實(shí)變函數(shù)練習(xí)及答案

1、實(shí)變函數(shù)練習(xí)及答案、選擇題1、以下集合,()是不可數(shù)集合.A所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式集合；B.0,1中的無(wú)理數(shù)集合；C.單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)所成集合；D.以直線上互不相交的開(kāi)區(qū)間為元素的集.2、設(shè)E是可測(cè)集,A是不可測(cè)集,mE0,那么EUA是()A可測(cè)集且測(cè)度為零；B.可測(cè)集但測(cè)度未必為零；C.不可測(cè)集；D.以上都不對(duì).3、以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A. f(x)在a,bL一可積f(x)在a,bL一可積；B. f(x)在a,bR一可積f(x)在a,bR一可積；C. f(x)在a,bL可積|f(x)在a,bR一可積;D. f(x)在a,R廣義可積f(x)在a,bL一可積4、設(shè)En是一列可測(cè)集,EiE

2、2.En.,那么有()A.m(UEn)limmEn;B.m(UEn)limmEn;n1n1C.m(IEn)JmmEn；D.以上都不對(duì).n15、ABUCABC成立的充分必要條件是()AAB；B.BA；C.AC；D.CAo6、設(shè)E是閉區(qū)間0,1中的無(wú)理點(diǎn)集,那么()AmE1；B.mE0；C.E是不可測(cè)集；D.E是閉集.7、設(shè)mE,fnx是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列,fx是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù),那么fnx幾乎處處收斂于fx是fnx依測(cè)度收斂于fx的()A.必要條件;B.充分條件;C.充分必要條件；D.無(wú)關(guān)條件.8、設(shè)fx是E上的可測(cè)函數(shù),那么Afx是E上的連續(xù)函數(shù)；B.fx是E上的勒貝格可積

3、函數(shù)；C.fx是E上的簡(jiǎn)單函數(shù)；D.fx可表示為一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限.c二、填空題：1、設(shè)ERn,x0Rn,如果x0的任何鄰域中都含有E的點(diǎn),那么稱x0是E的聚點(diǎn).2、設(shè)ERn,假設(shè)E是有界點(diǎn)集,那么E至少有一個(gè)聚點(diǎn).3、設(shè)fx是E上的可測(cè)函數(shù),mA0,那么fx是EUA上的函數(shù).4、設(shè)在E上,fnx依測(cè)度收斂于fx,那么存在fnx的子列.x,使得在E上,fnx斂于fx.nk1,5、設(shè)設(shè)An1,2-,n1,2,.,那么血A.nn6設(shè)P是Cantor集,G0,1P,那么mG.7、寫(xiě)出一個(gè)0,1與,之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系式8.設(shè)fxex,x是有理數(shù)x2,娓無(wú)理數(shù)fxdx0,19、設(shè)E是0,10,1中有理數(shù)全

4、體,那么E的閉包E為10、直線上的任意非空開(kāi)集可以表示成的并集.三、判斷題.231、R2與R3的勢(shì)是不等的.2、設(shè)mE,fnx為E上一列a.e有限的可測(cè)函數(shù),假設(shè)在Efnxa.e收斂于a.e有限的可測(cè)函數(shù)f(x),那么fn(x)在E上依測(cè)度收斂于f(x).()3、假設(shè)fn(x)LP,p1,limfn(x)f(x)Lp,那么limffII0.()nnnp4、設(shè)f(x)在(0,)上R可積,那么f(x)在(0,)上必L可積.5、假設(shè)P不是E的聚點(diǎn),那么P是E的孤立點(diǎn).()6、設(shè)mE0,那么對(duì)E上的任何實(shí)值函數(shù)f(x)都有ef(x)dx0.()7、設(shè)f在ERq上可測(cè),那么由f在E上可積可以推出f在E上

5、可積,但反之不對(duì).()8、假設(shè)fn為E上非負(fù)單調(diào)可測(cè)函數(shù)列,且limfn(x)f(x),那么nlimfn(x)dxf(x)dx.()nEE四、計(jì)算題與證實(shí)題1、證實(shí)：假設(shè)AB,B:BUC,那么A:AUC.一_1._.2、設(shè)fx是R上的實(shí)值連續(xù)函數(shù),a是任意給定的實(shí)數(shù),證實(shí)Gxfxa是開(kāi)集3、設(shè)E1,E2都是可測(cè)集,試證：mE1mE2mE1UE2mE1IE2.4、設(shè)在可測(cè)集E上,fnxfx,且fnxfn1xae于En1,2,LL,試證實(shí):limfnxfxae于E.n5、設(shè)fnxfx,fnxgx,那么f(x)g(x)在E上幾乎處處成立.6、表達(dá)并且證實(shí)魯津定理的逆定理7、計(jì)算nrn21nx0(12

6、、nx)dx.18、右r,p,q0,-r11-,且有關(guān)函數(shù)的積分存在,證實(shí):pqllfgllr|f|lp|g|lq答案.選擇題1.B2,C3.A4.B5.D6.A7.B8.D二.填空題1.無(wú)窮多個(gè)2.無(wú)窮3.8.19.0,10,1三、判斷題1 .X2.,3.6. V7、X8.四、證實(shí)與計(jì)算1 .證實(shí)：根據(jù)集合的性質(zhì)有：AABUCUAI并且集合ABUC與AI由于BA,因此BAI可測(cè)4.幾乎處處收斂10.有限個(gè)或可列個(gè)構(gòu)成區(qū)間X4.X5.XX5.1,26.17.yctgBUCAUCABUCUBUCBUC,ABUC與BUC是不相交的.BUCBUC,由題設(shè)B:BUC可知AIBUC于是A:AUC2、設(shè)X

7、0A7,那么存在A中的互異點(diǎn)列Xn,使彳tXn而f%a,n1,2,LL,由極限的保號(hào)性,由于GA,故G是開(kāi)集.3、證實(shí)：由于E1,E2都是可測(cè)集,根據(jù)可測(cè)集的性質(zhì),如果mE1和mE2中至少有一個(gè)為Xo,因fx連續(xù),所以fXolimfXnnfXoa,因此x0A,故A是閉集.E1UE2和E11E2都是可測(cè)集,那么結(jié)論顯然成立.設(shè)mE1,mE2.根據(jù)集合的性質(zhì)可知E1UE2E1E1IE2UE2E1IE2UE1IE2而且上式右端三個(gè)集合是兩兩不相交的可測(cè)集,因此根據(jù)測(cè)度的有限可加性有mE1UE2mEiEiIE2mE2EiIE2mEiIE2mE1mE1IE2mE2mE11E2mE11E2mE1mE2mE

8、11E2所以mE1mE2mE1UE2mE11E2成立.4、證實(shí)：因fnxfX,那么由黎斯定理,存在子列fnx,使得limfnxfx.a.e.于E.1kknk令EoUEfnXn1fn1xUEfnkxfx,那么mEo0o對(duì)任意xoEEo,有fnXofn1Xo,且limfnXokfXoofXo,因此在EEo上恒有fxa.e.于E.g(x),由于fnxo是增加數(shù)列,故limfnxolimfnxonkklimfnxfx成立,故limfnxnn5、.證實(shí)：由于f(x)g(x)f(x)fk(x)fk(x)故對(duì)任何自然數(shù)n,1,1、,1、xE:1fgi7xE：1ffk1彌xE：|fkg|癡從而m(xE:|fg

9、|)m(xE:|fn,1、,1、fk|點(diǎn))m(XE:|fkg|常令k,即得m(xE:|fg|)0.n1、但是xE:fgxE:|fg|n1n故m(xE:fg)0,即f(x)g(x)a.e.于e.6.表達(dá)：設(shè)f(x)是E上a.e.有限的函數(shù),假設(shè)對(duì)任意0,存在閉子集FE,使f(x)在F上連續(xù),且m(EF),證實(shí)：f(x)是E上的可測(cè)函數(shù).1._證實(shí)：nN,閉集匕E,m(EFn),f(x)在匕連續(xù).令F2UIFn,那么k1nkxFk,xIFnf(x)在x連續(xù)nkf(x)在F連續(xù),又對(duì)k,m(EF)m(E(IFn)m(U(Enknk1Fn)m(EFn)獲,nk2故m(EF)0,f(x)在FE連續(xù),又m(EF)0,所以f(x)是EF上的可測(cè)函數(shù),從而是E上的可測(cè)函數(shù).7.解：令fn(x)21nx2n(1x)易見(jiàn)fn(x)21nxZ21nxfn(x)2nnx2n(1x)nF2n1(1x)n422(n1)xx令g(x)4x2那么在0,1上fn(x)g(x),由0g(x)dx與1g(x)dxg(x)在R是可積函數(shù),于是由限制