高等代數(shù)矩陣習(xí)題-文檔資料

1、1題型一題型一 求數(shù)值型矩陣的逆矩陣求數(shù)值型矩陣的逆矩陣基本方法有：基本方法有：1.1.定義法：設(shè)定義法：設(shè)A A的逆矩陣為的逆矩陣為X X，由，由AX=EAX=E（或（或XA=EXA=E），求出），求出X X即可。即可。2.2.公式法：公式法：3.3.初等變換法：初等變換法：AAA11)()(1AEEA4.4.分塊求逆法：若分塊求逆法：若A A能分成以下類(lèi)型之一時(shí)能分成以下類(lèi)型之一時(shí)00,0,0,0021122221112212112211AAAAAAAAAA當(dāng)當(dāng)A11，A22可逆時(shí)，可用分塊求逆公式進(jìn)行計(jì)算可逆時(shí)，可用分塊求逆公式進(jìn)行計(jì)算2例例1.設(shè)設(shè)A1，A2分別為分別為m,n階矩陣，試

2、求階矩陣，試求的逆矩陣。的逆矩陣。4321AAAAA解：43211 -XXXXA令得nmEXAXAXAXAXAXAEXAXA442342213413321100則1314211)(AAAAX1211342112)(AAAAAAX1314213143)(AAAAAAX1211344)(AAAAX即1211341314213141211342111314211)()()()(AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA3例例2.設(shè)設(shè)A，B，A+B都是可逆矩陣，試求：（都是可逆矩陣，試求：（A-1+B-1）-1。解：（1） A-1+B-1=B-1（BA-1+E）=B-1（BA-1+AA-1） = B-

3、1（A+B）A-1（2）（ A-1+B-1）-1 = B（A+B）-1A4題型二題型二 A為抽象矩陣，討論為抽象矩陣，討論A的可逆性的可逆性1.1.證明證明A A可逆的方法可逆的方法（1）把已知矩陣等式寫(xiě)為AB=C的形式， AB=AB=C0知A0，從而可逆；（2）證明AX=0只有零解，則A0，從而可逆；（3）證明的特征值全不為零即可。 2.2.證明證明A A不可逆的方法不可逆的方法（1）反證法，假設(shè)A可逆，再在等式兩邊乘以A-1，導(dǎo)出矛盾；（2）直接計(jì)算A=0；（3）證明A有零的特征值；（4）證明AX=0只有非零解，則A不可逆。 5例例1.設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A滿(mǎn)足關(guān)系式滿(mǎn)足關(guān)系式A3+A2-A

4、-E=0，證明，證明A可逆，并可逆，并求求A-1。解：由A A3 3+A+A2 2-A-E=0-A-E=0可得可得A A（A A2 2-A-E-A-E）=E=E從而 A A（A A2 2-A-E-A-E）= （A A2 2-A-E-A-E） A =1于是A0，故A可逆，且A-1= A A2 2-A-E-A-E6例例2.設(shè)設(shè)A，B為為n階矩陣，且階矩陣，且E-AB可逆，證明可逆，證明E-BA可逆?？赡妗＝猓河梅醋C法設(shè)E-AB不可逆，則存在X00，使（E-AB）X=0=0即 X= BAXX= BAX 于是 AX= ABAXAX= ABAX ，令Y =AXY =AX，則Y0Y0，否則若 Y=0Y=0

5、，則有 X=BAX=BY=0X=BAX=BY=0，這與X00矛盾，從而有 Y=ABY, Y 0Y=ABY, Y 0即即 （E-AB）Y=0, Y 0=0, Y 0這與E-AB可逆矛盾，故E-AB不可逆7題型三題型三 考查矩陣運(yùn)算的特殊性考查矩陣運(yùn)算的特殊性矩陣運(yùn)算不滿(mǎn)足交換律矩陣運(yùn)算不滿(mǎn)足交換律ABBA，涉，涉及到兩個(gè)矩陣是否可交換，一般聯(lián)想及到兩個(gè)矩陣是否可交換，一般聯(lián)想到逆矩陣的定義；但矩陣運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)到逆矩陣的定義；但矩陣運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律：合律：A(BC)=(AB)C，巧妙地運(yùn)用結(jié)，巧妙地運(yùn)用結(jié)合律往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算合律往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算。8例例1.設(shè)設(shè)A，B，C均為均為n階矩陣，階矩陣，E為為

6、n階單位矩陣，若階單位矩陣，若B=E+AB，C=A+CA，則，則B-C為？為？解：由解：由B=E+AB，C=A+CA，知，知 （E-A）B=E，C（E-A）=A， 可見(jiàn)，可見(jiàn)，E-A與與B互為逆矩陣，于是互為逆矩陣，于是B（E-A）=E, 從而有從而有 （B-C）（）（E-A）=E-A， 而而 E-A可逆，故可逆，故B-C=E。 9例2.解：.AAA333222111A10042，求設(shè)3332221116A6PQ(QP)(QP)QP(QP)(QP)PQPQPQAA636A6A6AAAA6A6PQQQPPPQPQA6321111QPPQA111Q321P111321333222111A99999

7、9100222242）（于是，則，令因?yàn)?0題型四題型四 解矩陣方程解矩陣方程（1）含有未知矩陣的等式稱(chēng)為矩陣方程，解矩陣方程的問(wèn)）含有未知矩陣的等式稱(chēng)為矩陣方程，解矩陣方程的問(wèn)題，本質(zhì)上是考查矩陣的運(yùn)算，特別是乘法和逆運(yùn)算，因?yàn)轭}，本質(zhì)上是考查矩陣的運(yùn)算，特別是乘法和逆運(yùn)算，因?yàn)樵诮饩仃嚪匠痰倪^(guò)程中，應(yīng)盡量利用矩陣和運(yùn)算性質(zhì)先化簡(jiǎn)，在解矩陣方程的過(guò)程中，應(yīng)盡量利用矩陣和運(yùn)算性質(zhì)先化簡(jiǎn)，再計(jì)算。再計(jì)算。（2）矩陣方程的基本形式有：）矩陣方程的基本形式有：AX=B，XA=B，AXB=C，若若A為可逆矩陣時(shí)，其解分別為為可逆矩陣時(shí)，其解分別為X=A-1B，X=BA-1以及以及X=A-1CB-1（這

8、里要求（這里要求B可逆）?？赡妫＃?）當(dāng)）當(dāng)A不可逆時(shí)，矩陣方程一般應(yīng)轉(zhuǎn)化為解線性方程組不可逆時(shí)，矩陣方程一般應(yīng)轉(zhuǎn)化為解線性方程組。11例1。的伴隨矩陣，求矩陣是其中，滿(mǎn)足，矩陣設(shè)矩陣XAA2XAXAX11-1111-1-11A1 -解：（若先計(jì)算出方程中的 及A-1，然后再解方程求X，則計(jì)算過(guò)程會(huì)十分復(fù)雜，為了避免求 及A-1，可用公式在等式兩邊同時(shí)左乘矩陣A進(jìn)行化簡(jiǎn)。）A,EAAAAA12解：2AXAAXAAA-1，得兩邊同乘1-2A-EAXEX2A-EA2AXEXAEAAA）（，從而有）（即，上式化為利用公式.10111001141111-1-1111-121X111-1-1111-1

9、22A-EA411-1111-1-11A1 -故，由于13例1。的伴隨矩陣，試求為為單位矩陣，其中滿(mǎn)足設(shè)矩陣BAAE10002-0001A8E-2BABAABA,8E-2ABBA8AA-2ABAABAAAAAAEAAA1 -1 -1 -1即得，再分別右乘，等式兩邊分別左乘利用公式.20004-000240002-00048EA-2A8B1 -）（從而解：14題型五題型五 求矩陣的秩求矩陣的秩例1.A), 2 , 1(0. 0,A212221212111）求秩（其中設(shè)nibabababababababababaiinnnnnn解：因?yàn)锳的任一二階子式1A,0）于是秩（ljkjlikibabababa而A為非零矩陣，故秩（A）1，從而秩（A）=115的秩。試求矩陣設(shè)三階矩陣?yán)鼳,111111A2.xxx2A02-112-2-1112-1112-A0A231A111111111A0A123A0A211,) 1)(2(1111111(2）顯然秩（，這時(shí)有二階子式，且時(shí)，）當(dāng)（，），顯然秩（，且時(shí)，）當(dāng)（，），秩（時(shí)，且）當(dāng)（故）：方法解xxxxxxxx