第四章 扭轉(zhuǎn)a

1、1上海上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部21引言引言2薄壁圓筒軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形33 圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力及強(qiáng)度條件44圓軸扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)的變形及剛度條件5非圓截面軸扭轉(zhuǎn)非圓截面軸扭轉(zhuǎn) 作業(yè)作業(yè) 3一、工程實(shí)例一、工程實(shí)例1 1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。2 2、汽車(chē)方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、汽車(chē)方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。1 1 引引 言言mmFFm3 3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。上海上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部上海上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)

2、教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院工程力學(xué)部45二、扭轉(zhuǎn)的概念二、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且作桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且作用面垂直桿的軸線(xiàn)。用面垂直桿的軸線(xiàn)。變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿任意兩截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。軸：主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿。軸：主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿。AmBm軸軸mm三、外力：三、外力：m m （外力偶矩）（外力偶矩）1 1、已知：功率、已知：功率 P P千瓦千瓦(KW(KW），轉(zhuǎn)速），轉(zhuǎn)速 n n轉(zhuǎn)分轉(zhuǎn)分(r(rminmin； rpm) )。外力偶矩：外力偶矩：m)(N9549nPm6

3、2 2、已知：功率、已知：功率 P P馬力馬力(Ps)(Ps)，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速 n n轉(zhuǎn)分轉(zhuǎn)分(r(rminmin；rpm) )。外力偶矩：外力偶矩：四、內(nèi)力四、內(nèi)力( (扭矩扭矩) )：m)(N7024nPmTmm0, 0mTmxT1、內(nèi)力的大小、內(nèi)力的大小：（截面法）（截面法）xmmmT Tx取右段為研究對(duì)象：取右段為研究對(duì)象：0, 0TmmxmT 扭矩扭矩T72 2、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定：以變形為依據(jù)，按右手螺旋法則判斷以變形為依據(jù)，按右手螺旋法則判斷。右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背離所在截面則

4、扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。其矢量方向背離所在截面則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。T+T-84 4、內(nèi)力圖（扭矩圖）：表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線(xiàn)變化的圖形、內(nèi)力圖（扭矩圖）：表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線(xiàn)變化的圖形。作法：同軸力圖：作法：同軸力圖：例例 已知：一傳動(dòng)軸，已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從，從動(dòng)輪輸出動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。，試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4（1 1）、截開(kāi)面上設(shè)正值的扭矩方向。）、截開(kāi)面上設(shè)正值的扭矩方向。（2 2）、在采用截面法之前不能將外力

5、簡(jiǎn)化或平移。）、在采用截面法之前不能將外力簡(jiǎn)化或平移。3、注意的問(wèn)題注意的問(wèn)題9 15.9(kN.m)m)(N1015.930050095499549311nPm4.78(kN.m)m)(N 1078. 4300150954995493232nPmm6.37(kN.m)m)(N10 37. 630020095499549344nPm求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）解：解：計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩nPm9549例例 已知：一傳動(dòng)軸，已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從，從動(dòng)輪輸出動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=

6、200kW，試?yán)L制扭矩圖。，試?yán)L制扭矩圖。10nm2 m3 m1 m433A B C D1122T1T2T39.56xT（kN.m）4.786.37 , 0 , 0322mmTmx , 0, 0m34xTm0 , 021mTmx繪制扭矩圖繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。段為危險(xiǎn)截面。m43m2m2mmkN78. 4 21mT1-1截面：截面：2 - 2截面：截面：mkN56. 9 322mmT3 - 3截面：截面：mkN37. 6T43 m11實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)變形規(guī)律變形規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的計(jì)算公式。應(yīng)力的計(jì)算公式。1 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：2 2 薄壁圓筒軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形薄壁圓筒軸扭轉(zhuǎn)的

7、應(yīng)力和變形一、一、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力( (壁厚壁厚0101rt ,r0：為平均半徑）1213認(rèn)為剪應(yīng)力沿壁厚均勻認(rèn)為剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布分布, ,而且方向垂直于其半徑方向。而且方向垂直于其半徑方向。2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線(xiàn)圓周線(xiàn)形狀、大小、間距不變，各圓周線(xiàn)只是繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)形狀、大小、間距不變，各圓周線(xiàn)只是繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng) 了一個(gè)不同的角度。了一個(gè)不同的角度。縱向線(xiàn)縱向線(xiàn)傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。3 3、剪應(yīng)變（角應(yīng)變）、剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：直角角度的改變量。直角角度的改變量。4 4、定性分析橫截面上的應(yīng)力、

8、定性分析橫截面上的應(yīng)力, 0（1 1）00（2 2）因?yàn)閳A周上剪應(yīng)變相同，所以剪應(yīng)力沿圓周均勻分布因?yàn)閳A周上剪應(yīng)變相同，所以剪應(yīng)力沿圓周均勻分布。（3 3）0,Dt Dt145 5、剪應(yīng)力的計(jì)算公式：、剪應(yīng)力的計(jì)算公式：dAdA（dA）r0 。 dA=（r0d）t。2.2020200trtdrrdATAtrT202d二、剪切虎克定律二、剪切虎克定律,pG)1 (2EG在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。ppsb15 在相互垂直的兩個(gè)面上，剪在相互垂直的兩個(gè)面上，剪應(yīng)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，并且大小應(yīng)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，并且大小相等，相等，方向同時(shí)指向或同時(shí)背離方

9、向同時(shí)指向或同時(shí)背離兩個(gè)面的交線(xiàn)。兩個(gè)面的交線(xiàn)。三、剪應(yīng)力互等定理三、剪應(yīng)力互等定理acddxb dy tz0ZMdydxdzdxdydz)()(16一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力（超靜定問(wèn)題）一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力（超靜定問(wèn)題）幾何關(guān)系：幾何關(guān)系：由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律物理關(guān)系：物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律由應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律靜力關(guān)系靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力的計(jì)算公式。應(yīng)力的計(jì)算公式。一）、幾何關(guān)系一）、幾何關(guān)系：1 1、實(shí)驗(yàn)：、實(shí)驗(yàn)：3 3 圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力及強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)

10、力及強(qiáng)度條件2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線(xiàn)圓周線(xiàn)形狀、大小、間距形狀、大小、間距不變，各圓周線(xiàn)只是繞軸線(xiàn)不變，各圓周線(xiàn)只是繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)不同的角度。轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)不同的角度。172 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓軸線(xiàn)圓軸線(xiàn)形狀、大小、間距不變，各圓周線(xiàn)只是繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)形狀、大小、間距不變，各圓周線(xiàn)只是繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng) 了一個(gè)不同的角度。了一個(gè)不同的角度。縱向線(xiàn)縱向線(xiàn)傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。3 3、平面假設(shè)、平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大 小、間距不變，半徑仍為直線(xiàn)。小、間距不變

11、，半徑仍為直線(xiàn)。4 4、定性分析橫截面上的應(yīng)力、定性分析橫截面上的應(yīng)力00（1）00（2）因?yàn)橥粓A周上剪應(yīng)變相同，所以同因?yàn)橥粓A周上剪應(yīng)變相同，所以同一圓周上剪應(yīng)力大小相等，并且方向一圓周上剪應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。垂直于其半徑方向。185 5、剪應(yīng)變的變化規(guī)律、剪應(yīng)變的變化規(guī)律：dxddxRddxaatgaa bbctgxbbd1二）物理關(guān)系：二）物理關(guān)系：彈性范圍內(nèi)彈性范圍內(nèi)PmaxGGdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。xdd19 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（實(shí)心截面）（空心截面）（空心截面）20三）靜力關(guān)系：三）靜力關(guān)系：AdAATAdAIApd2令xGI T

12、pdd 代入物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式 得：得：xGdd pIT圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算式。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算式。pGITx dd dAdAdAAxGAddd 2AxGAddd2OA21橫截面上橫截面上 TPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量，抗扭截面模量，整個(gè)圓軸上整個(gè)圓軸上等直桿：等直桿：TWTmaxmax三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內(nèi)工作。、彈性范圍內(nèi)工作。I Ip p截面的極慣性矩，單位：截面的極慣性矩，單位：二、圓軸中二、圓軸中maxmax的確定的確定44, mmm.,33mmm單位

13、單位：maxpTIW TW22四、四、 的確定的確定 ：1 1、實(shí)心圓截面、實(shí)心圓截面 APdAI2maxPTIW 2 2、空心圓截面、空心圓截面 )(321244223dDdIDdP)1 (1615 . 043DDIWPTDdDdOdDOd,d2AIAptpWI ,Ad222032Dd4321DIp2DIWPT3161D)1 (32144DIp23 例例 功率為功率為150 150 kW，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為15.4 15.4 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖所秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖所示，許用剪應(yīng)力示，許用剪應(yīng)力 =30 =30 M Pa, Pa, 試校核其強(qiáng)度。試校核其強(qiáng)度。nPmTBC9549T1

14、.55 kN.m解解：求扭矩及扭矩圖求扭矩及扭矩圖計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxtWTmax6054. 11509549)(55. 1mkN32 . 0 DT36702 . 01055. 1MPa2324復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1 1、扭轉(zhuǎn)的概念、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直桿的軸線(xiàn)。垂直桿的軸線(xiàn)。變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿任意兩截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。2 2、外力：、外力：m m （外力偶矩）（外力偶矩）P P千瓦，千瓦，m

15、)(N9549nPm3 3、內(nèi)力：、內(nèi)力：T T（扭矩）（扭矩）P P馬力，馬力，n n轉(zhuǎn)分轉(zhuǎn)分。m)(N7024nPm截面法求內(nèi)力、畫(huà)內(nèi)力圖截面法求內(nèi)力、畫(huà)內(nèi)力圖4 4、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力trT2025 5、剪切虎克定律、剪切虎克定律GtAT02256 6、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,pIT7 7、極慣性矩及抗扭截面模量、極慣性矩及抗扭截面模量).1 (16243DDIWPT).1 (3244DIpDdpITmaxmax, 0實(shí)心軸。實(shí)心軸。當(dāng)：當(dāng)：max/pITTWT26五、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力五、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：

16、低碳鋼試件：沿橫截面斷開(kāi)。沿橫截面斷開(kāi)。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線(xiàn)約成沿與軸線(xiàn)約成45 的的螺旋線(xiàn)斷開(kāi)。螺旋線(xiàn)斷開(kāi)。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。27 x方法：取單元體（單元體上的應(yīng)力認(rèn)為是均勻分布的）方法：取單元體（單元體上的應(yīng)力認(rèn)為是均勻分布的）28, 0n, 0t2sin2cos設(shè)：設(shè)：efef 邊的面積為邊的面積為 dAdA 則則 xntefbeb 邊的面積為邊的面積為dAcosef 邊的面積為邊的面積為dAsin0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA029 若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿若材料抗拉壓能力差

17、，構(gòu)件沿4545斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。結(jié)論：結(jié)論： 若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max橫截面上！橫截面上！301 1、強(qiáng)度條件：、強(qiáng)度條件：2 2、強(qiáng)度計(jì)算：、強(qiáng)度計(jì)算：1 1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度: : .)1 (16,16433空實(shí)DDWT六圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度六圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度TWTmaxmax TWTmaxmax TWmaxT2 2）設(shè)計(jì)截面尺寸）設(shè)計(jì)截面尺寸: :3 3）確

18、定外荷載）確定外荷載: :maxTTWm31一、變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）一、變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）PPGITdxddxdGIT 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形、剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形、剛度條件LPGITdx單位：弧度（單位：弧度（radrad）。）。GIGIP P抗扭剛度?？古偠?。dxGITdPpGITlpGITlPGITL單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，mrad32已知已知求求：解解：nPT95491005 . 79549)(2 .716mN 1maxTWT3116dTMPa401dmmm45)(045. 03610402 .71616求實(shí)心軸求實(shí)心軸333求空心軸求空心軸 28. 1)1 (222212

19、1DdAA34二、剛度條件：二、剛度條件： PGITmaxmax 0maxmax180PGITm0三、剛度計(jì)算：三、剛度計(jì)算：1 1、校核剛度、校核剛度； max max GT p I3 3、確定外荷載、確定外荷載: :2 2、設(shè)計(jì)截面尺寸、設(shè)計(jì)截面尺寸: :max T pGIm35 例例 長(zhǎng)長(zhǎng) L=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m= =20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)的作用，桿的內(nèi)外徑之比為外徑之比為 =0.8=0.8，G=80 =80 GPa，許用剪應(yīng)力，許用剪應(yīng)力 =30 =30 MPa，試，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若設(shè)計(jì)桿的外徑；若 =2/=2/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)，試校核

20、此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。角。解解：1.畫(huà)扭矩圖畫(huà)扭矩圖xxmxxT20)()(40220maxmNTTx40 116D ,43）（tW2.2.設(shè)計(jì)桿的外徑設(shè)計(jì)桿的外徑314max 116）（TDTWmaxTD 0.0226m。36代入數(shù)值得：代入數(shù)值得： D 0.0226m。3. 3. 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT)1 (108018040324429D4.4.右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：為：LPdxGIxT0)( m/89. 1LPdxGImx0PGImL22弧度）( 033. 037 例例 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r

21、 / min，輸入功率，輸入功率P1 = 500 馬力，輸出功率分別馬力，輸出功率分別P2 = 200馬力及馬力及P3 = 300馬力，已知：馬力，已知：G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解解： 扭矩圖扭矩圖500400P1P3P2ACBTx7024 4210).(7024500500702411mNmT).(4210500300702432mNmT11223816 31TdWt由剛度

22、條件得由剛度條件得：由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件：maxmaxtWT180maxmaxPGITmm)(4 .741108014. 3180421032 180 32492422 GTd36107014. 3702416mm)(801d 316T36107014. 34210162d 316Tmm)(4 .6732 4 dIp180 GT4921108014. 31807024321d 42 180 32GT mm)(8439 mm4 .74 ,mm8421 dd綜上：綜上： 全軸選同一直徑時(shí)全軸選同一直徑時(shí), mm841 dd 軸上的軸上的絕對(duì)值絕對(duì)值最大最大的扭矩的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，

23、所以，1輪和輪和2輪應(yīng)輪應(yīng) 該該換位。換位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時(shí)此時(shí), ,軸的最大直徑才軸的最大直徑才 為為 75 75mm。Tx 4210(Nm)2814Tx7024 4210原40 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題解扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題的步驟：解扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題的步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程；物理方程（力與變形的關(guān)系）；物理方程（力與變形的關(guān)系）；求解方程組。求解方程組。pGITl41 例例 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L=2 m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑

24、之比為圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226 m =0.0226 m ，G=80 GPa，試求：固定端的反力偶。試求：固定端的反力偶。解解：桿的受力圖桿的受力圖02mmmBA幾何方程：幾何方程：0BA 物理方程物理方程：LPBAdxGIxT0)(42mN 20 AM 由平衡方程得由平衡方程得：另另: :此題可由對(duì)稱(chēng)性直接求得結(jié)果。此題可由對(duì)稱(chēng)性直接求得結(jié)果。mN 20BMxLPBAdxGIxT0)(TxAM0AMmxT0 xmmxMTAxMA202020dxGIxMPA0402PAGIM43 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿與圓截面桿的區(qū)別圓桿

25、扭轉(zhuǎn)時(shí)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí) 橫截面保持為平面；橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)非圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面由平面變?yōu)闄M截面由平面變?yōu)榍妫òl(fā)生翹曲）。曲面（發(fā)生翹曲）。44二、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學(xué)的方法研究彈性力學(xué)的方法研究三、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類(lèi)：1 1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）， 2 2、約束扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)。四、分析兩種扭轉(zhuǎn)：1 1、自由扭轉(zhuǎn)、自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸）， 任意兩相鄰截面翹曲程度相同。任意兩相鄰截面翹曲程度相同。受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)：兩端受外力偶作用。兩端受外力偶作用。變形特點(diǎn)變形特點(diǎn): 相鄰兩截面

26、翹曲完全相同，縱向長(zhǎng)度不變，所以相鄰兩截面翹曲完全相同，縱向長(zhǎng)度不變，所以 縱向應(yīng)變等于零?？v向應(yīng)變等于零。應(yīng)力特點(diǎn)應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力等于零，剪應(yīng)力不等于零。橫截面上正應(yīng)力等于零，剪應(yīng)力不等于零。2 2、約束扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹 曲程度不同。曲程度不同。約束的受力特點(diǎn)約束的受力特點(diǎn)：兩端受外力偶及其它力的作用。兩端受外力偶及其它力的作用。45約束扭轉(zhuǎn)變形特點(diǎn)約束扭轉(zhuǎn)變形特點(diǎn):相鄰兩截面翹曲不相同，縱向長(zhǎng)度發(fā)生變相鄰兩截面翹曲不相同，縱向長(zhǎng)度發(fā)生變 化，所以縱向應(yīng)變不等于零。化，所以縱向應(yīng)變不等于零。約束應(yīng)力特點(diǎn)約

27、束應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力不等于零，剪應(yīng)力不等于零。橫截面上正應(yīng)力不等于零，剪應(yīng)力不等于零。五、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)：五、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)：1 1、剪應(yīng)力分布：、剪應(yīng)力分布：2 2、應(yīng)力計(jì)算、應(yīng)力計(jì)算： 2maxhbTWTt（整個(gè)橫截面上最大的剪應(yīng)力）（整個(gè)橫截面上最大的剪應(yīng)力）。短邊中點(diǎn)短邊中點(diǎn)max13 3、變形：、變形：3hbGTLGITLt長(zhǎng)邊中點(diǎn)長(zhǎng)邊中點(diǎn)bhT與周邊相切，與周邊相切，max1bhP101P10146xyz4 4、在凸角處的剪應(yīng)力等于零。、在凸角處的剪應(yīng)力等于零。31 , ) 10 (bh對(duì)于狹長(zhǎng)矩形對(duì)于狹長(zhǎng)矩形xzzxxyyx,0zx.0 xz.0 xy,0yx又

28、又473)3)、兩者的比值、兩者的比值：例：例： 均相同的兩根軸，分別為圓截面和正方形截面。均相同的兩根軸，分別為圓截面和正方形截面。 試求：兩者的最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)變形，并進(jìn)行比較。試求：兩者的最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)變形，并進(jìn)行比較。daa解：解： 1)1)圓截面圓截面 circularcircular,163maxdMc.324dGMlc2)2)矩形截面矩形截面 squaresquare,208. 033maxaMaMs.141. 044aMlaGMlslAEM,737. 0)2(208. 01633maxmaxasc.886. 02141. 0324sc,422ad.2da結(jié)論結(jié)論：無(wú)論

29、是扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度，還是扭轉(zhuǎn)剛度，圓形截面比正方：無(wú)論是扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度，還是扭轉(zhuǎn)剛度，圓形截面比正方形截面要好。形截面要好。48一、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力一、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力1 1、剪應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。、剪應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。T2 2、剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布；、剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布；與薄壁圓管相似：與薄壁圓管相似：3 3、剪應(yīng)力與中心線(xiàn)相切；、剪應(yīng)力與中心線(xiàn)相切；dsdAdsdAdTdsT2T截面中心線(xiàn)所圍截面積截面中心線(xiàn)所圍截面積dsminmax2T49 例例 橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：a = 50 mm，b = 75 mm，厚度，厚度t =5

30、mm，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶 T = 5000 Nm， 試試求此桿的最大剪應(yīng)力。求此桿的最大剪應(yīng)力。解解：閉口薄壁閉口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)桿自由扭轉(zhuǎn) 時(shí)的最大剪應(yīng)力時(shí)的最大剪應(yīng)力：batminmax2TabtT29107550525000MPa4250第一次作業(yè)：第一次作業(yè)： - 1. - 1. . . 第二次作業(yè)：第二次作業(yè)：- - 51扭轉(zhuǎn)變形小結(jié)扭轉(zhuǎn)變形小結(jié)一、扭轉(zhuǎn)的概念一、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直桿的軸線(xiàn)。變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。二、外力：二、外力：m m （外力偶矩）（外力偶矩）功率 P千瓦，轉(zhuǎn)速 n轉(zhuǎn)分。m)(N9549nPm三、內(nèi)力：三、內(nèi)力：T T（扭矩）（扭矩）功率 P馬力，轉(zhuǎn)速 n轉(zhuǎn)分。m)(N7024nPm1、內(nèi)力的大小確定、畫(huà)內(nèi)力圖522、