專(zhuān)題117——震驚,史上最全雙曲線(xiàn)二級(jí)結(jié)論大全

1、1. PF1 PF22a雙曲線(xiàn)222.標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21ab3.PF1d1e1QQ 群 545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落4點(diǎn)P 處的切線(xiàn)PT 平分PF1F2在點(diǎn)P 處的內(nèi)角.5 PT 平分PF1F2在點(diǎn)P 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線(xiàn)PT上的射影H 點(diǎn)的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓，除去實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn).6以焦點(diǎn)弦PQ 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)相交.7以焦點(diǎn)半徑PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切.8設(shè)P 為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則PF1F2的內(nèi)切圓必切于與P 在同側(cè)的頂點(diǎn).22xy9雙曲線(xiàn)x2y21 (a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1(a,0),A2(a,0) ，與 y 軸平行的直線(xiàn)

2、22ab交雙曲線(xiàn)于P1、 P2時(shí)A1P1 與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是x2y21 .a2b22210若P0(x0, y0)在雙曲線(xiàn)x2y21 ( a> 0,b> 0)上，則過(guò)P0的雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程是abx0x2ay0y b21.2 x11 若P0 (x0 ,y0 ) 在雙曲線(xiàn)2aM 為 AB 的kOM kABb22. a2y21 ( a> 0,b> 0)外 ，則過(guò) Po 作雙曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)切b點(diǎn)為P1、 P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線(xiàn)方程是x0xy0y1 .a2 b222xy12 AB 是雙曲線(xiàn)221 ( a> 0,b> 0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，ab2

3、213若P0(x0,y0)在雙曲線(xiàn)x2y21 (a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是ab22x0xy0yx0y02222.abab22 xy14若P0 (x0 , y0 ) 在雙曲線(xiàn)22 1 ( a> 0,b> 0)內(nèi)，則過(guò)Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是ab22x yx0x y0y2222.abab22 xy15 若 PQ 是 雙 曲 線(xiàn) 221 ( b> a > 0) 上 對(duì) 中 心 張 直 角 的 弦 ， 則ab11112222 (r1 | OP |,r2 | OQ |) .r1r2a b22xy16 若 雙 曲 線(xiàn) 22 1 ( b>

4、a > 0) 上 中 心 張 直 角 的 弦L 所 在 直 線(xiàn) 方 程 為ab11222aA bBAx By 1 (AB 0) ,則 (1)22 A B ;(2) L 2 22 2 .a b|aA bB |222222222222 a b 217給定雙曲線(xiàn)C1 ： b x a y a b ( a> b> 0) , C2 ： b x a y ( 22 ab) ,ab則 (i) 對(duì)C1 上 任 意 給 定 的 點(diǎn)P(x0, y0) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 須 經(jīng) 過(guò)C2 上 一 定 點(diǎn)2222ababM ( 22 x0,22 y0).abab(ii) 對(duì) C2上任一點(diǎn)

5、P'(x0', y0') 在C1 上存在唯一的點(diǎn)M ',使得 M '的任一直角弦都經(jīng)過(guò)P'點(diǎn) .22xy18 設(shè)P(x0, y0)為雙曲線(xiàn)221(a>0,b>0)上一點(diǎn)，P1P2為曲線(xiàn)C 的動(dòng)弦,且弦PP1,abPP2 斜率存在，記為k1, k 2, 則直線(xiàn)P1P2 通過(guò)定點(diǎn)M (mx0, my0) (m 1) 的充要條件是1 m b2k1 k22 .1ma22xy19 過(guò)雙曲線(xiàn)22 1( a> 0,b> o) 上任一點(diǎn)A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)交ab雙曲線(xiàn)于B,C 兩點(diǎn)，則直線(xiàn)BC 有定向且kBCb2x

6、02a y022xyF1， F 2，點(diǎn)P 為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)2面 積 為 S F1PF2b cot20雙曲線(xiàn)22 1 ( a> 0,b> o)的左右焦點(diǎn)分別為abF1 PF2， 則 雙 曲 線(xiàn) 的 焦 點(diǎn) 角 形 的a222 b2P( c b cot , cot ) c2c222xy21若 P為雙曲線(xiàn)22 1 ( a> 0,b> 0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦abcaca點(diǎn) ,PF1F2,PF2 F1，則tan cot (或tan cot ) .1221c a 22 c a 222222雙曲線(xiàn)x2y21 ( a> 0,b> o)的焦半

7、徑公式：F1( c,0) , F2(c,0)abM (x0, y0)在右支上時(shí)，|MF1 | ex0 a,| MF2 | ex0 a.當(dāng) M(x0,y0)在左支上時(shí)，|MF1 |ex0 a,|MF2 |ex0 a.22xy23若雙曲線(xiàn)22 1 ( a> 0,b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、 F2，左準(zhǔn)線(xiàn)為L(zhǎng)，則當(dāng)1ab< e2 1 時(shí)， 可在雙曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P， 使得 PF1 是 P 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離d1 與 PF2的比例中項(xiàng).22xy24 P 為雙曲線(xiàn)22 1( a> 0,b> 0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A 為雙曲線(xiàn)左支內(nèi)一定ab點(diǎn)，則| AF2 | 2a

8、 | PA| | PF1 |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P 三點(diǎn)共線(xiàn)且P 在左支時(shí)，等號(hào)成立.22xy25雙曲線(xiàn)22 1( a> 0,b> 0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l ： y k(x x0) 對(duì)稱(chēng)的充要條ab件是x02(aa22 bb22k)22 k 0且 kab26 過(guò)雙曲線(xiàn)焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與切線(xiàn)垂直.27 過(guò)雙曲線(xiàn)焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)交相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與焦半徑互相垂直x asec28 P 是雙曲線(xiàn)y btan條件是e21 2 .1 tana> 0， b> 0)上一點(diǎn)，則點(diǎn)P 對(duì)雙曲線(xiàn)兩

9、焦點(diǎn)張直角的充要22 xy29設(shè)A,B 為雙曲線(xiàn)22 k ( a> 0,b> 0， k 0,k 1 )上兩點(diǎn)，其直線(xiàn)AB 與雙曲ab22xy線(xiàn) x2y2 1 相交于 P,Q ,則 AP BQ.ab2 x30在雙曲線(xiàn)2ab21 中，定長(zhǎng)為2m( m 0)的弦中點(diǎn)軌跡方程為2 my22b222221 a sinh t b cosh t ， coth ta2 cosh2 t b2 sinh2t ,coth t ay bxbxay, x 0時(shí) t 0，弦兩端點(diǎn)在兩支上, y 0時(shí) t 0，弦兩端點(diǎn)在同支上31設(shè)S 為雙曲線(xiàn)221ab支 上 移 動(dòng) ， 記 |AB|= l ，a> 0,

10、b> 0)的通徑，定長(zhǎng)線(xiàn)段L 的兩端點(diǎn)A,B 在雙曲線(xiàn)右M (x0, y0 ) 是 AB 中 點(diǎn) ， 則 當(dāng) l S 時(shí) ， 有(x0)minac2le(c2a2b2,eca);當(dāng)l S時(shí)，有(x0)min2ab4b2 l2 .22 xy32雙曲線(xiàn)221 ( a> 0,b> 0)與直線(xiàn)Ax By C 0 有公共點(diǎn)的充要條件是ab22222Aa Bb C .(x x )2 (y y )233雙曲線(xiàn)(x 2x0)(y 2y0)1( a> 0,b> 0)與直線(xiàn)Ax By C 0有公共點(diǎn)的充ab要條件是A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.2234設(shè)雙曲線(xiàn)x2y2

11、 1 ( a> 0,b> 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、 F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線(xiàn)a2b2上 任 意 一 點(diǎn) ， 在 PF1F2 中 ， 記F1PF2,PF1F2, F1F2P， 則 有sinc(sin sin ) a2235經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)x2y21 ( a> 0,b> 0)的實(shí)軸的兩端點(diǎn)A1 和 A 2的切線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)上任a2b2一點(diǎn)的切線(xiàn)相交于P1 和P2，則| P1A1 | | P2A2 | b2 .22 xy36 已知雙曲線(xiàn)22a2 b211( 1)1 21 2|OP |2 |OQ |21( b> a> 0) ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、 Q 為雙曲線(xiàn)上兩動(dòng)

12、點(diǎn)，且 OP OQ .114a2b222 ;( 2) |OP|2+|OQ|2 的最小值為22 ;( 3) S OPQ的最小abba值是22 abb22. a37 MN 是經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)2 x2 a2 y b21（a> 0,b>0） 過(guò)焦點(diǎn)的任一弦（交于兩支）， 若 AB 是經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)中心O 且平行于MN 的弦，則| AB |2 2a | MN |.22xy38 MN 是經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)22 1 （ a> b> 0）焦點(diǎn)的任一弦（交于同支），若過(guò)雙曲線(xiàn)中心abO 的半弦 OP MN ，則2111222.a|MN | |OP|2 b2 a222 xy39 設(shè)雙曲線(xiàn)221（ a>

13、 0,b> 0） ,M（m,o） 為實(shí)軸所在直線(xiàn)上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，ab過(guò) M 引一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于P、 Q 兩點(diǎn)，則直線(xiàn)A 1P、 A 2Q（A 1 ,A2為兩頂點(diǎn)）的交點(diǎn)N2在直線(xiàn) l ： x a 上 . m40設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)F 作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交P、 Q 兩點(diǎn)， A 為雙曲線(xiàn)長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連41 過(guò)雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M，F(xiàn) 的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)P、 Q, A 1、 A 2為雙曲線(xiàn)實(shí)軸上的頂點(diǎn)，結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于M 、 N 兩點(diǎn)，則MF NF.A2P 和 A1Q 交于點(diǎn)N，則 MF NF.22xy42設(shè)雙曲線(xiàn)方

14、程221 ,則斜率為k（k 0的平行弦的中點(diǎn)必在直線(xiàn) ）l ： y kx的共軛abb2直線(xiàn) y k x上 ,而且kk 2 .a43設(shè)A、 B、 C、 D 為雙曲線(xiàn)22 xy22 ab角 分 別 為 ,， 直 線(xiàn) AB 與1CDa> 0,b> o）上四點(diǎn),AB、 CD 所在直線(xiàn)的傾斜相 交 于 P, 且 P 不 在 雙 曲 線(xiàn) 上 , 則|PA| | PB| b2 cos2 a2 sin2 | PC | | PD | b2 cos2 a2 sin2F1PF2R、 S 形22xy44 已知雙曲線(xiàn)221（ a> 0,b> 0） ,點(diǎn) P 為其上一點(diǎn)F1, F 2為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)

15、，ab的內(nèi)（外）角平分線(xiàn)為l ，作F1、 F2分別垂直l 于R、 S，當(dāng)P 跑遍整個(gè)雙曲線(xiàn)時(shí)，成的軌跡方程是x2y2 a2 （c2y2a2y2 b2x x c 2a2y2 b2 x c 2 .45設(shè)ABC 三頂點(diǎn)分別在雙曲線(xiàn)上，且 AB 為 的直徑，l 為 AB 的共軛直徑所在的直線(xiàn)， l 分別交直線(xiàn)AC 、 BC 于 E 和 F，又D 為 l 上一點(diǎn)，則CD 與雙曲線(xiàn)相切的充要條件是 D 為 EF 的中點(diǎn) .22xy46過(guò)雙曲線(xiàn)22 1 （ a> 0,b> 0）的右焦點(diǎn)F 作直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)的右支于M,N 兩點(diǎn)，ab弦 MN 的垂直平分線(xiàn)交x 軸于 P，則|PF | e|MN |

16、247 設(shè)A（ x1 ,y1） 是雙曲線(xiàn)22xy221(a> 0,b> 0) 上任一點(diǎn)，a2b2b2x過(guò) A 作一條斜率為2 的a y1直線(xiàn)L ，又設(shè)d 是原點(diǎn)到直線(xiàn)L 的距離 , r1,r2 分別是A 到雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)的距離，則r1r2d ab.2222xyxy48已知雙曲線(xiàn)221 ( a> 0,b> 0)和 22( 01 ) ，一條直線(xiàn)順次與a2 b2a2 b2它們相交于A、 B、 C、 D 四點(diǎn)，則 AB =|CD.2249已知雙曲線(xiàn)x2y2 1 ( a> 0,b> 0) ,A、 B 是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB 的垂直平分ab2222線(xiàn)與 x 軸相交于點(diǎn)

17、P(x0,0) , 則 x0或 x0aa22 xy50設(shè)P 點(diǎn)是雙曲線(xiàn)221 ( a> 0,b> 0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、 F2為其焦點(diǎn)記ab2b22S PF1F2b cot 2 .F1PF2，則 (1)|PF1|PF2| 1 2cbos .(2)51設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸上一點(diǎn)B( m,o)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于P、 Q 兩點(diǎn)， A 為雙曲線(xiàn)實(shí)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于過(guò)B 點(diǎn)的直線(xiàn)MN ： x n于 M， N 兩點(diǎn) ,則22MBN 90am anm22a m b (n a)22 xy52 L 是經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)221 ( a> 0,b> 0)焦點(diǎn)F 且

18、與實(shí)軸垂直的直線(xiàn)，A、 B 是雙曲ab1線(xiàn) 的 兩 個(gè) 頂 點(diǎn) ， e 是 離 心 率 , 點(diǎn)P L ， 若 APB ， 則 是 銳 角 且 sin 或e1arc sin (當(dāng)且僅當(dāng)| PF | b 時(shí)取等號(hào)).e22 xy53 L 是經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)22 1 ( a> 0,b> 0)的實(shí)軸頂點(diǎn)A 且與 x 軸垂直的直線(xiàn)，E、 Fab是雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x 軸交點(diǎn),點(diǎn) P L ， e是離心率，EPF ， H 是 L 與 X 軸的交點(diǎn)c11ab是半焦距，則是銳角且sin 或 arc sin (當(dāng)且僅當(dāng)| PA| a 時(shí)取等號(hào)).eec2254 L 是雙曲線(xiàn)2y21 (a>0,b>0

19、)焦點(diǎn)F1 且與 x 軸垂直的直線(xiàn)，E、F 是雙曲線(xiàn)準(zhǔn)a2 b2線(xiàn)與 x 軸交點(diǎn)， H 是 L 與 x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P L ， EPF ,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且sin12或 arc sin12(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1| ba2c2時(shí)取等號(hào)).eec22 xy55 已知雙曲線(xiàn)221( a> 0,b> 0) ， 直線(xiàn) L 通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線(xiàn)右支交于A、ab222B 兩點(diǎn)，將A 、 B 與雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)F1 連結(jié)起來(lái)，則| F1 A| | F1B | (2a 2b ) (當(dāng)且僅當(dāng)aAB x 軸時(shí)取等號(hào)).2256設(shè)A、 B 是雙曲線(xiàn)x2 y2 1 ( a> 0,b&g

20、t; 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P 是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，abPAB , PBA , BPA ， c、 e 分 別 是 雙 曲 線(xiàn) 的 半 焦 距 離 心 率 ， 則 有(1)|PA|2ab2 |cos |222|a c cos |.(2)tan tan 1 e2 .(3) S PAB222a b22 bacot .b21 ( a> 0,b> 0)實(shí)軸上分別位于雙曲線(xiàn)一支內(nèi)(含焦點(diǎn)的2 x57設(shè)A、 B 是雙曲線(xiàn)2a區(qū)域) 、外部的兩點(diǎn)，且xA、 xB的橫坐標(biāo)xA xB a2， ( 1)若過(guò) A 點(diǎn)引直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)這一P、 Q支相交于P、 Q 兩點(diǎn)，則PBA QBA ； ( 2)若過(guò)B 引直線(xiàn)與

21、雙曲線(xiàn)這一支相交于兩點(diǎn)，則PBAQBA180 .2258設(shè)A、 B 是雙曲線(xiàn)x2y21 (a> 0,b>0)實(shí)軸上分別位于雙曲線(xiàn)一支內(nèi)(含焦點(diǎn)的ab區(qū)域) ，外部的兩點(diǎn)，( 1)若過(guò)A 點(diǎn)引直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)這一支相交于P、 Q 兩點(diǎn)， (若 B P 交雙曲線(xiàn)這一支于兩點(diǎn)，則P、 Q 不關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)) ，且 PBAQBA，則點(diǎn)A、 B 的橫坐標(biāo)Q 兩點(diǎn)，且則直線(xiàn) AQAB 、 CD, 則2xA 、xB 滿(mǎn)足xA xBa2； ( 2)若過(guò)B 點(diǎn)引直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)這一支相交于P、2PBA QBA 180 ,則點(diǎn)A、 B 的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足xA xB a .22 xy59 設(shè) A,A' 是雙

22、曲線(xiàn)x2 y2 1 的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，QQ'是與AA'垂直的弦，ab22xy與 AQ 的交點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線(xiàn)221 .ab22xy60過(guò)雙曲線(xiàn)22 1 ( a> 0,b> 0)的右焦點(diǎn)F 作互相垂直的兩條弦ab8ab2| AB | | CD |82ab 2 a b ；|a b|2c2| AB | | CD | 4a a b a 2261到雙曲線(xiàn)x2 y2 1( a> 0,b> 0)兩焦點(diǎn)的距離之比等于c a( c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)a2 b2b222M 的軌跡是姊妹圓(x ec) y (eb) .2262到雙曲線(xiàn)2y21 ( a> 0,b>

23、0)的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于( c為半焦距)a2 b2b的動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是姊妹圓(x c)2 y2 b2 .22 xyca63到雙曲線(xiàn)22 1 ( a> 0,b> 0)的兩準(zhǔn)線(xiàn)和x 軸的交點(diǎn)的距離之比為( c為半a2 b2bb焦距)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓(x a)2 y2 ( b)2( e為離心率).e22xy'64已知P 是雙曲線(xiàn)221 ( a> 0,b> 0)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A', A是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且ab222''x byAQ AP , A'QA'P ，則Q 點(diǎn)的軌跡方程是x2y41.aa65雙曲線(xiàn)的一條直徑(過(guò)中

24、心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和實(shí)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).22xy'66設(shè)雙曲線(xiàn)221 ( a> 0,b> 0)實(shí)軸的端點(diǎn)為A, A , P(x1, y1)是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)過(guò)Pabb2x作 斜 率 為2 x1 的 直 線(xiàn) l ， 過(guò) A, A' 分 別 作 垂 直 于 實(shí) 軸 的 直 線(xiàn) 交 l 于 M , M ' , 則 ( 1 )a y1| AM | A'M ' | b2 .( 2)四邊形AMA'M '面積趨近于2ab .22xy67 已知雙曲線(xiàn)22 1( a> 0,b> 0) 的右準(zhǔn)線(xiàn)l 與 x 軸

25、相交于點(diǎn)E ， 過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)Fab的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于A、 B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) C在右準(zhǔn)線(xiàn)l 上，且 BC x軸，則直線(xiàn)AC 經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF 的中點(diǎn) .68 OA、 OB 是雙曲線(xiàn)22(x a) y22 ab1( a> 0,b> 0,且 a b)的兩條互相垂直的弦，O為2ab必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)( 22ab 2 ,0) .(2)ba22(x 2ab2)2 y2 ( 2ab 2)2(除原點(diǎn))2222ba baO A、 O B 為直徑的兩圓的2 x71 AB 是雙曲線(xiàn)2ab21 ( a> 0,b> 0)的實(shí)軸，N 是雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N 的切線(xiàn)與過(guò) A 、 B 的切線(xiàn)交于C、D 兩點(diǎn)

26、，則梯形ABDC 的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)M 的軌跡方程是2 x2 a4y2b21(y 0).72設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為雙曲線(xiàn)22xy221 ( a>0,b>0)的內(nèi)部(含焦點(diǎn)的區(qū)域)a2b2)一定點(diǎn)，AB 是雙曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P(x0, y0 )的任一弦.(1) 如 a b(|PA| |PB|)min則 當(dāng) 弦 AB 垂 直 于 雙 曲 線(xiàn) 實(shí) 軸 所 在 直 線(xiàn) 時(shí) 222222(b x0 a y0 ) a b2. a(2) 如(| PA|a b , 則 當(dāng) 弦 AB 平 行 ( 或 重 合 ) 于 雙 曲 線(xiàn) 實(shí) 軸 所 在| PB |)min222222(b x0a y0 ) a bb2直

27、線(xiàn)時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)，則(1)直線(xiàn)AB另一個(gè)交點(diǎn)Q 的軌跡方程是22(x a) y69 P(m,n) 是雙曲線(xiàn)22 1( a> 0,b> 0)上一個(gè)定點(diǎn)，P A、 P B 是互相垂直的ab弦，則(1)直線(xiàn)AB 必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)) .( 2)以 P A、 P B2ab2 m(b2 a2) n(a2 b2)22,22baba為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q 的軌跡方程是ab2 a2m 2b2n 2 a2b4 n2(a2 b2)(x 22 )2 (y 22)222 2(除 P點(diǎn) ).b ab a(b a )70如果一個(gè)雙曲線(xiàn)虛半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、 F2到直線(xiàn)L 的距離分別為d1、 d2，那么(1)d1

28、d2b2，且 F1、 F 2 在 L 異側(cè) 直線(xiàn) L 和雙曲線(xiàn)相切,或 L 是雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).( 2)d1d2b2，且F1、 F2在 L 異側(cè) 直線(xiàn) L 和雙曲線(xiàn)相離，( 3)d1d2b2，或 F1、 F2在L直線(xiàn) L 和雙曲線(xiàn)相交.73雙曲線(xiàn)焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線(xiàn)實(shí)軸為直徑的圓相外切.74雙曲線(xiàn)焦三角形的內(nèi)切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的實(shí)軸端點(diǎn).75雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)焦三角形內(nèi)切圓的切線(xiàn)長(zhǎng)為定值a+c 與c-a.76雙曲線(xiàn)焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其旁切圓的切線(xiàn)長(zhǎng)為定值c-a.77雙曲線(xiàn)焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率 ). 注 :在雙

29、曲線(xiàn)焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線(xiàn)與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn).78雙曲線(xiàn)焦三角形中79雙曲線(xiàn)焦三角形中e.,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線(xiàn)段分成定比,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線(xiàn)中心的比例中項(xiàng).80雙曲線(xiàn)焦三角形中,雙曲線(xiàn)中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81雙曲線(xiàn)焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與雙曲線(xiàn)中心連線(xiàn)段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線(xiàn)段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線(xiàn)段成比例.82雙曲線(xiàn)焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線(xiàn)引垂線(xiàn),則雙曲線(xiàn)中心與垂足連線(xiàn)必與另一焦半徑所在直線(xiàn)平行.83雙曲線(xiàn)焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線(xiàn)引垂線(xiàn),則雙曲線(xiàn)中心與垂

30、足的距離為雙曲線(xiàn)實(shí)半軸的長(zhǎng).84雙曲線(xiàn)焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線(xiàn)引垂線(xiàn),垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和雙曲線(xiàn)實(shí)軸為直徑的圓的切點(diǎn).85雙曲線(xiàn)焦三角形中為定值 e.86雙曲線(xiàn)焦三角形中87雙曲線(xiàn)焦三角形中88雙曲線(xiàn)焦三角形中直徑的圓必過(guò)兩焦點(diǎn).,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線(xiàn)與焦半徑、實(shí)軸所在直線(xiàn)的夾角的余弦的比,非焦頂點(diǎn)的法線(xiàn)即為該頂角的外角平分線(xiàn).,非焦頂點(diǎn)的切線(xiàn)即為該頂角的內(nèi)角平分線(xiàn)., 則以?xún)山稽c(diǎn)為,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)實(shí)軸兩端點(diǎn)處的切線(xiàn)相交2289. 已知雙曲線(xiàn)x2y2 1(a 0,b 0) 上有一點(diǎn)P ，過(guò) P 分別引其漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，分別ab交 x 軸于 M , N

31、 ，交 y 軸于 R,Q ， O 為原點(diǎn)，則：( 1 ) | OM | |ON | a2 ；( 2)|OQ| |OR| b2.bb90. 過(guò)平面上的P 點(diǎn)作直線(xiàn)l1 : y x及 l2 : y x的平行線(xiàn)，分別交x軸于 M , N ，交aa22y軸于 R,Q .( 1)若 |OM | |ON | a2，則P 的軌跡方程是x2 y2 1(a 0,b 0) .(2)ab22若 |OQ| |OR| b2，則P的軌跡方程是x2y2 1(a 0,b 0) .ab22xy91. 點(diǎn) P 為雙曲線(xiàn)22 1(a 0,b 0) 在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò) P 引 x軸、y 軸ab于 Q,R ，記 OMQ 與

32、ONR的面y 軸、 x 軸于 M , N ，交直線(xiàn)y b xaab積為S1,S2，則：|S1 S2 | a92. 點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P 引x軸、y軸的平行線(xiàn)，交y軸、 x軸于 M , N ，交直線(xiàn)baby b x于 Q, R，記 OMQ 與ONR的面積為S1, S2，已知|S1 S2 | ab ，則 P 的軌a22222xyyx跡方程是221(a 0,b 0) 或 221(a 0, b 0)abba雙曲線(xiàn)性質(zhì)92 條證明1.雙曲線(xiàn)第一定義。2.由定義即可得雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程。3.雙曲線(xiàn)第二定義。4 .設(shè)P(x0,y0)在第一象限，切線(xiàn)PT(即l )的斜率為k，PF1所在直線(xiàn)l1 斜率為k

33、1，PF2所在直線(xiàn)l2斜率為k2， PF1與 PT 的夾角為 ， PF2與 PT 的夾角為 。由兩直線(xiàn)夾角公式tan1k1 k1kk22 得：y0b x0tan2x0 c a y0b2x0y02a y0 x0 cb2x0y0tank k22a y0x0c1 kk2b x0y022222b x0a y0b x0c222a x0 y0 a cy0 b x0 y022222b x0a y0b x0c222a x0y0 a cy0 b x0y0222a b b cx022b acx0b2c x0 y0 a cy0222a b b cx0c x0y0 a cy02a y0x0 c2cy0 acx022b

34、 acx02cy0 acx0b2,0,同理可證其它情況。故切線(xiàn)PT 平分點(diǎn) P 處的內(nèi)角。5 .不妨設(shè) P 在第一象限。作F2關(guān)于切線(xiàn)PT 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，由 4 可知 M 在PF1 上，則F1MF1M PF1 PF2 2a，垂足H 為 F2M 的中點(diǎn)，則OH= 1 a，同理可證其它情況。1122射影 H 的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。6. 設(shè) P， Q 兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為d1 ,d2，以PQ 中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d ，d d PF FQ r以 PQ 為直徑的圓的半徑為r，則d 12r ，故以 PQ 為直徑的圓與2 2e e對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)相交。aPF12a r ，故兩圓外切。8. 如

35、圖， 由切線(xiàn)長(zhǎng)定理：F1SF1TPF1PF2F1F22a 2c，F(xiàn)1SF1Ta c而F1Ta cF1A2 ， T 與 A2 重合，故內(nèi)切圓與x 軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P 在其他位置情況。9. 設(shè)P1 asec ,btan, P2 asec , btan，則bt a n bt aA1P :y1x a AP y ,2 x: a 2as e c a 1122則 xP acos ,y bsin P 點(diǎn)的軌跡方程為2 y21abxy對(duì) 221求 導(dǎo) 得 ：ab2222x yx0 y010.P0 (x0 , y0 ) 在 雙 曲 線(xiàn) 221 上 22 1 ，abab2x 2yy'' b2x

36、0a2 b20 y' a2y00222bxxx yy x y切線(xiàn)方程為y y02 0 x x0 即020202021a y0a b a b11 .設(shè)P1x1,y1,P2x2,y2 ，由 10得：x02x1y02y11,x0x22y02y21，因?yàn)辄c(diǎn)P1 ,P2 在ab ab直線(xiàn)P1P2 上，且同時(shí)滿(mǎn)足方程x02x y02y 1 ，所以P1P2 : x02x y02y 1abab222212 . 設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2, Mx0, y0則有12y121,22y221 作 差 得 ：ab ab22 x1x22a22y1y2b2x1 x2 x1 x2y1 y2 y1 y2b2kABy

37、1y2x1x2b2 x1 x2b2x0b22y1y2a y0a kOMkkb2kAB kOM 2 a13.由 12 可得： y y0b2x0a2y0x x022 a y0 y a2222y0b x0x b x00222222b x0x a y0yb x0a y0x0x2 ay0y b22 x02 a2 y0 b214. .由 12可得：y y0x x0y b22 xa2ay2a y0yb2x2 b2x0x 022 bx22 ayb22 x0x a y0y2 x2 a2 y b2x0xy0y22ab15.P asec ,btan , Q asec ,btanbtPasbaae1 nssQcta2

38、sb212r122 cosa cos2222a sec b tana2sec2b2 tan2a2 b2 sin2cos2a2b2 sin2b2 sin2cos2a2 cos2b2 sin22 cosa4 b4 sin2sin2a2b2 sin2sin2a2a2sin2b2sin21 sin2a2a2sin2b2 sin21 sin22a4 a2b2 sin2sin22a2b2a2sin2 sin2 2b2sin2 sin22a2b2a2b2b2a2sin2sin2422222a a b sin sin4224222a b a b sin sinb2 a2 2a2 b2 sin2 sin2a2b

39、2 2a2b2 sin2sin21b216. 將直線(xiàn) AB 代入雙曲線(xiàn)方程中得：22222Bb Aa x2Aa2x a2 1 B2b2 04a2 B2b2 B2b2A a 1 ， AB2ab A2 B2B2b2 A2a22222Bb Aa 12Aa2設(shè) A x1, y1 , B x2 , y2 則 x1 x22 22 2 ， x1x2B2b2 A2a2a2 1 B2b22222Bb AaOA OB2222222211x1 x2y1 y2 0 b a a b A B A B 22abAB2ab A2 B2B2b2A2a22B2b2 A2a2 1222222b a Bb Aa 12222B2b2A

40、2a224242222222 A a B b a b A B b a 2 A2a4B2b42222Aa Bb2222Aa Bb17. 設(shè)雙曲線(xiàn)內(nèi)直角弦AB 的方程為：y q k x p 即 y kx q kp 。斜 率 k存 在 時(shí)， 代入 雙 曲線(xiàn)C1方 程 中 得b2 a2k2 x2 2a2k q kp x a2 q kp 2 b2設(shè) A x1, y1 , B x2 , y2 得 x1 x222a k q kpa2 q kp 2 b2222b akx1 x2222b ak2 a2k2 x02b2 a2k2 q kp ya2 b2p 22 x0a2 b2a2 b2q 22 y0ba2 b2即

41、直線(xiàn) AB 過(guò)定點(diǎn) a b x0 a2 b2 0,a2 bb2 a22 y0C2 上。當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB則 PA PB x0 x1 x0 x2y0 y1 y0 y22222k 1x1 x2kq k pky0x0x1x2x0q kpy002a2k q kp kq k2 p ky0 x0a2 k2 1 q kp 2 b2b2a2k2 q kp 2 2a2k2y0 q kp 2a2kx0 q kp a2k2 q kp 2 a2 q kp 2 a2b2 k2a2b2 b2 x02 a2k2x02 b2q kpy0 2 a2k2y02a2k2 qkp 22a2k2y0 q kp 02a2kx0

42、 q kp a2 qkp 2b2k2x02 a2 y02a2k2x02b2y02b2 q kp 2 2b2y0 qkp 02a2k2px0b2k2 p2a2k2 p2b2k2x02a2k2 x022a2kpq2a2kqx02b2kpy02b2 kpqa2q2a2y02b2 y02 b2q2 2b2qy0 022222a p x0b px02222a pq b pq a qx0 b py0222222b q y0a qy0也過(guò) C2上的定點(diǎn)。由上可知C1 和 C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即證。18.必要性：設(shè)P1P2： y my0 k x mx0 。 k 存在時(shí)，代入雙曲線(xiàn)方程中得：b

43、222222222k x 2a km y0 kx0 x a m y0 kx0a b 0P1 x1, y1 ,P2 x2 , y2x1 x222a km y0 kx0222b akx1x2a2m2 y0 kx0 2 a2b2222b ak2y0y1y0 y2k x1 x2k1 k2x0 x1 x0 x22k my0 mkx0 y0 x1 x2my0 mkx0 y0x1x2 x0 x1 x2 x02b21m 2kmx0 y0k2x02m1y02m 1b2 1 m22222a1m 2kmx0 y0k x0m1y0m 1a 1 mk 不存在時(shí)，P1P2： x=mx 0則 y b m2x02 a2 ，y

44、0bam2x02a2y0+abm2x02a2y02ba2m2x02a2b2x021 m2b21 mk1 k222222 222x0 1 mx0 1 ma x0 1 m a 1 m必要性得證。充分性：設(shè)P1P2過(guò)定點(diǎn)p,q ，則P1P2： y kx q kp 。代入雙曲線(xiàn)方程得：222222222b a k x 2a k q kp x a q kp a b 02a2k q kpa2 q kp 2 a2b2設(shè)P1x1, y1,P2x2, y2得x1x222 2，x1x222 2b akb ak則k1 k222y1y0y2y0kx1x2k q kpy0x1x2q kpy0x1x0x2x02x1x2x

45、0 x1x2x0a2k2q kp 2a2b2k22a2k2q kp q kpy0q kpy02b2a2k2a2 q kp 2 a2b2 2a2kx0 q kpx02 b2 a2 k2222222bqkpy0 kx0b q kpy0kx0q kpy0kx0bkpy0kx0 q1mb2a2y02 qkpkx02a2 y0 qkpkx0y0 qkpkx0a2qy0kx0kp1ma2k p mx0q my0 0kp y0 kx0 q 1 mq y0 kx0 kp 1 mp mx0 0 p mx000q my0 0 qmy0驗(yàn)證k 不存在的情況，也得到此結(jié)論。故l 過(guò)定點(diǎn)mx0 , my0 m 1 ，充

46、分性得證。19. 設(shè) AB ： y y0 k x x0 即 y kx y0 kx0y kx y0 kx022222222x2 y2b a k x 2a k y0 kx0 x ay0 kx0 b221ab20.x0 xBPF122a k y0 kx0222b akxB22222a ky0 a k x0 b x0222b ak22222222a ky0 a k x0 b x0 a k y0 b y0222b ak222b ak2a2ky0 a2k2x0 b2x0 a2k2y0 b2y0 2b2 kx0b2 a2k2222b ak4b2kx04a2ky0b 2x02a y0PF222 PF1 PF2

47、 cos2cPF12 PF24c2 2 PF1 PF2 cos 14a 4c 2 PF1 PF2 cos1PF1 PF22b21 cosb22 sin2S F1PF2PF1 PF2 sinb2 sin1 cosb222b sin cosb2 cot2sin 2c yPyP21. 由cot2,xa2ac2b222 cot2a c2 b2cot2P a c2 b2cot2 ,b2理得PF1F1F2cot2sinsinsinP在 右 支 時(shí)2c2c2asin sinsin sinsinesin sin2sin cos222sin cos2sin2sin2sin cos sin cos2222sin cos2sin cos2221 tan cot221 tan cot22e etan cot221 tan cot2tan cot2P 在左支時(shí)，sinsin sin22.定義e1 ca2 e1 ca1 tan cot221 tan cot22MF1M 在左支時(shí)，23.e x0MF1ex0 a, MF2ex0a2e x0PF1 PF2dPF1e1PF2 e PF1x0a1e2 eee1 catan cotex0 aa ex0, MF22 e1右支caex0ca ex0 。1ea ex0e a ex0x02ee21e2 2e 1 012e1 2