高中物理 運(yùn)動(dòng)的合成與分解的兩個(gè)模型

1、運(yùn)動(dòng)的合成與分解的兩個(gè)模型一、繩桿連體模型例1、如圖1所示，兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起。上面各穿有一個(gè)小球，小球a、b間用一細(xì)直棒相連。當(dāng)細(xì)直棒與豎直桿夾角為時(shí)，求兩小球?qū)嶋H速度之比。解析：小球a、b沿棒的分速度分別為和，兩者相等。所以甲乙v1v2圖2解題思路：對(duì)于繩聯(lián)問(wèn)題，由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當(dāng)繩不可伸長(zhǎng)時(shí)，繩聯(lián)物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體的速度關(guān)聯(lián)問(wèn)題時(shí)，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出。v1甲乙v1v2圖3【舉一反三】如圖2所示，汽車(chē)甲以速度v1拉汽車(chē)乙前進(jìn)，乙的速度

2、為v2，甲、乙都在水平面上運(yùn)動(dòng)，求v1v2分析與解：如圖3所示，甲、乙沿繩的速度分別為v1和v2cos，兩者應(yīng)該相等，所以有v1v2=cos1BMCARO圖4例2、如圖4所示，桿OA長(zhǎng)為R，可繞過(guò)O點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)A系著一跨過(guò)定滑輪B、C的不可伸長(zhǎng)的輕繩，繩的另一端系一物塊M。滑輪的半徑可忽略，B在O的正上方，OB之間的距離為H。某一時(shí)刻，當(dāng)繩的BA段與OB之間的夾角為時(shí)，桿的角速度為，求此時(shí)物塊M的速率Vm.分析與解：桿的端點(diǎn)A點(diǎn)繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度VA的方向與桿OA垂直，在所考察時(shí)其速度大小為：VA=RMCARO圖5VAB對(duì)于速度VA作如圖5所示的正交分解，即沿繩BA

3、方向和垂直于BA方向進(jìn)行分解，沿繩BA方向的分量就是物塊M的速率VM，因?yàn)槲飰K只有沿繩方向的速度，所以VM=VAcos由正弦定理知，由以上各式得VM=Hsin.練習(xí)：1.如圖6所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過(guò)B、D.BC段水平，當(dāng)以速度v0拉繩子自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求：當(dāng)跨過(guò)B的兩段繩子夾角為時(shí)A的運(yùn)動(dòng)速度v.2.如圖7所示，均勻直桿上連著兩個(gè)小球A、B，不計(jì)一切摩擦.當(dāng)桿滑到如圖位置時(shí)，B球水平速度為vB，加速度為aB，桿與豎直夾角為，求此時(shí)A球速度和加速度大小.圖7圖8圖93.一輕繩通過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪在傾角為30°

4、;的光滑斜面上的物體m1連接，另一端和套在豎直光滑桿上的物體m2連接.已知定滑輪到桿的距離為m.物體m2由靜止從AB連線(xiàn)為水平位置開(kāi)始下滑1m時(shí)，m1、m2恰受力平衡如圖8所示.試求：（1）m2在下滑過(guò)程中的最大速度.（2）m2沿豎直桿能夠向下滑動(dòng)的最大距離.4.如圖9所示，S為一點(diǎn)光源，M為一平面鏡，光屏與平面鏡平行放置.SO是垂直照射在M上的光線(xiàn)，已知SO=L，若M以角速度繞O點(diǎn)逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則轉(zhuǎn)過(guò)30°角時(shí)，光點(diǎn)S在屏上移動(dòng)的瞬時(shí)速度v為多大？圖105.一輛車(chē)通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體，如圖10所示.繩的P端拴在車(chē)后的掛鉤上，Q端拴在物體上.設(shè)繩的總長(zhǎng)不

5、變，繩子質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計(jì).開(kāi)始時(shí)，車(chē)在A點(diǎn)，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩繩長(zhǎng)為H.提升時(shí)，車(chē)加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從A經(jīng)B駛向C.設(shè)A到B的距離也為H，車(chē)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB.求在車(chē)由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功.6.如圖11所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量與斜劈質(zhì)量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，求此后運(yùn)動(dòng)中圖11（1）斜劈的最大速度.（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機(jī)械能的損失忽略不計(jì)）答案：1.v=2.vA=vBtan;

6、aA=aBtan3.（1）由圖可知，隨m2的下滑，繩子拉力的豎直分量是逐漸增大的，m2在C點(diǎn)受力恰好平衡，因此m2從B到C是加速過(guò)程，以后將做減速運(yùn)動(dòng)，所以m2的最大速度即出現(xiàn)在圖示位置.對(duì)m1、m2組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力和繩子拉力做功，但繩子拉力做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒.E增=E減，即m1v12+m22v2+m1g（A-A）sin30°=m2g·B又由圖示位置m1、m2受力平衡，應(yīng)有：TcosACB=m2g,T=m1gsin30°又由速度分解知識(shí)知v1=v2cosACB，代入數(shù)值可解得v2=2.15m/s,（2）m2下滑距離最大時(shí)m1

7、、m2速度為零，在整個(gè)過(guò)程中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，得：E增=E減即:m1g（）sin30°=m2gH利用（1）中質(zhì)量關(guān)系可求得m2下滑的最大距離H=m=2.31m4.由幾何光學(xué)知識(shí)可知：當(dāng)平面鏡繞O逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30°時(shí)，則：SOS=60°，圖12OS=L/cos60°.選取光點(diǎn)S為連結(jié)點(diǎn)，因?yàn)楣恻c(diǎn)S在屏上，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不變，故該點(diǎn)實(shí)際速度（合速度）就是在光屏上移動(dòng)速度v；光點(diǎn)S又在反射光線(xiàn)OS上，它參與沿光線(xiàn)OS的運(yùn)動(dòng).速度v1和繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，線(xiàn)速度v2；因此將這個(gè)合速度沿光線(xiàn)OS及垂直于光線(xiàn)OS的兩個(gè)方向分解，由速度矢量分解圖12可得：v1=vsin60&#

8、176;,v2=vcos60°又由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可得：當(dāng)線(xiàn)OS繞O轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為2.則：v2=2L/cos60°vcos60°=2L/cos60°,v=8L.5.以物體為研究對(duì)象，開(kāi)始時(shí)其動(dòng)能Ek1=0.隨著車(chē)的加速運(yùn)動(dòng)，重物上升，同時(shí)速度也不斷增加.當(dāng)車(chē)子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，重物獲得一定的上升速度vQ，這個(gè)速度也就是收繩的速度，它等于車(chē)速沿繩子方向的一個(gè)分量，如圖13，即vQ=vB1=vBcos45°=vB圖13于是重物的動(dòng)能增為Ek2=mvQ2=mvB2在這個(gè)提升過(guò)程中，重物受到繩的拉力T、重力mg，物體上升的高度和重力做的功分別為h=H-H=（-1

9、）HWG=-mgh=-mg（-1）H于是由動(dòng)能定理得WT+WG=Ek=Ek2-Ek1即WT-mg（-1）H=mvB2-0所以繩子拉力對(duì)物體做功WT=mvB2+mg（-1）H6.（1）A加速下落，B加速后退，當(dāng)A落地時(shí)，B速度最大，整大過(guò)程中，斜面與球之間彈力對(duì)球和斜面做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒.mg（h-r）=mvA2+mvB2由圖中幾何知識(shí)知：h=cot30°·r=r圖14A、 B的運(yùn)動(dòng)均可分解為沿斜面和垂直斜面的運(yùn)動(dòng)，如圖14所示。由于兩物體在垂直斜面方向不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以vA2=vB2即vAcos30°=vBsin30°解得vA=vB=（

10、2）A球落地后反彈速度vA=vA做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最大高度：Hm=二、小船渡河模型求解小船渡河問(wèn)題時(shí)，先要弄清小船的合運(yùn)動(dòng)就是實(shí)際運(yùn)動(dòng)，再按實(shí)際效果分解位移和速度，根據(jù)平行四邊形定則畫(huà)矢量圖，結(jié)合分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性和獨(dú)立性列式。小船渡河常見(jiàn)的問(wèn)題如下。兩種情況：船速大于水速；船速小于水速。兩種極值：渡河最小位移；渡河最短時(shí)間。例1、一條寬度為L(zhǎng)的河，水流速度為，已知船在靜水中速度為，那么：（1）怎樣才能使渡河時(shí)間最短？（2）若>，怎樣才能使渡河位移最?。浚?）若<，怎樣渡河才能使船行駛的距離最短？解析：（1）研究小船渡河問(wèn)題時(shí)，可以把小船的渡河運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是小船在靜水

11、中的運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是水流的運(yùn)動(dòng)。船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)為兩者的合運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角，這時(shí)船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時(shí)間為?？梢钥闯觯篖、一定時(shí)，t隨sin增大而減小。當(dāng)=90°時(shí)，sin=1（最大），即船頭與河岸垂直時(shí)用時(shí)最短。（2）如圖3所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即沿河岸方向的速度分量等于0。這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度，所以有，即。因?yàn)?，所以只有在時(shí)，船才有可能垂直河岸渡河。（3）若，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使船行駛的距離最短呢？如圖4所示，設(shè)船頭與河岸成角，合速度與河岸成角?？梢钥闯觯航窃酱?，船行駛的距