第2章-信號(hào)處理中常用的數(shù)學(xué)變換課件

1、 2.1傅里葉變換傅里葉變換 2.2拉普拉斯變換拉普拉斯變換 2.3Z變換變換 2.4希爾伯特變換希爾伯特變換 2.1.1傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 2.1.2傅里葉積分傅里葉積分 2.1.3傅里葉變換傅里葉變換 2.1.4卷積與相關(guān)函數(shù)卷積與相關(guān)函數(shù))()(nTtxtxT/201. 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)2.1.1傅里葉級(jí)數(shù)00( )()jktkx tX ke001()( )t TjkttX kx t edtTFS傅立葉系數(shù) 是第 次諧波的系數(shù)，所以 在頻率坐標(biāo)軸上是離散的，間隔是 。0()X kk0()X k0( )x tAtT220T0k0()X k2. 傅立葉變換：FT()( )1( )()2

2、j tj tX jx t edtx tX jed 001()( )t TjkttX kx t edtTFS：若 是非周期信號(hào)，可以認(rèn)為：( )x t( )x tT 的周期00( )2 /0,x tTTk 的周期連續(xù)()X j0lim( )( )t TjkttTj tx t edtx t edt 001()( )t TjkttX kx t edtT由0002()lim()limTX kTX k有頻譜密度t( )x tA220( )x tAtT220T0k1. 對(duì)應(yīng)連續(xù)非周期對(duì)應(yīng)連續(xù)非周期 對(duì)應(yīng)連續(xù)周期；對(duì)應(yīng)連續(xù)周期；2. 連續(xù)連續(xù) 離散離散3. 密度密度 強(qiáng)度強(qiáng)度)( jX)(0kX 請(qǐng)深刻理解

3、FS和FT的定義，及它們的區(qū)別與聯(lián)系！ FT存在的必要條件：()( )( )jtX jx t edtx t dt 1( )x tL說(shuō)法1：2( )x tL說(shuō)法2：22( )( )xEx tdtx t dt因?yàn)?2( )( )xEx tdtx t dt因?yàn)樗?，如?是絕對(duì)可積的，那么它一定是平方可積的，但是反之不一定成立。例如，sin2( )tx tt( )x t是平方可積的，但不是絕對(duì)可積的。所以，取 更穩(wěn)妥（即更嚴(yán)格）。2( )x tL周期信號(hào)： 可以實(shí)現(xiàn)傅里葉級(jí)數(shù)的分解， 屬于功率信號(hào)；非周期信號(hào)：可以實(shí)現(xiàn)傅里葉變換， 屬于能量信號(hào)；那么，周期信號(hào)可否實(shí)現(xiàn)傅里葉變換 在經(jīng)典數(shù)學(xué)的意義上是

4、不可實(shí)現(xiàn)的，但在引入了奇異函數(shù)后可以實(shí)現(xiàn)。dtetxjXtj)()(00()jktj tkX keedt dtekXtkjk)(00)()(2ydxejxykkkXjX)()(2)(00密度FT強(qiáng)度FS周期信號(hào)FS例例：令 求其傅立葉變換。0( )cos(2)x tf t因?yàn)椋?所以，嚴(yán)格意義上的傅立葉變換不存在，可將其展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)：2( )x tdt 00000( )()/2,()1/2,1, 1jtkjtjtx tX keeeX kk 現(xiàn)利用 函數(shù) 將 作傅立葉變換：( )x t00()()00( )()()jtjtj tx t edteedt 0()X k1/21/21100k()X

5、 j000FSFT線譜 表達(dá)式是表達(dá)式是 傅里葉積分傅里葉積分存在的條件是存在的條件是x（t）分段連）分段連續(xù)，且在區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積。續(xù)，且在區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積。nnznxzX)()(nnjjenxeX)()(nnjezjenxzXeXj)(| )()(2.1.3傅里葉變換DTFT和Z變換的關(guān)系?。ㄒ唬┒x1. 是離散的，所以變換需要求和；(2 )(2 )()( )jjnnX ex n e( )()j njnx n eX e( )x n2. 是 的連續(xù)函數(shù)；()jX e3. 是 的周期函數(shù)，周期為 ；()jX e24. 存在的條件是 空間1( )x nl()jX e（二）特點(diǎn)可以看作是將 在頻域展開(kāi)

6、為傅立葉級(jí)數(shù)，傅立葉系數(shù)即是 ；()jX e( )x nnnjjenxeX)()(5. DTFT7. 由 可以得到 的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實(shí)現(xiàn)離散信號(hào)的頻頻分析；()jX e( )x n6. 是 在單位圓上取值時(shí)的 變換： jezjzXeX| )()(zz 8. 8. 反變換反變換()()( )( )2( )jj mj nj mnjn mnX eedx n eedx nedx m20)(demnjmnmndeeXnxnjj)(21)(nnjjenxeX)()(四種傅立葉變換四種傅立葉變換: :1. 1. 連續(xù)非周期連續(xù)非周期 連續(xù)非周期連續(xù)非周期( ( ) FT) FT2. 2. 連續(xù)

7、周期連續(xù)周期 離散非周期離散非周期 ( ( ) ) FS FS3. 3. 離散非周期離散非周期 連續(xù)周期（連續(xù)周期（ ） DTFTDTFT4. 4. 離散周期離散周期 離散周期離散周期 DFSDFS 切實(shí)理解四種FT之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系四種傅立葉變換四種傅立葉變換1. 線性)()()()(2121jjebXeaXnbxnaxF2. 移位00 ()()j njF x nneX e3. 奇偶、虛實(shí)性質(zhì)()()( )()()|()|jj njjRInjjX ex n eXejXeX ee （三）性質(zhì))()(nxnx)()(jRjIeXeX)(| )(|jeXoddeven()()( )( )( )()jj

8、 nj nnnjnjnXex n ex n ex n eX e如果 是實(shí)信號(hào)，即( )x n如果 是實(shí)偶信號(hào)，即( )x n( )()x nxn則 是 的實(shí)函數(shù)！()jX e4. 4. 如果如果)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY則：5. 5. 如果如果)()()(nhnxnydeHeXeYjjj)()(21)()(則：時(shí)域卷積定理 頻域卷積定理！()() ()jjjxyEeXeY e2.1.4卷積與相關(guān)函數(shù)卷積與相關(guān)函數(shù)( )( ) ()xynrmx n y nm互相關(guān)：( )( ) ()xnr mx n x nm2()()()()jjjjxE eXeX eX e自相關(guān)：自

9、相關(guān)函數(shù)的 DTFT 始終是 的實(shí)函數(shù)！DTFT 2.2.1拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念 2.2.2拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì) 2.2.3拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用 2.3.1離散時(shí)間序列與離散時(shí)間序列與Z變換變換 2.3.2Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 2.3.3Z逆變換逆變換時(shí)域：時(shí)域：)(tx復(fù)頻域：復(fù)頻域： dtetxsXst)()(jsf2Laplace 變換 s 平面j0所以0dtetxjXtj)()(Fourier 變換 頻域：s 平面j0所以，傅里葉變換是 僅在虛軸上取值的拉普拉斯變換。sjs因?yàn)閟j ( )( )()snx nx ttnT() ()ssn

10、x nTtnT對(duì)離散信號(hào)，可否做拉普拉斯變換 ( )( )stx nx n edt()()stssnx nTtnT edt()()sssnTsTsnx nT eX essTzeL令：()sssjTTj Tjzreeee nnznxzX)()(則：得到：得到： sTsreT sz與拉普拉斯變換 對(duì)應(yīng)連續(xù)信號(hào) 變換 對(duì)應(yīng)離散信號(hào) zssTj Tjreee離散信號(hào)的 z 變換1|2()( )jjrssjj nnzreeTffX ex n e 離散時(shí)間序列的傅里葉變換， DTFTz平面Re zIm z0z平面Re zIm z01r 0202ssssf 020224:2ssTff z平面Re zIm z

11、0rjs 平面02sf4sf2sf4sf00000fsf2sf2sfsfs2s2ss22f 10.50.51k2kN1N 解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuImzj) 1()(nuanxn例2：) 1( nu011,n 其他11011( )1()111ROC:1,nnnnnX za za zza zzaa zza ROC:za)()(nuanxn注意：( )zX zza) 1()(nuanxn( )zX zzazazaZ Z變換的定義變換的定義解：03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX

12、031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj321: )(NNnnx1.1221, 0, 0NNNNROC：0|z右邊有限長(zhǎng)序列21211211( )( )()()NnNNn NX zx n zx Nx Nzz0z 2.21: )(NNnnx0, 021NN|0zROC:雙邊有限長(zhǎng)序列0,zz 3.1: )(Nnnx1|Rz 4.1: )(Nnnx2|Rz 5.nnx: )(21|RzRROC:右邊無(wú)限長(zhǎng)序列ROC：左邊無(wú)限長(zhǎng)序列ROC:雙邊無(wú)限長(zhǎng)序列思考：什么信號(hào)的z變換的收斂域是整個(gè)z平面？Z Z變換的收斂域變換

13、的收斂域 Z變換的收斂域)(nx對(duì)于任意給定的序列 ，使其Z變換收斂的所有z值的集合稱為 的收斂域。)(zX其收斂的充要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即：nnznx)(根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的阿貝爾定理發(fā)散不定收斂111limnnna對(duì)于不同的序列 ，可求得相應(yīng)的收斂域。)(nxZ Z變換的收斂域變換的收斂域 收斂域內(nèi)不包含任何極點(diǎn)，在極點(diǎn)處，收斂域內(nèi)不包含任何極點(diǎn)，在極點(diǎn)處，X X(z)(z)為無(wú)窮大，為無(wú)窮大，Z Z變換不收斂。變換不收斂。 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列的收斂域?yàn)檎麄€(gè)的收斂域?yàn)檎麄€(gè)Z Z平面平面, 可能可能除開(kāi)除開(kāi)z=0z=0, z=z= 。 右邊有限長(zhǎng)序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)

14、z2+ |z|0 左邊有限長(zhǎng)序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|z| 也位于收斂域內(nèi)。也位于收斂域內(nèi)。00)()()(njnnnenxznxzX 如果是如果是左邊序列左邊序列，并且，并且|z|=|z|= 位于收斂域位于收斂域內(nèi)，那么，內(nèi)，那么， 0|z|0|z| 的全部的全部 z z 值也位于值也位于收斂域內(nèi)。收斂域內(nèi)。00)()()(njnnnenxznxzX 如果是如果是雙邊序列雙邊序列，收斂域由圓環(huán)組成。，收斂域由圓環(huán)組成。ImzjRez0ImzjRez0Rez0ImzjZ Z變換的收斂域變換的收斂域逆逆Z Z變換變換當(dāng) 時(shí)，只有一個(gè)單階極點(diǎn)z=a,其圍線積分為：0

15、n01,)(1Re)(21naaazazazasnxnn當(dāng)n0時(shí)，被積函數(shù)在圍線內(nèi)除了在z=a處有一個(gè)單階極點(diǎn)，在z=0處為高階極點(diǎn)，因?yàn)檫@時(shí)在圍線外X(z)zn-1只有一個(gè)單極點(diǎn)z=a-1 ，因此有: 01,)(1Re)(211naaazazazasnxnn2|1)(aanxn 線性性2.3.2Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(設(shè)RzRzbYzaXnbynaxZ)()()()(則,min,maxyxyxRRRRRR其中 序列的移位xxRzRzXnxZ)()(若xxnRzRzXznnxZ)()(00則 序列乘指數(shù)序列（尺度性）xxRzRzXnxZ)(

16、)(若xxnRazRazaXnxaZ)()(1則Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理 序列的反褶xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ/1/1)()(1則 序列的共軛xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ)()(則 Z域微分性xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRdzzdXznnxZ)()(則Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理 初值定理若x(n)為因果序列，它的初值為：)(lim)0(zXxz若x(n)為因果序列，且其Z變換的極點(diǎn)除在z=1處可以有一個(gè)一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則有：)()1(lim)(lim1zXznxzn 終值定理 卷積定理hhxxR

17、zRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(設(shè)RzRzHzXnhnxZ)()()()(則,min,maxhxhxRRRRRR其中Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理 序列相乘（復(fù)卷積定理）hhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(設(shè)hxxhcRRzRRdvvvHvzXjnhnxZ1)()(21)()(則 Parseval定理yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(若yxxyRRRR1且cndvvvYvXjnynx1*)1()(21)()(則Z Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理 重抽樣序列的Z變換對(duì)序列抽取運(yùn)算時(shí)，將序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n

18、)。兩者之間的關(guān)系為： ,2, 1,0)()(nnMxny)()(zXnxZ若10)/2(/1)(1)(MllMjMezXMzY則 逆Z變換2.3.32.3.3Z Z逆變換逆變換從給定的Z變換表達(dá)式(包括收斂域)求原序列的過(guò)程稱為逆z變換。其實(shí)質(zhì)是求X(z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)。 逆Z變換的三種基本方法 圍線積分法 部分分式展開(kāi)法 長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法） 圍線積分法dzzzXjnxcn1)(21)(式中C為收斂域中的一條逆時(shí)針環(huán)繞原點(diǎn)的閉合曲線。 逆逆Z Z變換變換是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C內(nèi)的一組極點(diǎn)是被積函數(shù)X(z)zn-1在圍線C外的一組極點(diǎn) kakb,)(Re)(1kkna

19、zzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx如果 還滿足在 有二階或二階以上的零點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)輔助定理，有: z1)(nzzX)(nx若被積函數(shù) 是有理分式，一般采用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算圍線積分 。根據(jù)留數(shù)定理， 等于圍線C內(nèi)全部極點(diǎn)留數(shù)之和，即: 1)(nzzX逆逆Z Z變換變換在具體利用留數(shù)定理進(jìn)行圍線積分計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)及n值靈活選用公式來(lái)計(jì)算，可使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。例如，在n小于某一值時(shí)，被積函數(shù)在圍線內(nèi)部z=0處可能具有高階極點(diǎn)，這時(shí)采用圍線外部的極點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算將方便得多。 如果 為單階極點(diǎn)，按留數(shù)定理: kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz如果 為

20、階極點(diǎn)，則其留數(shù)為: kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm 求原序列x(n)已知某序列的Z變換為: azazzX11)1 ()(解:dzzazjdzzazjnxcncn121)1 (21)(111并且當(dāng) 時(shí)，z=0處不是極點(diǎn)，被積函數(shù)僅有單階極點(diǎn)a，在收斂域內(nèi)取圍線C包含極點(diǎn)a，可求得:0naz 由于收斂域?yàn)?，可知該序列必定是因果序列。)()(0,1Re)(nuanxnaazazsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z變換變換逆逆Z Z變換變換例例2 2：)()(1 ()(11azazazazazzzzXnnn又| ,)1)(1()(111a

21、zaazazzX求原序列x(n)已知序列的Z變換為：解：Rez0Imzja1/a收斂域|z|=|a|圍線C| | |1aza 所給收斂域 為環(huán)域 原序列 必為雙邊序列)(nx|z|=|1/a|在收斂域內(nèi)作包圍原定的圍線C 部分分式展開(kāi)法逆逆Z Z變換變換用部分分式展開(kāi)法求反Z變換，)()()(zAzBzX通常為有理分式。1、單極點(diǎn)NiiiMiiizazbzAzBzX101)()()(若序列為因果序列，且NM，當(dāng)X(z)的N個(gè)極點(diǎn)都是單極點(diǎn)時(shí)，可以展開(kāi)成以下的部分分式的形式：max1)(110kNkkkzzzzAAzX則其逆Z變換為：)()()(10nuzAnAnxnkkNk逆逆Z Z變換變換說(shuō)

22、明：說(shuō)明：1 1、X X(z)(z)較簡(jiǎn)單時(shí)可按算術(shù)展開(kāi)求各系數(shù)較簡(jiǎn)單時(shí)可按算術(shù)展開(kāi)求各系數(shù)A Ak k(k=0,1,N) (k=0,1,N) 。 2 2、X X(z)(z)較復(fù)雜時(shí)可按留數(shù)定理求各系數(shù)較復(fù)雜時(shí)可按留數(shù)定理求各系數(shù)A Ak k(k=0,1,N)(k=0,1,N)，此時(shí)為了方便通常利用，此時(shí)為了方便通常利用X X( (z z)/z)/z的的形式求?。盒问角笕。?)(Re)()1 (0 ,)(Re)0(10kzzkkNNzzzXszXzzAzzXsabXAk逆逆Z Z變換變換2、高階極點(diǎn)當(dāng)上述有理分式中的MN且具有高階極點(diǎn)時(shí)，若設(shè)除單極點(diǎn)外，在zi處還有一個(gè)s階的極點(diǎn)，則其展開(kāi)式修

23、改為：sikskkksNkkkNMkzzCzzAzBzX)1 (1)(11110式中Bk(k=0,1,N)為X(z)整式部分的系數(shù)，可用長(zhǎng)除法求得。Ak仍按上面的方法計(jì)算，Ck的計(jì)算公式為：skzzXzzdzdksCizzsiksksk, 1)()()!(1逆逆Z Z變換變換例例： 已知 ，求X(z)的原序列。 2) 5 . 0)(2()(2zzzzzX解：3/ 1, 3/421AA由求系數(shù)Ak的公式求得 )() 5 . 0(31)() 2(34)(nununxnn因?yàn)閄(z)的收斂域?yàn)?，為因果序列，從而求得 2z5 . 02)5 . 0)(2()(21zAzAzzzzzX將X(z)變?yōu)閄(

24、z)/z的形式并化為部分分式逆逆Z Z變換變換 長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法）210)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn在具體進(jìn)行長(zhǎng)除法時(shí)，要根據(jù)收斂域先確定序列是左邊序列還是右邊序列。對(duì)于左邊序列左邊序列Z變換為z的正冪正冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)，分子分母多項(xiàng)式應(yīng)按升冪排列升冪排列展開(kāi)；對(duì)于右邊右邊序列，序列，Z變換為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，分子分母應(yīng)按降冪排列降冪排列進(jìn)行展開(kāi)。 典型例題)()(nuanxn 用長(zhǎng)除法求 azazzX11)1 ()(的逆Z變換。 由收斂域知，這是一右邊序列。用長(zhǎng)除法將其展開(kāi)成z的負(fù)冪級(jí)數(shù)時(shí)應(yīng)將分母多項(xiàng)式按降冪排列。 1 2222111 zazaazazaz 2211111zaazaz例例:解：解：nnnzazaazzX02211)(即：逆逆Z Z變換變換逆逆Z Z變換變換例例: 用長(zhǎng)除法求| | | ,)1)(1()(111azaazazzX的逆Z