無(wú)窮小與無(wú)窮大_無(wú)窮小的比較

1、1第第4節(jié)節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較 一、無(wú)窮小一、無(wú)窮小 二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大 三、無(wú)窮小的比較三、無(wú)窮小的比較主講： 唐輝成x定義定義1.121.12若函數(shù)在自變量若函數(shù)在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中的某個(gè)變化過(guò)程中以零為極限以零為極限，則稱在該，則稱在該變化過(guò)程中變化過(guò)程中, ,為為無(wú)窮小量無(wú)窮小量簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱無(wú)窮小無(wú)窮小)(xfy )(xf2.4.1 2.4.1 無(wú)窮小無(wú)窮小例如，當(dāng)例如，當(dāng) 時(shí)，是時(shí)，是無(wú)窮小量；當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量無(wú)窮小量；當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量0 xxsin3x3x1x2) 1( xx21x21x我們經(jīng)常用希臘字母，來(lái)表

2、示我們經(jīng)常用希臘字母，來(lái)表示無(wú)窮小量無(wú)窮小量注意：注意： （1）無(wú)窮小是）無(wú)窮小是以零為極限以零為極限的的變量變量，常數(shù)中只有零是無(wú)窮小常數(shù)中只有零是無(wú)窮小 （2）無(wú)窮小總是和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)的，）無(wú)窮小總是和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)的，例如例如: : 1( )f xx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 為無(wú)窮小為無(wú)窮小x 1( )f xx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 就不是無(wú)窮小就不是無(wú)窮小1( )f xx1x 定理定理1.21.2函數(shù)函數(shù) 以以 為極限的充分為極限的充分必要條件是：可以表示為與一個(gè)無(wú)窮必要條件是：可以表示為與一個(gè)無(wú)窮小量之和即小量之和即)(xfA)(xfAAxfAxf)()(lim0lim其中其中無(wú)窮小的代

3、數(shù)性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和仍是無(wú)窮小。 性質(zhì)性質(zhì)2 有界變量與無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小 。 推論推論1 常數(shù)與無(wú)窮小之積是無(wú)窮小。 推論推論2 有限個(gè)無(wú)窮小之積是無(wú)窮小。定義定義1.11.10 0如果如果 ( (或或 ) )時(shí)，時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱相應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱當(dāng)當(dāng) ( (或或 ) )時(shí)為時(shí)為無(wú)窮大量無(wú)窮大量，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱稱無(wú)窮大無(wú)窮大. .0 xxx ( )f x2.4.2 2.4.2 無(wú)窮大無(wú)窮大( )f x0 xxx 0lim( )(lim( )xxxf xf x 如果函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)如果函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大，按通常意義來(lái)說(shuō)，極限是不存在的，窮大，按通常意

4、義來(lái)說(shuō)，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說(shuō)但為了便于敘述，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是函數(shù)的極限是無(wú)窮大無(wú)窮大”并記為并記為)(xf0()xx x00()()lim( )lim( )xxxxxxf xf x 而且，把正值的無(wú)窮大叫做正無(wú)窮大，把而且，把正值的無(wú)窮大叫做正無(wú)窮大，把負(fù)值的無(wú)窮大叫做負(fù)無(wú)窮大，分別記為負(fù)值的無(wú)窮大叫做負(fù)無(wú)窮大，分別記為例如，例如，0lim 2lim lnxxxx （1） 無(wú)窮大是個(gè)變量，不是常數(shù)無(wú)窮大是個(gè)變量，不是常數(shù) （2） 無(wú)窮大總和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián)無(wú)窮大總和自變量的變化趨勢(shì)相關(guān)聯(lián) 注意：注意： 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無(wú)窮小是無(wú)窮小 x 101x1

5、1xx 例例1 1 指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過(guò)指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過(guò)程中是無(wú)窮小和無(wú)窮大？程中是無(wú)窮小和無(wú)窮大？ 2(1)1(2)1yxyx解解 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無(wú)窮小是無(wú)窮小 0 x 20 x 2x0 x 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無(wú)窮大是無(wú)窮大 x 2x 2x0 x解解 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無(wú)窮大是無(wú)窮大 1x 11x 11x1x 時(shí)，時(shí)， , , 時(shí)，時(shí)， 是無(wú)窮大是無(wú)窮大 x 2x 2x0 x13( ) yx解解 時(shí)，時(shí)， ，所以，所以 時(shí)，時(shí)， 是無(wú)窮小是無(wú)窮小 x 10 x1xx 時(shí)，時(shí)， , ,所以所以 時(shí)，時(shí)， 是正無(wú)窮大是正

6、無(wú)窮大 0 x1x 0 x1x練習(xí)一練習(xí)一1 1. .下列函數(shù)中哪些是無(wú)窮小？哪些是是無(wú)窮大？下列函數(shù)中哪些是無(wú)窮?。磕男┦鞘菬o(wú)窮大？221121311411當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，( )( )( )( )xyxxyxxyxxyx 是無(wú)窮大是無(wú)窮大是無(wú)窮小是無(wú)窮小是無(wú)窮大是無(wú)窮大是無(wú)窮小是無(wú)窮小2150326273183當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，( )( )( )( )xxxyxxyxxyxy 是無(wú)窮大是無(wú)窮大是無(wú)窮小是無(wú)窮小是無(wú)窮小是無(wú)窮小是無(wú)窮大是無(wú)窮大2.2.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過(guò)指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過(guò)程中是無(wú)窮大和無(wú)窮小程中是無(wú)窮大和無(wú)窮小 (1)1yx31(

7、2)yx 時(shí)， 是無(wú)窮小 1x 1x 時(shí)， 是無(wú)窮大 x 1x 時(shí)， 是無(wú)窮小 x 31x0 x 時(shí)， 是無(wú)窮大 31x1(3)1yx 時(shí)， 是無(wú)窮小 x 11x 時(shí)， 是正無(wú)窮大 1x 11x241( )xyx 221211時(shí)，是無(wú)窮小時(shí)，是無(wú)窮大xxyxxxyx 226( )xyx 5( )lgyx 10時(shí)，是無(wú)窮小或時(shí)，是無(wú)窮大lglgxyxxxyx 222220或時(shí)，是無(wú)窮小時(shí)，是無(wú)窮大xxxyxxxyx 解解因?yàn)?，所以是有界變因?yàn)椋允怯薪缱兞?；量?1sinxx1sin例例2 2求求xxx1sinlim0當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量0 xx根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)1.21.2，乘積是

8、無(wú)窮小量即，乘積是無(wú)窮小量即xx1sin01sinlim0 xxx練習(xí)練習(xí)求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限2022112234( )limsinarctan( )limsin( )limcos( )limxxnnxxxxxxnn0 0 0 0 01lim/1/1limlim2xxxxxx，21/2/1limlimxxxx，xxxxxx2lim/1/2limlim2x我們記，它們我們記，它們都是都是x1x221x時(shí)的無(wú)窮小量但時(shí)的無(wú)窮小量但2.4.3 2.4.3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較，趨于零的情況，趨于零的情況x121xx2xx/1x/22/1 x10 100 1 000 10 00010

9、100 1 000 10 000 0.1 0.01 0.001 0.000 10.1 0.01 0.001 0.000 1 0000.2 0.02 0.002 0.000 20.2 0.02 0.002 0.000 20.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 010.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 01定義定義1.141.14設(shè)、是同一變化過(guò)程中設(shè)、是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量，的兩個(gè)無(wú)窮小量，(2)(2)若若( (是不等于零的常數(shù)是不等于零的常數(shù)) )，則稱與是則稱與是同階無(wú)窮小量同階無(wú)窮小量若，則稱若，則稱與是與是等價(jià)無(wú)窮小量等價(jià)無(wú)窮

10、小量climc1c0lim(1)(1)若若, ,則稱是比則稱是比高階的高階的無(wú)窮小量無(wú)窮小量也稱是比也稱是比低階的無(wú)窮小量低階的無(wú)窮小量21關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，有下面重要的性質(zhì)關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，有下面重要的性質(zhì)定理定理44 設(shè)設(shè) ， ，且，且 存在，存在，則則證明：證明： limlimlimlimlimlim22在求極限時(shí)，利用定理，分子分母的無(wú)窮小因在求極限時(shí)，利用定理，分子分母的無(wú)窮小因子可用其等價(jià)無(wú)窮小替換，使計(jì)算簡(jiǎn)化，這種子可用其等價(jià)無(wú)窮小替換，使計(jì)算簡(jiǎn)化，這種方法稱為等價(jià)無(wú)窮小替換法方法稱為等價(jià)無(wú)窮小替換法常用的無(wú)窮小替換有：常用的無(wú)窮小替換有： xx sinxx tanxx arcsinxx arctan2cos12x