九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案)含答案解析

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的專(zhuān)項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案)含答案解析一、銳角三角函數(shù)1.如圖，從地面上的點(diǎn) A看一山坡上的電線桿 PQ,測(cè)得桿頂端點(diǎn) P的仰角是45。，向前 走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn) P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.(1)求/ BPQ的度數(shù)；(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m) .備用數(shù)據(jù)： 啟1； ,【答案】(1) /BPQ=30；(2)該電線桿PQ的高度約為9m.【解析】試題分析：(1)延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；(2)設(shè)PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用 x表示出AE和BE,根 據(jù)A

2、B=AE-BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 4BQE中利用三角函數(shù)求得 QE的長(zhǎng)，則 PQ的長(zhǎng)度即可求解.試題解析：延長(zhǎng) PQ交直線AB于點(diǎn)E,ABE(1) / BPQ=90 -60 =30°(2)設(shè) PE=x米.在直角 APE中，貝U AE=PE=W / PBE=60 °BE西pe植x米,/ BPE=30 °在直角4BPE中，,.AB=AE-BE=6 米，則 x-ix=6,解得：x=9+3則 BE=(373+3)米.在直角 4BEQ中，QE=BeX! (3/3+3) = (3+73 )米.PQ=PE-QE=9+3/3 - (3+73) =6+2 Q =9(

3、米)答：電線桿PQ的高度約9米.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問(wèn)題.2.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,/AEF=90； AE=EF過(guò)點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為 H,連接AC.(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：/ACF=90°連接AF,過(guò)A, E, F三點(diǎn)作圓，如圖 2.若EC=4, ZCEF=15°,求的長(zhǎng).【答案】(1) BE="FH"理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)=2 Tt【解析】試題分析：(1)由ABEEHF (SAS即可得到 BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而B(niǎo)C=

4、AB, FH=EB從而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH為45°,而/ ACB也為45°,從而可證明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直徑，設(shè)圓心為 O,連接E0,過(guò)點(diǎn)E作ENL AC于點(diǎn)N, 則可得4ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得 AE的長(zhǎng)，得到半徑，得到|尼所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長(zhǎng) 試題解析：(1) BE=FH理由如下：四邊形 ABCD是正方形/ B=90 ；1 . FHXBC / FHE=90 °又,：L AEF=90/ AEB+Z HEF="90"且 / BAE+Z AEB=90/ HEF=Z BA

5、E/ AEB=Z EFH 又AE=EF2 .ABEAEHF (SAS3 .BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,/ FCM=45.AC是正方形對(duì)角線，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °（3） AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圓的圓心在斜邊 AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為 O.連結(jié)EO得/AOE=90。BH過(guò)E作EN± AC于點(diǎn)NRtA ENC 中，EC=4, Z ECA=45°, . . EN=NC=

6、#RtA ENA 中，EN =2 0又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 （等弧對(duì)等角）/ EAC=30 °.AE=；RtA AFE 中，AE=40 = EF,，AF=8AE所在的圓O半徑為4,其所對(duì)的圓心角為 /AOE=90°定=2 兀- 490 - 36。° =2 ?？键c(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)3.如圖，平臺(tái)AB高為12m,在B處測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°,底部點(diǎn)C的俯 角為30。，求樓房CD的高度（J3=1. 7）.【答案】32. 4米.【解析】試題分析：首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角

7、形.本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用 其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解.試題解析：如圖，過(guò)點(diǎn) B作BELCD于點(diǎn)E,根據(jù)題意，/DBE=45, /CBE=30. . ABXAC, CD± AC,四邊形ABEC為矩形， .CE=AB=12m,BE在 RtCBE 中，cot Z CBE=一 , CEBE=CE?cot30 ° 為2=1次 33 ,在 RtBDE 中，由 /DBE=45,得 DE=BE=12/3. .CD=CE+DE=12（百+1） =32.4答：樓房CD的高度約為32.4m .考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用 仰角俯角問(wèn)題.4.如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (0, - 6)

8、,點(diǎn)B (6, 0) . RtACDE中，/CDE=90,° CD=4, DE=4jl，直角邊 CD在y軸上，且點(diǎn) C與點(diǎn)A重合.RtCDE沿y軸 正方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng).解答下列問(wèn)題：(1)如圖(2),當(dāng)RtA CDE運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)。重合時(shí)，設(shè) CE交AB于點(diǎn)M,求/ BME 的度數(shù).(2)如圖(3),在RtA CDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng) CE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求BC的長(zhǎng).(3)在RtACDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè) AC=h, OAB與 CDE的重疊部分的面積為 S,請(qǐng)寫(xiě)出 S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值.卸卻圖3【答案】(1) / BME=15 ;(2BC=4

9、 冉；(3) hW2時(shí)，S=-今 T h2+4h+8,4當(dāng) h>2時(shí)，S=18- 3h.【解析】試題分析：(1)如圖2,由對(duì)頂角的定義知，/BME=/ CMA,要求/BME的度數(shù)，需先求出/CMA的度數(shù).根據(jù)三角形外角的定理進(jìn)行解答即可；(2)如圖3,由已知可知/OBC=/ DEC=30,又OB=6,通過(guò)解直角 BOC就可求出BC的 長(zhǎng)度；(3)需要分類(lèi)討論： hW2時(shí)，如圖4,作MNy軸交y軸于點(diǎn)N,作MFLDE交DE于點(diǎn) F, S=SEDC- SAefm； 當(dāng) h>2時(shí)，如圖 3, S=Sxobc.試題解析：解：(1)如圖2,圖2在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A (0, - 6),點(diǎn)

10、B (6, 0) .OA=OB,Z OAB=45 ；/ CDE=90,° CD=4, DE=4后,/ OCE=60 ；/ CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ；/ BME=Z CMA=15 -如圖3,邸/ CDE=90,° CD=4, DE=4百,/ OBC=Z DEC=30,°,.OB=6,BC=4q 3 ;(3)hW2時(shí)，如圖4,作MNy軸交y軸于點(diǎn)N,作MF, DE交DE于點(diǎn)F,圖4. CD=4, 0£=4石，AC=h, AN=NM,.CN=4- FM, AN=MN=4+h - FM,.CMNACEDex w.二CD DE &#

11、39;4-73/解得FM=4 走二!方,2S=Sedc- Saefm= X 4>y4j - (44h) X (4-丸)=-h +4h+8,工工24如圖3,當(dāng)hR2時(shí)，11 S=Sobc= _ OCX OB: (6 - h) X 6=18 3h.考點(diǎn)：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形5.已知RtABC中，AB是。O的弦，斜邊 AC交。O于點(diǎn)D,且AD=DC,延長(zhǎng)CB交。O于點(diǎn)E.(1)圖1的A、B、C D、E五個(gè)點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段明理由；(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作。的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.CE的長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō) 若CF=CD時(shí)，求sin/CAB的值；若CF=aC

12、D(a>0)時(shí)，試猜想sin/CAB的值.(用含a的代數(shù)式表示，直接寫(xiě)出結(jié) 果)怛 ?【答案】(1) AE=CE (2)亨；口+2 .【解析】試題分析：(1)連接AE、DE,如圖1,根據(jù)圓周角定理可得 /ADE=/ ABE=90 ,由于AD=DC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE(2)連接AE、ED,如圖2,由/ABE=90可得AE是。的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得 /AEF=90 從而可證到AD&4AEF,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得 八片=AD?AF. 當(dāng)CF=CD時(shí)，可得月 =3仃"，從而有EC=AE=CD,在DEC中運(yùn)用三角函數(shù)可得DC 寸3sin/CED=&qu

13、ot;： ” ,根據(jù)圓周角定理可得 /CAB=/ DEC即可求出sin/CAB的值；當(dāng) CF=aCD(a>0)時(shí)，同 即可解決問(wèn)題.試題解析：(1) AE=CE理由：連接 AE、DE,如圖 1, . /ABC=90, . . / ABE=90, . . / ADE=/ ABE=90 , / AD=DC- .AE=CE(2)連接 AE、ED,如圖2, ,/ABE=90,. AE是。的直徑，: EF是。OO的切線，AE AD_ _ 、 _ 、 _ =Z AEF=90,Z ADE=Z AEF=90 ,又/ DAE=/ EAFAADEAAEF, . jflr.=AD?AF._ _ _ _ _ _

14、 _ _ 當(dāng) CF=CD時(shí)，AD=DC=CF AF=3DC, .DC I DCII '=DC?3DC=,.AE=， DC, EC=AE.EC=3dC, . .sinZ CAB=sinZ CED=r7=V?UC= 3 ; 當(dāng) CF=aCD(a>0)時(shí)，sinZCAB=a + 2 . CF=aCD AD=DC, . . AF=AD+DC+CF=( a+2) CD, /.AE= IDC, EC=AEEC=/0 + 3DC,DC /一而sin / CAB=sin/ CED=DC /、/、DC2=DC? (a+2) DC= (a+2)'兒,考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.探究型；3.存在

15、型.k-6.如圖，反比例函數(shù) y k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象相交于 xA(1,a),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA / y軸， ABC 90 .(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ；(2)2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x上，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn) A在反比例函數(shù)ky - k 0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點(diǎn) A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可x求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)作BH, AC于H,設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D,根據(jù) ABC 90 , BHC 90，可得C ABH ,再由已知可得 AOD ABH ,從而得 C AO

16、D ,求出tanC即可.【詳解】(1) ;點(diǎn)A(1, a)在y 2x上， a=2, A(1, 2),把A(1, 2)代入y k得k 2, xk;反比例函數(shù)y - k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象交于 a，B兩點(diǎn), xB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱(chēng)，B 1, 2 ；(2)作BHI± AC于H,設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,CA/ y 軸，BH / x軸，AOD ABH , . . C AOD ,AD 2-1 tanC tan AOD2 .【點(diǎn)睛】本題考查了反比例與OD 1次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及到待定系數(shù)法、中心對(duì)稱(chēng)、三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握和應(yīng)用

17、相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，（2）小題求出/C=/AOD是關(guān)鍵.7.如圖，在。的內(nèi)接三角形 ABC中，/ACB= 90°, AC= 2BC,過(guò)C作AB的垂線l交。O 于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是AC上異于A, C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 AP交l于點(diǎn)F,連接PC與PD, PD交AB于點(diǎn)G.(1)求證：PASPDF;(2)若 AB= 5, ?q，求 PD 的長(zhǎng).AP BP【答案】（1）證明見(jiàn)解析;(1)根據(jù) AB± CD, AB 是。的直徑，得到 Ad Ac，/ACD=/B,由/fpc=/b,得 至I Z AC> Z FPQ可得結(jié)論；(2)連接OP,由Rp gp,得到OPLAB, Z

18、 OPG= Z PDQ根據(jù)AB是。O的直徑，得到/ACB=90,由于 AC=2BC,于是得到 tan / CAB= tan / DCB=BC /日玄1I，得到ACCE BE 1OG ，求得 AE= 4BE,通過(guò) OPG EDG,得到 AE CE 2GE理即可得到結(jié)果.【詳解】(1)證明：連接AD,OP,然后根據(jù)勾股定ED. ABXCD, AB是OO的直徑,Xd Xc，Z ACD= Z B= Z ADC, Z FPG= Z B, Z ACEU Z FPQ Z APC= ZACF, Z FAG= Z CAF.PAGACAF;15(2)連接 OP,則 OA=OB=OP=，AB -22Xp §

19、;p ,OPXAB, Z OPG= Z PDQAB是。的直徑，Z ACB= 90 ；,.AC=2BC,BCtan Z CAB= tan Z DCB=，ACCE BE 1"AE CE 2'，AE=4BE,.AE+BE= AB=5,.AE=4, BE= 1, C2, .OE=OB- BE=2.5- 1 = 1.5,Z OPG= Z PDC, Z OGZ DGE,OG.OPGAEDG, GEOPED，OE GE OP 2.5GECE 225GE= , OG=一, 36.PG=OP2OG56GD= DE2 GE223.PD= PG+GD= 3忖本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定

20、理，勾股定理，圓周角定理，證得 OPGsEDG是解題的關(guān)鍵.C (0, 3)三點(diǎn).(1)(2)(3)試求拋物線的解析式； 點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 如圖，若直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)連接 PA,試求5PA+4PC的最/J、值；T ( -4, 0) , Q為直線1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.3-x 3; (2) 5PA+4PC的最小值為18; (3)直線l的解析式 4、，3為y -x3或y3.【解析】【分析】(1)設(shè)出交點(diǎn)式,代入 C點(diǎn)計(jì)算即可(2)連接AC、BC,過(guò)點(diǎn)A作AEL BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PD)± BC于點(diǎn)D,易證CDMA COB,

21、得到比例式PC -PD ,得到PD=- PC,所BC OB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,當(dāng)點(diǎn) A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面積法求出 AE=18 ,即最小值為18 ( 3)取AB中點(diǎn)F, 5以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng)/BAQ= 90°或/ ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸， 所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn) Q使/ BAQ= 90°或/ ABQ= 90°,即 / AQB= 90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn) Q,，直線l與。F相切于點(diǎn)

22、Q時(shí)，滿足/ AQB= 90 °的點(diǎn)Q只有一個(gè)；此時(shí)，連接 FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QGi±x軸于點(diǎn)G,利用cos/QFT求出 QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1)二.拋物線與x軸交點(diǎn)為A ( - 2, 0)、B (4, 0) -y = a (x+2) ( x- 4)把點(diǎn)C (0, 3)代入得：-8a=33 a =8二拋物線解析式為 y= - (x+2) (x- 4) =- - x2+_ x+3884(2)連接 AC BC,過(guò)點(diǎn)A作AE± BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PD)±BC于點(diǎn)D/ CDP= / COB= 90 &#

23、176; / DCP= / OCB. .CD。COBPC PD BC OB- B (4, 0) , C (0, 3) OB= 4, OC= 3, BC= Job2 OC2 =54 - .PD= PC5，5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 (PA+PD 5 當(dāng)點(diǎn) A、P、D在同一直線上時(shí)， 5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小 . A (2, 0) , OCX AB, AE± BC Sa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE 22ABn OC 6 3 18AE= -BC 55 -5AE= 18 5PA+4PC的最小值為18.(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、

24、FA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓當(dāng)/BAQ= 90°或/ABQ= 90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90/ AQB= 90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q 當(dāng)Q在。F上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與 A、B重合)，/AQB= 90 °，直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/AQB= 90的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QGi± x軸于點(diǎn)G/ FQT= 90 ° .F 為 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中點(diǎn) .F (1, 0) , FQ= FA= 3,. T (4, 0)一一 FQ TF= 5, c

25、os/ QFT=TF. RtFGQ 中，cos/QFT=FG 3FQ 5“39 FG= - FQ= 一,9 xq= 1 一55 , QG=，Q2 FG2,32212若點(diǎn)Q在x軸上方，則Q (4 125,設(shè)直線l解析式為：y= kx+b4k012解得:，直線l：若點(diǎn)Q在x軸下方，則45,12一)5，直線l： y3x 34綜上所述，直線l的解析式為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問(wèn)能夠找到滿足條件的Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論9.如圖，在正方形 ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) F在邊BC的延長(zhǎng)線上，且C

26、F AE ,連接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于點(diǎn) H.(1)求證：DE DF ;(2)求證：DH DF :(3)過(guò)點(diǎn)H作HM ± EF于點(diǎn)M,用等式表示線段 AB, HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并 證明.B【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3） EF 2AB 2HM ,證明詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，CF AE得到DE DF .(2)由 zXAED ACFD ,得 DEDF .由 ABC 90 , BD 平分 ABC,得 DBF 45 .因?yàn)镕H平分 EFB,所以DHF DBF BFH 45 BFH , 所以DH DF .(3)過(guò)點(diǎn)H作

27、HN BC于點(diǎn)N ,由正方形EFH BFH .由于DFH DFE EFH 45 EFH ,ABCD性質(zhì)，得bd Jab2 ad272AB.由 fh 平分 EFB， HMHM HN .因?yàn)?HBN 45 , HNB 90 ,所以 BHHNsin 45.2HN 、2HM由EFDFcos45夜DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM（1）證明：.四邊形ABCD是正方形,AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 DE DF .(2)證明：AAEDACFD ,DE D

28、F . EDF 90 , DEF DFE 45 . ABC 90 , BD 平分 ABC, DBF 45 .FH 平分 EFB , EFH BFH .DHFDBF BFH 45BFH ,DFH DFE EFH 45 EFHDHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .證明：過(guò)點(diǎn)H作HN BC于點(diǎn)N ,如圖, .正方形 ABCD 中，AB AD , BAD 90 , BD .AB2 AD2 2AB. FH 平分 EFB , HM EF, HN BC, HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,.Bh hn 萬(wàn)hN .2HM . sin 45DH BD BH . 2AB .

29、2HM . EF DFV2DF 石DH ,cos45 EF 2AB 2HM .【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù) 10.如圖1,以點(diǎn)M ( 1, 0)為圓心的圓與 y軸、x軸分別交于點(diǎn) A、B、C、D,直線y=-:'x工 與。M相切于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出 OE、OM的半徑r、CH的長(zhǎng)；(2)如圖2,弦HQ交x軸于點(diǎn) 巳 且DP:PH= 3:2,求cos/ QHC的值；(3)如圖3,點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)(不與 E、C重合)，連接BK交。M于點(diǎn)T

30、,弦AT 交x軸于點(diǎn)N.是否存在一個(gè)常數(shù) a,始終滿足 MIN- MK=a,如果存在，請(qǐng)求出 a的值；如 果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2圖J【答案】(1) OE=5, r=2, CH=23*,* cosQHC =-(2)(3) a=4【解析】【分析】(1)在直線y= 3 x'中，令y=0,可求得E的坐標(biāo)，即可得到 OE的長(zhǎng)為5;連接 MH,根據(jù)4EMH與EFO相似即可求得半徑為 2;再由EC=MC=2 / EHM=90 ,可知CH 是RTA EHM斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上白中線等于斜邊的一半即可得出CH的長(zhǎng)；(2)連接DQ、CQ.根據(jù)相似三角形的判定得到 CH/QPD,從而求

31、得 DQ的長(zhǎng)，在直 角三角形CDQ中，即可求得/D的余弦值，即為 cos/ QHC的值；(3)連接AK, AM,延長(zhǎng)AM,與圓交于點(diǎn) G,連接TG,由圓周角定理可知， /GTA=90,° Z3=Z4,故 / AKC=Z MAN,再由AMKsNMA 即可得出結(jié)論. 【詳解】(1) OE=5, r=2, CH=2(2)如圖 1,連接 QC、QD,則/CQD =90°, / QHC =/ QDC,DP易知CH/DQP,故 PHDQOH,得dQ=3,由于CD=4,*，二 coszQDC =QD 3CD 4(3)如圖2,連接AK, AM,延長(zhǎng)AM, 與圓交于點(diǎn) G,連接TG,則=2

32、+ "=900 ,N = T/Z + £3 = W由于E/7R。十上口- 90",故，乙R,'。-乙？；而乙”八。一乙2,故"一上2在MM*和卬M%, ±1 一2； "MKjNM月故 AMKsNMAMN AM； ;即：:二* 二二一I -故存在常數(shù)W,始終滿足ar a次=o常數(shù)a="4"解法二：連結(jié)BM,證明AAST sXlKB得二, *二丁， 一-二11.如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn) A北偏東36.5方向上，距離5千米處是村莊 M , 在點(diǎn)A北偏東53.5方向上，距離10千米處是村莊 N ;要在公路 A

33、B旁修建一個(gè)土特產(chǎn) 收購(gòu)站P （取點(diǎn)P在AB上），使得M , N兩村莊到P站的距離之和最短，請(qǐng)?jiān)趫D中作出 P的位置（不寫(xiě)作法）并計(jì)算：（1） M , N兩村莊之間的距離；（2） P 到 M、N 距離之和的最小值.（參考數(shù)據(jù)：sin36.5 =0.6, cos36.5 =0.8, tan36.5 = 0.75計(jì)算結(jié)果保留根號(hào).）【答案】（1） M , N兩村莊之間的距離為 729千米；（2）村莊M、N到P站的最短距離和是5 5千米.【解析】【分析】（1）作N關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'與AB交于E,連結(jié)MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購(gòu)站 的位置.求出 DN, DM,利用勾股定理即可解決問(wèn)題.（

34、2）由題意可知，M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是 MN的長(zhǎng).【詳解】 解：作N關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'與AB交于E,連結(jié)MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購(gòu)站的位置.(1)在 RtANE 中，AN=10, Z NAB=36.5，NE=AN?sin/NAB=10?sin36.5, ° =6AE=AN?cos/ NAB=10?cos36.5 ° , =8過(guò)M作MCAB于點(diǎn)C,在 RtMAC 中，AM=5, /MAB=53.5 .AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5 ,° =3MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5 ° =4過(guò)點(diǎn)

35、M作MD，NE于點(diǎn)D,在 RtA MND 中，MD=AE-AC=5,ND=NE-MC=2,mn=1y522=729,即M , N兩村莊之間的距離為 J29千米.（2）由題意可知，M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是 MN'的長(zhǎng).DN' =10MD=5,在 RtMDN中，由勾股定理，得MN' §52 102 =5 ?。ㄇ祝┐迩fM、N到P站的最短距離和是 5，5千米.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，軸對(duì)稱(chēng)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)添加 常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.12.蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營(yíng)門(mén)灘，南至七里河馬灘，是黃河上游的第一

36、座大型現(xiàn)代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是 31。，拉索AB的長(zhǎng)為152米，主塔處橋面距地面 7.9米（CD的長(zhǎng)），試求出主塔 BD的高.（結(jié)果精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)：sin31 ° =0.,52dos31° 0.§6tan31° =0.60【答案】主塔BD的高約為86.9米.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中由三角函數(shù)得出BC相應(yīng)長(zhǎng)度，再由BD=BC+Cg得出.【詳解】在 RtA ABC 中,/ ACB=90°,sinABCABBC AB sinA 152 sin31 152 0.52 79.04 .BD BC

37、 CD 79.04 7.9 86.94 86.9 （米）答：主塔BD的高約為86.9米.【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形與三角函數(shù)的結(jié)合，熟悉掌握是解決本題的關(guān)鍵13.如圖，在 RtABC中，/C= 90°, /A=30°, AB = 4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿 AB以每 秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PD，AC于點(diǎn)D(點(diǎn)P不與點(diǎn)A, B重合)，作/DPQ= 60°,邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)用含t的代數(shù)式表示線段 DC的長(zhǎng)： ;(2)當(dāng)t =時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)；(3)當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò) 4ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，求出t的值.

38、II 3 51【答案】(1)-01 ； (2) 1； (3) t的值為萬(wàn)或二或彳【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函數(shù)求出 AD,即可得出結(jié)論；(2)利用AQ=AC,即可得出結(jié)論；(3)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】(1) AP= , AB=4,/A=30°.AC= , AD= .cd= y -甲i ；(2) AQ=2AD=2/&當(dāng)AQ=AC時(shí)，Q與C重合即2<&=2*尸 t=1 ;(3) 如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過(guò) AB的中點(diǎn)F時(shí)，111II/ PGF= 90 : PG= ：PQ= ：AP= t, AF=&AB= 2. /A

39、=/AQP= 30 °,，/FPG= 60； . . / PFG= 30 °, . . PF= 2PG= 2t,11,-.AP+PF= 2t + 2t = 2, .=' 如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過(guò) AC的中點(diǎn)N時(shí), ./QMN = 90 ； AN=；AO 小，QM=；PQ= AP=t.在 RtA NMQ 中,NQ =MQCOS 30".AN + NQ= AQ, 如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過(guò) BC的中點(diǎn)F時(shí),二1八,.BF=BC= 1, PE= kPQ=t, / H= 30： / ABC= 60 ；/ BFH= 30 = Z HI,. BH= BF= 1.在

40、RtA PEH 中,PH= 2PE= 2t.5-，AH= AP+ PH=AB+ BH, ，2t+2t=5, ，t = T41 |3 |5即當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò) ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，t的值為w或彳或不. 【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線 的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的關(guān)鍵.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 y=-2x2+bx+c與直線y=1x-3分別交x42軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn) A,頂點(diǎn)為點(diǎn)D,連接CD 交x軸于點(diǎn)E.(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求/ DCB的正切值；(3)如果點(diǎn)F在y軸上，且/ FBC= / DBA+/DCB,求點(diǎn)F的坐標(biāo).D1 O1【答案】(1) yx2 2x 3, D (4, 1) ; ( 2) ； (3)點(diǎn) F坐標(biāo)為(0, 1)或43(0, - 18)【解析】【分析】(1) y= x - 3,2令y= 0,則x= 6,令x= 0,則y = 3,求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、1 2 .C坐標(biāo)代入拋物線(2)求出則點(diǎn)Ey= - -x2+bx+c,即可求解;49則CH= ,即可求3_(3, 0) , EH= EB?sin/ OBC= 丁，CE=