勾股定理經(jīng)典例題(含答案)29050

1、經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtA ABC 中，/ C=90(1)已知 a=6, c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c; (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路點(diǎn)撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使 用。解析：(1)在4ABC 中，/ C=90 , a=6, c=10,b=/V-J =*(2)在4ABC 中，/ C=90 , a=40, b=9,c=3+(3)在AABC 中，/ C=90 , c=25, b=15,a一=2。舉一反三【變式】：如圖/ B=/ACD=90是多少？【答案】/ ACD=90AD = 13

2、, CD=12.AC2 =AD2 CD2,AD=13,CD=12, BC=3,則 AB 的長(zhǎng)精選文檔= 132-122 =25.AC=5又/ ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52 32=16.AB= 4AB的長(zhǎng)是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在必死中，5 = 6尸，AC = 10 . .45=30 .求：BC的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥：由條件上夕=6?？冢氲綐?gòu)造含3。口角的直角三角形，為此作于D,則 有/B3 30。,2,再由勾股定理計(jì)算出 AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng).解析：作/口，比于D,則因4二5?？?，反W = 90。-60。= 30（用的兩個(gè)銳

3、角互余）B） = -AB=15.2（在E中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.根據(jù)勾股定理，在此人口中,AD = JAB2-BD2 =歷二于=15、回 .根據(jù)勾股定理，在她5中，C7?= 4AC2 - AD2 = go3-必3 = 65 .求證：朋 一E： - 匚 I -二.1-1：舉一反三【變式1】如圖，已知：Q ,工材產(chǎn)產(chǎn)U2于P.B解析：連結(jié)BM ,根據(jù)勾股定理，在電中, 國(guó)二 RM - PM .而在aAAMF中，則根據(jù)勾股定理有MP1 = AM1 一 AP2 . 5F2 = 8M2 - iAM2 = W2 - AM2 +又二期上。肱（已知）， 二1 二；二二

4、1-5.在曲AECM中，根據(jù)勾股定理有 二1二二 ,AB=4, CD=2。求：四邊形 ABCD【變式2】已知：如圖，/B=/D=90 , /A=60的面積分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng)AB、DC交于F,或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選 第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E . /A=/60 , / B=90 , ./E=30 。 .AE=2AB=8, CE=2CD=4,BE2=AE 2-AB2=82-42=48, BE=標(biāo)=4K。: DE 2= CE 2-CD2=42-22=12 ,DE=屈=2眄 .S 四邊形

5、abcd=S.abe-Sacde=2AB - BE-2 CD . DE=6g類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地 A點(diǎn)出發(fā)，沿東600方向走了 加國(guó) 到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30方向500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離。(2)確定目的地C在營(yíng)地A的什么方向解析：(1)過B點(diǎn)作BE/AD./ DAB= /ABE=6030 +/CBA+/ABE=180 ./CBA=90即AABC為直角三角形由已知可得：BC=500m, AB=二由勾股定理可得：，-所以（2）在 RtA ABC 中， . BC=500m, AC=100

6、0m ./CAB=30 / DAB=60 . / DAC=30即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某 工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ？梁 N-工米-【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH.如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CDXAB , 與地面交于H.解：OC=1米（大門寬度一半），OD=0.8米 （卡車寬度一半）在RtAOCD中，由勾股定理得：CD=g=0 .6 米，CH=0 .6 + 2 .3 = 2 .9 （米）2 .5 （米）.因此高度上有0.4

7、米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股定理求最短問題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊 A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四 個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下, 哪種架設(shè)方案最省電線.C B C R C B H (4)思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路 長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD =3, AB+BC+CD =3圖（3）中，在RtA ABC

8、中AC 二AB/BC2 =近同理,，圖（3）中的路線長(zhǎng)為圖（4）中,延長(zhǎng)EF交BC于H ,則FH BC, BH = CH3d 加二-由/FBH=2及勾股定理得：EA=ED = FB= FC= 3 6垂.EF = 1 2FH=1亍此圖中總線路的長(zhǎng)為4EA+EF =1+后8 2.73232.8282.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高AB為4cm, B C是上底面的直徑.只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C,試求出爬行的最短路程.解:精選文檔cm,根據(jù)勾股定理得如圖，在RtABC中，B。=底面周長(zhǎng)的一半=1 0

9、（提問：勾股定理）.AC= J= 2而=10. 77 （cm）（勾股定理）.答：最短路程約為10.77 cm.類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為 近的線段5、作長(zhǎng)為陋、也、石的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于 也，直角邊為上和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是 跑,類似地可作右作法：如圖所示（1）作直角邊為1 （單位長(zhǎng)）的等腰直角 ACB,使AB為斜邊；（2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角用班。斜邊為走工；順次這樣做下去，最后做到直角三角形 曲片，這樣斜邊期、幽、月鳥、幽的長(zhǎng) 度就是上、也、石、有。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示質(zhì)的點(diǎn)。解析：可以把而 看作是直角三

10、角形的斜邊，1。,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是 3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點(diǎn)，使OA=3，作ACXOA且截取AC=1 ,以O(shè)C為半 徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B即為標(biāo)。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對(duì)頂角相等（正確）3 .原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析： 1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2.

11、逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上? （正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果AABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷AABC的形 狀。思路點(diǎn)撥：要判斷AABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,. （

12、a-3：+（b-4）2+（c-5）2=0。; （a-3j0, （b-4）20, （c-5；20oa=3, b=4, c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華 ：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。舉一反三【變式 11 四邊形 ABCD 中，/B=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形ABCD的面積。【答案】：連結(jié)AC /B=90 , AB=3, BC=4 .AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理） .AC=5 . AC2+CD2=169, AD2=169 .AC2+CD

13、2=AD2 . / ACD=90（勾股定理逆定理）S四地&+ mb 二夏. EC H丁匚【變式2已知:ABC的三邊分別為m2 n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且m n）判斷ABC是否為直角三角形分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可證明:（加 一丹二尸+ （2附制丫 - 2掰%*+同*+加，二幽,十2加/十/=（館。+ /產(chǎn)所以 ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形ABCD, E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=4 AB請(qǐng)問FE與DE是否垂直？青說明?！敬鸢浮看穑篋EXEFo證明：設(shè) BF=a,貝U BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a,.

14、EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE 2=CE 2+CD 2=4a2+16a2=20a2連接DF （如圖）DF2=AF 2+AD 2=9a2+16a2=25a2DF2=EF2+DE2FEXDE經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是 3: 4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過比值 設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x, 4x,根據(jù)題意得：(3x) 2+ (4x) 2 = 202化簡(jiǎn)得x2=i6；J直角三角

15、形的面積=2x3xX4x= 6x2 = 96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股 定理列方程(組)求解。舉一反三 【變式11等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊 ABC,作ADLBC于D2則：BD=之BC (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合)AB = AC=BC= 2 (等邊三角形各邊都相等).BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB2 = AD2+BD2,即：AD2 = AB2-BD2 = 4-1 = 3AD = gSmbc=BC . AD = 世在注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為 a,則其面積為 彳a。【變式2】直角三角形周長(zhǎng)

16、為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是 x, y,根據(jù)題意得：支+y+ 5 = 12(1)/ +/ = 53(2)精選文檔由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y2 = 49 (3)(3)(2),得：xy=12J J直角三角形的面積是5xy=5 x 12=6 (cm2)【變式3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是 n+1 , n+2, n+3,求n。思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長(zhǎng)的邊)長(zhǎng) n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化簡(jiǎn)

17、得：n2 = 4.n=2,但當(dāng) n= 2 時(shí)，n+1 = 10, /. n=2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有 給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是()A、8,15,17B、4,5, 6C、5,8,10 D、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2 = c2a2= (ca) (c+a)來判斷 例如：對(duì)于選擇D,82? (40+39) X (40 39),.以8, 39, 40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可

18、以判斷其它選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈【變式5】四邊形ABCD中，/ B=90 ABCD的面積。解：連結(jié)AC/B=90 , AB=3, BC=4.AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）AC=5. AC2+CD 2=169, AD2=169,AB=3, BC=4, CD=12, AD=13 ,求四邊形.AC2+CD2=AD2. / ACD=90（勾股定理逆定理）1 S四邊形ABCD=Saabc+Saacd=2AB BC+ 2 AC CD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN=30 ,點(diǎn)A處有一所中學(xué),AP=160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100m以內(nèi)會(huì)受到

19、噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路精選文檔MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校 A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是 否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段 AB并計(jì)算其長(zhǎng) 度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解析：作ABLMN,垂足為B。在 RtAABP 中，/ABP=90 , /APB=30 , AP=160, J.AB=3AP=80。(在直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于

20、斜邊的一半)二點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么 AC=100(m),由勾股定理得：BC2= 1002-802 = 3600/. BC= 60。同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn) D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD=100(m), BD = 60(m), .CD = 120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為：18km/h = 5m/st = 120m+ 5m/s = 24so答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí) 間為24秒?？偨Y(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺

21、少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三 【變式11如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷 徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1m),卻踩傷了花草。路解析：他們?cè)瓉碜叩穆窞?+4 = 7(m)設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為xm,則芯=/彳=5 故少走的路長(zhǎng)為75= 2(m)又因?yàn)?步為1m,所以他們僅僅少走了 4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng) 為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。(2)圖中的平行四邊形ABCD

22、含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形 ABCD的面積是 多少？(3)求出圖中線段AC的長(zhǎng)(可作輔助線)(1)單位正三角形的高為更 ！小史一包2 ,面積是224(2)如圖可直接得出平行四邊形 ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積24 乂蟲=&幣二卜-(三丁二逆(3)過A作AK，BC于點(diǎn)K (如圖所示)，則在RtzACK中， 122吠廣 1 15 AC - 7AK1 +KC5 = . 4-f-=而KC = 1+ 1+ - = -12 l2 j類型三：數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法 我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn) 化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC, D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別 是AB、AC邊上的點(diǎn)，且 DELDF,若BE=12, CF=5.求線段EF的長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是 線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.解：連接AD.b因?yàn)? BAC=90 , AB=AC . 又因?yàn)锳D為AABC的中線，N所以 AD=DC=DB . ADXBC