高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.4圓錐曲線的應(yīng)用講義含解析湘教

1、2.4圓錐曲線的應(yīng)用高頻考點(diǎn)題組化，名師一點(diǎn)就通9（簡(jiǎn)稱“地心” ）F2為自主解答設(shè)橢圓方程為x2 y2a2+b2=1(a>b>0)-橢圓、雙曲線的應(yīng)用圖®®我國發(fā)射的第-顆人造衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球?yàn)橹行囊粋€(gè)焦點(diǎn)的橢圓.已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面2384km,AB是橢圓的長軸，地球半徑約為6371km如圖所示，以直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,A的地球交于C,D兩點(diǎn).求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程.（結(jié)果精確到1km）由題意知|AC=439,|BD=2384,|F2c=|FzD=63

2、71.ac=|OA|OF|=|F2A=439+6371=6810,a+c=|OB+|OI21=|F2B|=2384+6371=8755,解得a=7782.5,c=972.5,所以b=/a2-c2=7a+Cil-C=7722.因此，衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程是x2y277832+77222=1.現(xiàn)拜冏結(jié)（1）有關(guān)橢圓的軌跡問題，應(yīng)注意如下結(jié)論的直接應(yīng)用：“橢圓上到一焦點(diǎn)的距離最大和最小的點(diǎn)，恰是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)”.(2)解決實(shí)際應(yīng)用題的一般思路是：首先根據(jù)題意畫出幾何圖形，并建立合適的平面直角坐標(biāo)系；然后設(shè)出待求橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出題中已知的量和隱含的關(guān)系式，求解方程.1 .某工程要挖一個(gè)橫截

3、面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路APBP運(yùn)到P處，如圖所示，PA=100m,PB=150m,ZAPB=60,試說明怎樣運(yùn)土才能最省工.解：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)M是分界線上的點(diǎn)，則有|MA+|PA=|MBb|PB,于是有|MA|MB=|PB|PA=150100=50.這說明這條分界線是以AB為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，在ap珅，由余弦定理得：|ab2=|AP2+|PB2a=25, c2 = JAB!2_=4 375, 4b2 = c2-a2= 3 750,所以所求分界線方程為:x2 y2625 3 750=1(x>25),于是運(yùn)土?xí)r，將此

4、雙曲線左側(cè)的土沿 AP運(yùn)到P點(diǎn)，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P點(diǎn)最省工.拋物線的應(yīng)用2|AP|PBcos60°=17500,從而篁豳一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過截面為拋物線型的隧道，已知拱口寬AB恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am,求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值.自主解答以拱頂為原點(diǎn)，拱高所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，|如圖所示，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為-4|!,T'由點(diǎn)B在拋物線上，得!1)=2Pa；,所以p=a，所以拋物線方程為x2=ay.將點(diǎn)(0.8,y0)代入拋物線方程，得N。=064.a欲使卡車通過隧道，應(yīng)有|yo|="-&g

5、t;3.44a解得a>12.21,或av0.21(舍去).a取整數(shù)，a的最小值為13.在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系.這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用.JK之芯5 m時(shí)，水面寬為8 m,2 .某河上有座拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱頂3木船寬4m,高2m,載貨后木船露在水面上的部分高為-m,則水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開始不能通航？解：以拱橋拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0).由題意知，點(diǎn)A(4,5)在拋物線x2=2p

6、y(p>0)上,.-16=-2pX(-5),2p=.5拋物線方程為x=7y(4WxW4).5設(shè)水面上漲，船面兩側(cè)與拋物線拱橋接觸于B,B'時(shí)，船開始不能通航，設(shè)B(2,y'),54'.水面與拋物線拱頂相距3|y|+4=2(m)-故水面上漲到與拋物線拱頂相距2m時(shí),船開始不能通航附題高手II妙解題什么是智慧，智慧就是簡(jiǎn)單、高效、不走彎路,一x2y2已知橢圓后+b2=19b>0）與x軸的交點(diǎn)為A，A2,P是橢圓上彳一點(diǎn)，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，證明：以線段PF為直徑的圓與以線段AA為直徑的圓相切.巧思判斷兩圓的位置關(guān)系，即判斷兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系.若為P

7、F的中點(diǎn)，則圓心距為|OMx2y2妙解由橢圓方程£+b2=1(a>b>0)知,以線段A1A2為直徑的圓為x2+y2=a2.設(shè)F1是橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PF的中點(diǎn),111則|MO=2lPR|=2(2aPF)=a2lPF.即以線段A1A2為直徑的圓（圓心為Q與以線段PF為直徑的圓（圓心為M的圓心距等于兩圓的半徑之差，于是兩圓相切.隨堂練習(xí)常態(tài)化，當(dāng)堂強(qiáng)化所學(xué)1 .若方程經(jīng)+g=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）a2a+6A. （3,+00）B. （一00,一2）C.（巴2）U（3,+8）a2>a+ 6, |a+6>0,解得6<a&l

8、t;D.（3,+00）U（-6,-2）“、一x2y2一，解析：要滿足方程石+親=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓需有2或a>3.答案：D2.已知雙曲線X2b|=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,4AOB勺面積為、/3,則p=()A.1C.23B.2D.3c解析：因?yàn)殡p曲線的離心率e=a=2b所以b=43a,所以雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±43x,與拋物線的準(zhǔn)線x=畀目交于a12,乎pb12,所以AOB勺面積為2X2Xq3P=淄，又p>0,所以p=2.答案：C

9、3.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦一兀一PQ,Fi是另一焦點(diǎn)，若/PFQ=1,則雙曲線的離心率e等于()A.2-1B.2C.2+1D.2+2解析：PFF2是等腰直角三角形,|PE|=|FiF2|=2c,|PF|=2>/20,|PF|PE|=答案：C4，4.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，焦距|FiF2|=8,離心率為橢圓上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)Fi的距離5為2,N為MF的中點(diǎn)，則|ONO為坐標(biāo)原點(diǎn))的值為.解析：|FiF2|=2c=8,e=a=5,a=5,.|MF|+|MF|=2a=10,|MF|=2,.|MF|=8.又.QN分別為F1F2,MF的中點(diǎn)，11.ONFiF2M的中位線，|ON=2|MF1

10、=4.A使/答案：45 .設(shè)Fi,F2是雙曲線a2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)FiAE=90°,且AF=3A區(qū)則該雙曲線的離心率為則 2a = AF AF2= 2m,2c= AF2+ AF2=解析：由AF=3AF2,設(shè)AE=mAF=3n(n>0)10m；.離心率e=|=¥0答案：404米，在建橋時(shí)，每4米需用一根支柱支6 .某拋物線形拱橋跨度是20米，拱橋高度是撐，求其中最長支柱的長.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為由題意知，點(diǎn)R10,-4)在拋物線上， .100=2Px(4),2p=25,即拋物線方程為x2=25y

11、. 每4米需用一根支柱支撐，支柱橫坐標(biāo)分別為6,2,2,6. 圖知，AB是最長的支柱之一，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2代入x2=25y,得yB=-254 -AB=425=3.84,即最長支枉的長為3.84米應(yīng)用YUNGYOMG課下訓(xùn)練經(jīng)典化.貴在觸類旁通、選擇題1 .若直線kx+y-1=0(kR)與橢圓X2+ym=1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)U(5,+oo)D.1,+OO)解析：直線kx+y1=0恒過點(diǎn)(0,1),由題意知，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，02 12故有m>Q解得mo 1且mi#5,故選C.mr5,答案：C2.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),F是拋物線y

12、2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF十|MA取得最小值的M的坐標(biāo)為()1A.(0,0)B.2，1C.(1,爪)D.(2,2)解析：設(shè)Mx。，yc),則|MF可以看作是點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到和點(diǎn)A的縱2坐標(biāo)相等時(shí)，|MF+IMA取得最小值，即y0=2,代入y=2x,得x°=2,即M(2,2).答案：D3.橢圓+q=1的焦點(diǎn)為E,F2,P為橢圓上的一點(diǎn)，已知PF1PF2=0,則FFB259的面積為()A. 9B. 12D. 8C. 10解析：PF1PF2=0,，PF，PE.|PF|2+|PE|2=|F1F2|2且|PF|+|PF=2a.又a=5,b=3,c=4.|PF1

13、|2+|PF2|2=64,、PF1|十|PF2|=10.2，得2|PF|-IPF=10264,|PF|PF>|=18.F1PE的面積為1S=2-1PF|1PF|=9.答案：A4.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（匹，0）下2（國,0）,M是此雙曲線的一點(diǎn)，且而F1而F2A.x2-y2= 19=0,|MF1|MF2|=2,則該雙曲線的方程是（）B.x2-必=19x2 y2CT尹1x2D.一y2解析：由已知MF±MF, .|MF|2+|MF|2=|FiF2|2, .|MF|-|MF|)2+2|MF|MF|=|小|2,即(|MF|-|MF)2=(210)2-4=36. .|MF|MF|=&#

14、177;6,a=3,c="T0,b=1,y2雙曲線方程是X2-y2=1. 9答案：A二、填空題5 .若曲線 義+餐r=1表示雙曲線，則k的取值范圍是 4+ k 1 k解析：由題意知(4 + k)(1 -k)<0 ,即(k+4)( k1)>0, k>1 或 k< 4.答案：(一00, 4) U (1 , +OO )x26 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知 ABCW頂點(diǎn)A(-4,0)和Q4,0),頂點(diǎn)B在橢圓陽25=1上,sin A + sin Csin B解析：由橢圓方程x2+y2=1知，a=5, b=3,c=4,即點(diǎn)A(4,0)和C(4,0)是橢259圓的焦

15、點(diǎn).又點(diǎn) B 在橢圓上，. | BA+| Bq=2a=10,且 |AC=8.于是，在 ABC,由正弦定理，得sin A + sin Csin B|BC| 十 |BA| 5-C|=7答案：47.雙曲線的漸近線方程為x±2y = 0,焦距為10,則雙曲線的方程為解析：設(shè)雙曲線的方程為x24y2=入(入 W0),焦距 2c= 10, c2= 25.入 >0 時(shí)，x2 y2= 1, 入_L4入 +=25,入=20;413當(dāng)入0時(shí)，*-3=1,入一人一4入+?:25,入=-20.雙曲線方程為x220y25x2x2 y2答案：20- 55y2 x2=1或了一元=18 .已知拋物線y2=2p

16、x(p>0)上的一點(diǎn)M1,n)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線x2ay2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為p，八解析：由題意，得1+2=5,，p=8,，m=4,M1,4),又N市,0),直線AM的斜率為kAg.aa=a=-.1+4a擊39答案：9三、解答題9 .連霍高速公路的某隧道，其橫斷面由拋物線的一段與矩形三邊組成，尺寸如圖所示.一輛卡車在空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，卡車與箱共高4.5米，此時(shí)，卡車能否通過此隧道，請(qǐng)說明理由.解：以此隧道的橫斷面的拋物線拱頂為原點(diǎn)，拱高所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=- 2py( p>0),依題意知點(diǎn)A(3 , - 3)在拋物線上,1*米10. 一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面233=-2pX(-3),斛得p=2,，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=3y.又集裝箱寬3米，當(dāng)x=1.5時(shí)，y=0.75,米，而箱頂離地面的即離隧道中心線1.5米處，隧道面離地面的距離為50.75=4.25高度為4.5米，故此時(shí)卡車不能通過此隧道.(橢圓繞其對(duì)稱軸明窗旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分.過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)Fi上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)Fi發(fā)出的光線,F1B= 2.8 cm ,