《概率統(tǒng)計(jì)》電子教案：D3-4課本習(xí)題答案與提示

1、習(xí)題習(xí)題3 答案與提示答案與提示 第三章 1. 已知隨機(jī)變量X的分布律為求：2(3) ()E X解解:(1)()E X11111110123626124 13.) 1()2(XE41) 12(23.61) 121(61) 10(31) 11 (121) 11(22222111111= ( 1)0( )1236261243524.);() 1 (XE);1()2(XE).() 3(2XEXP316161121411012212. 已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求：解解:).(XE4140400)(xxxxxF104( )( )40 xf xF x其它)(XEdxxxf)(404dxx4028x2.3

2、.假設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，解解:一民航機(jī)場的送客汽車每次載20位旅客自機(jī)場開出，沿途有10個(gè)車站， 若到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車， 就不停車.試求汽車每趟車停車的平均次數(shù).設(shè)個(gè)車站停車汽車在第個(gè)車站不停車汽車在第iiXi101,2,10i.由于每位旅客在各車站下車是等可能的且相互獨(dú)立，且各個(gè)車站停的概率020iP XP名旅客都不下20109）（位旅客在各車站不下車概率都為則每9,10又車是相同的.1210,XXX獨(dú)立同分布服從分布2020)109(1)109(10設(shè)汽車停車的次數(shù)為Y,則1210YXXX .)(YE1210()()+()10 ()iE XE XE XE X20209

3、9100()1 (1() )1010 784. 84. 設(shè)YX,是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知解解:1, 1PX的分布律為. 3 , 2 , 1,31iiXP又設(shè)),max(YX).,min(YX(1)寫出二維隨機(jī)變量),(的聯(lián)合分布律；(2) 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.(1)顯然最值,取值1,2,3.1, 1YXP9111YPXP1, 2P2, 11, 2YXPYXP.且92以此類推得),(的聯(lián)合分布律為：(2)123123919292929191000 iP913195( )E953312911229.5. 設(shè)隨機(jī)變量 X 與Y 相互獨(dú)立,它們的概率密度函數(shù)分別為;0002)(2

4、xxexfxX.0004)(4yyeyfyY求),(YXE),32(2YXE).(XYE解：解：dxxxf)(022dxxex02)(xdex)(XEdxexexx0202201122xe. dyyyf)(044dyyey04)(ydey)(YEdyeyeyy0404401144ye. dyyfy)(20424dyeyy042)(ydey)(XYEdyyeeyyy0404221( )2E Y)(YXE)()(YEXE113244.)32(2YXE)(3)(22YEXE11523288. 由于X 與Y 相互獨(dú)立，)()(YEXE111248.)(2YE111248.40142yyedy6. 已知

5、隨機(jī)變量X 的分布律為求：解解:()1 0 220 33 0 5E X. ).(),(XDXEXP1230.2 0.3 0.52 3 .2222()10 220 330 5E X.5 9 .)(XD)()(22XEXE25 92 3.0 61.)(XEdxxxf)(13402132xx7.其概率密度函數(shù)為求 X 的方差 D (X) .解解:1101010 xxf( x)xx 其它設(shè) X 為一隨機(jī)變量,顯然111( )0 xxf x 其它為偶函數(shù).11)1 (dxxx0.)(XD)(2XEdxxfx)(2112)1 (dxxx102)1 (2dxxx16.8.一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成， 在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)

6、中部件需要調(diào)整的概率分別為0.1, 0.2, 0.3. 假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，0 , 1 , 2 , 3X.以X 表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X 的數(shù)學(xué)期望)(XE和方差).(XD解：解：0P X 0 90 80 7.504. 01P X 0 1 0 80 70 90 20 70 90 80 3.2P X 顯然398. 00 1 0 20 70 90 20 30 1 0 80 3.3P X 092. 00 1 0 20 3.006. 0006. 0092. 0398. 0504. 03210PXX 分布律為)(2XE)(XE006. 03092. 02398. 01504. 006 .

7、0)(XD)()(22XEXE46. 06 . 082. 02006. 03092. 02398. 01504. 00222282. 09.設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡的壽命X 和Y 的概率XP900 100011000.10.80.1問哪家廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好?分布表分別為:YP950 100010500.30.40.3解解:()9000 1 10000 811000 1E X.1000.( )9500 310000 410500 3E Y.1000.)(XD)()(22XEXE2100200010002000.2222()9000 1 10000 811000 1E X.1002000,)

8、(YD)()(22YEYE2100150010001500.2222()9500 310000 410500 3E Y.1001500,甲乙兩廠燈泡平均壽命相同, 但乙廠方差小,所以乙廠質(zhì)量較好.10. 設(shè)隨機(jī)變量12,nXXX相互獨(dú)立且服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為, a方差為.2b求這 n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值niiXnX11的數(shù)學(xué)期望和方差.解：解：)1()(1niiXnEXE由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)可得：11()niiE Xnnan1a.)1()(1niiXnDXD211()niiD Xn221nbn2b.n11.且求解：解：, 1)()(YEXE, 2)(XD, 4)(YD)()()(YE

9、XEYXE1 12. )()()(YDXDYXD246.)(2YXE設(shè)相互獨(dú)立，與YXX由于與Y相互獨(dú)立22)()()(YXEYXDYXE26210.12.設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的聯(lián)合分布律為:1Y01101810X81818181818181問X是否不相關(guān)?與Y是否相互獨(dú)立？解：解：X與Y 邊緣分布律如下：Y101101810X iP83288381818181818181jP83832883111,1,8P XY X不獨(dú)立.與Y由于,831XP831YP1,111,P XYP XP Y Y101101810X iP83288381818181818181jP838328831)(XE32

10、3101888 0,)(YE323101888 0,8118118118110.)(XYECov(, )()() ( )X YE XYE X E Y所以0,X不相關(guān).與Y13.設(shè)隨機(jī)變量),(YX的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：解解:(),( ),Cov(, ),X ,YE XE YX Y.1()02,02( , )80 xyxyf x y其它201()0280 xy dyx其它( )Xfxdyyxf),(10240 xx其它20)41()(dxxxXE2023)23(41xx76.202)(41dxxx2022)41()(dxxxXE2034)34(41xx53.2023)(41dxxx11( )3

11、6D Y.)(yfY同理10240yy其它)(XD)()(22XEXE25736 （ ）7( ),6E Y Cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y dxdyyxxyfXYE),()( 20208)(dxdyyxxy20202)(81dxdyyxyxdxyxyx202032)32(81dxxx)34(20243.2)67(34136. Cov(, )()( )XYX YD XD Y36113611361111. 1136.14.證證：,1YXZ設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，與YX記,2YXZ試證明. 021ZZ),(),(21YXYXCovZZCov),(),(),(),(YYCovXYCovYXCovXXCov)(),(),()(YDYXCo