的體積V =1 (S上+ qS上S下+S下)Mh4球體的體積 v=1nR3第二章直線與平面的位置關(guān)系450,且橫邊畫2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)

34、系2.1.11平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成成鄰邊的2倍長(如圖)(2)平面通常用希臘字母 a、0、丫等表示，如平面a、平面0等，也可以用表示平面的平行四邊形的四 個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC平面ABC詹。3 三個公理：(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表不為公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)(2)公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A B、C三點不共線=> 有且只有一個平面a , 使 AG a、BG a、CG a。公理2作

35、用：確定一個平面的依據(jù)。(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：PG a A 0 => a A 0 =L，且PG L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：療目交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；共面直線 XI平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線 =>a II ca/ b c/ b強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這

36、個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補 4注意點：a'與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與 O的選擇無關(guān)，為簡便，點 O 一般取在兩直線中的一條上；一JL 兩條異面直線所成的角 9 e (0 , ) ; £當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a±b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形;計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角2.1.3 2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有

37、三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi) 一一 有無數(shù)個公共點(2)直線與平面相交 一一 有且只有一個公共點(3)直線在平面平行 一一 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用 a a來表示a qaCa=Aa/a2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a a。 'Ib 0 匚=> a 卜aa/ b2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩

38、個平面平行符號表小:a/ a/ b2、判斷兩平面平行的方法有二種：(1)用定義；(2)判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a C 0 = b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表小:a / 0、a C 丫 = a a bB n 丫 = b J作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與

39、平面垂直的判定1、定義L _L a ,直P叫做垂足。如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點2、判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b）定理體現(xiàn)了 “直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形0 或 a -AB- 03、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則

40、這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系第三章直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線 l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成 的角a叫做直線l的傾斜角.特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定a = 0 ° .2、傾斜角a的取值范圍：0 ° & a < 180°

41、.當(dāng)直線l與x軸垂直時，a = 90 ° .3、直線的斜率：一條直線的傾斜角a ( a，90° )的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母 k表示，也就是k=tan a當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，a =0° , k = tan0 0 =0;當(dāng)直線l與x軸垂直時，a = 90 ° , k不存在.由此可知，一條直線l的傾斜角a 一定存在，但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式：給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1，x2,用兩點的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率：斜率公式：k=y2-y1/x2-x13.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都

42、有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即二：1 1 一注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立.即如果k1=k2,那么一定有 L1/L22、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線的點斜式方程1、 直線的點斜式 1_1方程：直線l經(jīng)過點P0(xO, y°),且斜率 為 k2y y0 = k(x x0)2、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k ,且與y軸的交點為(0,b) y= kx+ b3.2

43、.2 直線的兩點式方程1、直線的兩點式方程：已知兩點P1(x1,x2), P2(x2, y2)其中(x1 # x2, y1 0 y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方程：已知直線l與X軸的交點為 A(a,0)， 與y軸的交點為 B(Qb), 其中a =0,b = 03.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于 x, y的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (a, b不同時為o) 2、各種直線方程之間的互化。3.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式線的交點坐標(biāo)題：兩直線交點坐標(biāo)得 x=-2, y=23.1Plp2|=j(X2.X2 j +(y2f fL1 : 3

44、x+4y-2=0 L1: 2x+y +2=0.3x 4y- 2= 0解：解方程組y2x 2y 2 0所以L1與L2的交點坐標(biāo)為 M (-2, 2)3.3.2 兩點間距離兩點間的距離公式3.3.3點到直線的距離公式1 .點到直線距離公式：、Ax° + By°+C點P(x°, y°)到直線l : Ax + By + C =0的距離為：d =,A2 B22、兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1Ax + By + C1 = 0 ,1,Ci - C2l2 ： Ax+By+C2 =0,則l1與1的距離為d = 二L ,A2 B2第四章

45、 圓與方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2221、圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程：(x-a) Yy-b)二r圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2. . 222、點M (x0,y0)與圓(xa) +(yb) =r的關(guān)系的判斷萬法：22 2222(1)(x0-a)+(y0b)>r，點在圓外 (x0-a)+(y0b) =r ，點在圓上22 2(3)(x0 -a) +(y0b) <r，點在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 02、圓的一般方程的特點:（1）x2和y2的系數(shù)相同，不等于 0. 沒有xy這樣的二次項.（2）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這

46、三個系數(shù)，圓的方程就確定了.（3）、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指 出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.設(shè)直線 l : ax +by +c =0，圓 C ： x2 + y2 + Dx + Ey + F =0 ,圓的半徑為 r ,圓心（_R , ）22到直線的距離為d,則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：（1）當(dāng)d >r時，直線l與圓C相離；（2）當(dāng)d =r時，直線1與圓C相切；（3）當(dāng)d <r時，直線1與圓C相交；4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位

47、置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為1 ,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：（1）當(dāng)1Ar1+2時，圓Ci與圓C2相離；（2）當(dāng)1=r1+2時，圓G與圓C2外切； 當(dāng)|r1 一2 1<1<門+2時，圓C1與圓C2相交；（4）當(dāng)1 Tn 21時，圓c1與圓C2內(nèi)切；（5）當(dāng)1 ch 21時，圓c1與圓C2內(nèi)含；4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯

48、”成幾何結(jié)論.4.3.1空間直角坐標(biāo)系1、點m對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組 （x, y,z） , x、yz軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組（x, y, z）,對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點AR/ M'。左、z 分別是 P、Q、R 在 x、y、/PM'x3、空間中任意點 M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M (x, y,z) , x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo)。4.3.2空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點 已(不，丫1,乙)到點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式(zi - z2)2RPj 

49、9; J(x1 - x2)2 + (yi - y2)2 +高中數(shù)學(xué)必修3知識點第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成2.算法的特點：有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的 (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟, 前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一

50、步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.1.1.2 程序框圖1、程序框圖基本概念：(一)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。(二)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能-J起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個

51、算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y” ；不成立時標(biāo)明“否”或“ N”。學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。 3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。 判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。 4、判斷框分兩大類，一類判 斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種

52、不同的結(jié)果。5、 在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。(三)、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而1r下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和BA框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí).行B框所指定的操作。B2、條件結(jié)構(gòu)：蕈條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件P是否成立而選

53、擇執(zhí)行 A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行 A框或B框之一，不可能同 時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：(1)、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件 P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行 A框，如此反復(fù)執(zhí)行 A框，直到某一次條件 P 不成立為止，此時不再執(zhí)行 A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。(2)、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P