2019年北京市朝陽(yáng)區(qū)二模試題數(shù)學(xué)【理科】試題及答案

1、北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第二次綜合練習(xí)數(shù)2018. 5（考試時(shí)間 120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共 110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題 5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).2（1）已知集合 A x R2x 3 一 0b 集合b = x ER x 3x +2 < 0，則 Ad B 二(B)(D)(A)(C)（2）如果a一b .0 ,那么下列不等式一定成立的是(A)log3 a log3 b(B)(O 11a b(D1a()42a(42b（3）執(zhí)行如右圖所示的程序框圖.若輸出的結(jié)果為2 ,

2、則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是i=i +1(A)12,3,4,5(B)1,2,3,4,5,62,3,4,5輸出開(kāi)始y(4)已知函數(shù)f (x) =A sin(Gx +q I A >0, O >0,兀：一）的2部分圖象如圖所示，則(A)(B)兀12(C)(D)-2(5)已知命題 p :復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限；命題ia2則下列(A) ( p)(q)(B)(p)(C) p(q)(D) p（6）若雙曲線的一條漸近線與圓2x(2)2y1至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值x1(b0)范圍是(A) (1,2(B) 2,)9 (1,司(D) 3,)(7)某工廠分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)

3、品1箱時(shí)所需要的煤、電以及獲得的純利潤(rùn)如下表所示.1煤(噸)電(千度)純利潤(rùn)(萬(wàn)兒)1箱甲產(chǎn)品3121箱乙產(chǎn)品1111若生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品可使用的煤不超過(guò)120噸，電不超過(guò) 60千度，則可獲得的最大純利潤(rùn)和是(A) 60萬(wàn)元(B) 80萬(wàn)元(C) 90萬(wàn)元(D) 100萬(wàn)元(8)如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正 PMN沿邊長(zhǎng)為3的正方形 ABCD的各邊內(nèi)側(cè)逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng).當(dāng) PMN沿正方形各邊滾動(dòng)一周后,回到初始位置時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是(A)(B)16(C)(D)Stttar，LA(P) N第二部分(非選擇題共110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題 5分，共30分.把答案填在答題卡上.(9)已知平

4、面向量a, b滿足a 1, b 2=a與b的夾角為 60 ，則2a b(10)53(1 2x)的展開(kāi)式中 x項(xiàng)的系數(shù)為 一.(用數(shù)字表示)(11)如圖， AB為圓O的直徑， AB 2 ,過(guò)圓O上一點(diǎn) M作圓O的切線，交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C ,過(guò)點(diǎn)M作MD AB于點(diǎn)D ,若D是OB中點(diǎn)，則 AC BC =(12)由兩個(gè)四棱錐組合而成的空間幾何體的三視圖如圖所示，則其體積是AOD B CM(第11題圖)側(cè)視圖(13 )已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和一 *= U為Sn ,且滿足S 2a 4(n N )nn,則2俯視圖(第12題圖)f (x) M，則稱a;n一數(shù)列l(wèi)og工an的前n項(xiàng)和為(14)若存在正實(shí)數(shù)

5、 M，對(duì)于任意 x (1,)，都有f (x) 在 (1,) 上是有界函數(shù)下列函數(shù)f ( x)x其中“在(1, f (x)1)上是有界函數(shù)三、解答題：本大題共6小題，共(15)(本小題滿分13分) f (x)In x ； f (x) x sin x ,x 1”的序號(hào)為80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.C的對(duì)邊分別是 a , b , c，且的面積為15 34(i)求邊a的長(zhǎng);(n )求cos 2B的值.(16)(本小題滿分 13分)200位某市規(guī)定，高中學(xué)生三年在校期間參加不便于)80 /J)時(shí)町社區(qū)服苗才合格.教育部門在全市隨機(jī)抽取學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段 ) 75,80

6、, 80,85 , 85,90 ,90,95 , 95,100 (單位：小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示.(I )求抽取的 200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，弁估計(jì)從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率；頻率(n)從全市高中學(xué)生(人數(shù)很多)中任意選取學(xué)生，記 為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù).試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望(17)(本小題滿分 14分)-如圖，在四棱錐, P ABCD中，底面 ABCD是900.5正方形，側(cè)面PAD 頻ABCD , E , F分別為PA ,O7580859095100服務(wù)時(shí)間/小時(shí)BD 中

7、點(diǎn)，PA PD(I )求證： EF/平面PBC ；P (n )求3面角E DF A的余弦值;(m)在棱 PC上是否存在一點(diǎn)GF 平面EDF ?若存在,指出點(diǎn) G的位置；若不存在，說(shuō)明理由.(18)(本小題滿分 13分)已知函數(shù)一、f ( x) e2x(I )若曲線 y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線與直線x ey 1 0垂直，求a的值;(n)求函數(shù) f ( x)的單調(diào)區(qū)間;(田)設(shè)a3,當(dāng)x J0, 1時(shí)，都有f (x)1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.8 2答案2 38038 31n3(19)(本小題滿分2e14分)已知橢圓C的中心在原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為1 ,右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的

8、距離為2(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n )是否存在與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)的直線 l ：+kx m(kR),使得 OA+2OBOA - 2OB 成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(20)(本小題滿分 13分)已知X1 , X2是函數(shù)f (x)+ +mx t的兩個(gè)零點(diǎn)，其中常數(shù)m ,nn r r(nx x12r 0mT4(n)求證:(田)求證：對(duì)任意的N ,Tnn2018/ h# t5北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第二次綜合練習(xí) 數(shù)n(n 3)n(n 3)三、解答題（制15.（本小題480分)13分）1bcA得,一ABCsinABC由 a2 b2 c2 2bc cos A 得,si

9、n Ab /曰 得,sin Bsin1 3 sin H =-15 33252 2cos49所以sin所以14cos 2B13分2sin71B9816.（本小題滿 13分）36 2解：（J根據(jù)題意,參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間90,95小時(shí)的學(xué)生人婁媯2000.0605 60 （人），參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間95,100小時(shí)的學(xué)生人掇2000.0205 20 (人).所以抽取的 200位學(xué)生中，承加社區(qū)月旖時(shí)間不少90小時(shí)的學(xué)生人創(chuàng)80人.所以從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不 少90小時(shí)的概率估訥60P20802.2002005（坨由（J可知，從全市高中生中任意選取£1人，其

10、參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少90小時(shí)的概率為隨機(jī)變量的可能取微0,1,2,3 .所以P（0)P(1)21C (352(5)125531P(2)22C (323P( 3) C (3的 分布列為5512538 30) ( )5512527543612512512581252 B (3 ，) ，所以526E 313 分55CDEFAPACABPBCPBC4ADzPCyOF ABx角坐標(biāo)系A(chǔ)DB (1,2,0)P(0,0,2DEOPABCDOP3）是平面設(shè)平面EFDno0o300223)1OPn3155OPn3所以3 (2x0ABCD =ADOA,OF ,OP所以EF且面PADy0所以EFy03x0O .在

11、PAD),F (0,1,0)PA PDPA PD(1,1又因?yàn)镕星AC所以PO 面ABCDC( 1,2,0) , D( 1,0,0)E所以PO OFn DE 0E是PA所以PO AD因?yàn)槊鍼AD 底面ABCD所以AC與BD互相平分F是AC又因?yàn)镋F 平面PBC , PC 平面所以F是ACAB (0,2,0)OF 平面ABCDcos OP, n又因?yàn)镕是BD所以O(shè)F AD2,所以 OP 3, O(0,0,0) , A(1,0,0)x030,), DF (1,1,0)2, z ) 001E( ,0 217.（本小題414分）證明：（J如圖，德AC .因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,155分10G( x

12、, y , z ) ，111E-DF-A 為銳角，所以二面角E-DF-A 的余弦值 為(m)假設(shè)在根C上存在一點(diǎn) G ,使GF 面EDF .設(shè)則一1FG = (x , y i i±因?yàn)镚F 面EDF1,z ).iEDF的一個(gè)法向量是n = (1, 1,A，所以FG =九 ,z _3,zi所IGC與PC共線.PCi又因?yàn)镋G在棱2x因?yàn)?PC ( i,2,3), CG (x +i, y 2, z),一iii所以x77=/=H .i i i 2 i31所以1二1故在棱PC上不存在一點(diǎn) G ,使GFt+面EDF成立.i4分i8.(本小題4i3分)(J由已知得因?yàn)榍鶬所以ff (x) f (

13、x)在點(diǎn)2x i2e ， a .(0, f (0)處的切線與直線eyi 0垂直,所以(W函數(shù)(0) e.所以 f&)+2e e.f (x)的定義域是>2e2(i)當(dāng)(x)>0成立所以f (x)的單調(diào)增圈(2)當(dāng)令fa, 0 時(shí),(x)ilnln(x)2lnf (xy的單調(diào)鬧詞+工ln綜上所述，當(dāng)f (x)的單調(diào)增酶代(xR的單調(diào)增強(qiáng)+ >+f (x)的單調(diào)減強(qiáng)a ln21 ln2(m)當(dāng)當(dāng)xx 0時(shí),f (0) e1 1成立，a(0,1值，f (x)e2x 1等價(jià)于當(dāng)x- (0,1加,ax 12xe1恒成立恒成立.'設(shè)<g(x)(0,i時(shí)，ag(x)mi

14、n成立.g (x)(2x2x 11)e2x令 g (x)令 g (x)<0得,1且x21x (0,1,所以函數(shù) g( x)在(0,上為減函數(shù);1上為增函數(shù).f (x),又因?yàn)?x (0,1,所以函數(shù) g( x)在(,1221所以函數(shù)g( x) 在 x 處取得最小值，且2所以a2e2又因?yàn)?a2g( ) 2e 232e ，所以實(shí)數(shù)a 的取值范圍 ( , 2e2 (m)另解：13分時(shí)，由(口)可知,f (x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f (x)f (0) =e +1 .(2)當(dāng) 0 aa 0時(shí),2e時(shí)，V有(x), 1可得ln2成立.a由(口)可知當(dāng) a 0>時(shí)，f ( x)的單調(diào)增南留

15、ln>所以f (x)在0,1上單調(diào)遞增，又(x) f (0)所以總f(x)> 1成立a(3)當(dāng) 2e、a ”2e3 時(shí)，可得 °1 a 1 In由(口)可知，函數(shù)f (x)在所以函數(shù) f (x)在1 lnf ( ln22aln2e當(dāng) x 0,1 0,2ln2ln1 一 一，一)上為減函數(shù)，在2ln處取最小值,1,伊十皿為增函數(shù),In1時(shí)，要使f (x) > 1成立，只需aln解得 a =2e2. 3 2e綜上所述，也a柏取值19 .(本小題414分),2e2 .(j踴C的方程為2x2a2乂 I 2b1- I。,T距為依題意Ie=a I 2解得2 .二所以2 b,由右

16、焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1,得a c 1 .所出臂的標(biāo)嚀方程是+(口)解：存g線，回導(dǎo)3OAy由 x2+4+ =kx m,y2 + 得1,32(3 4k + =(8km)4(3A(x , y ), B(x , y )4k )(4 m 12)小則28km24k24mx x1 23若 OA 2OBOA2OB成立,2OB-p J理由如下:* =22)x 8kmxe,化簡(jiǎn)得1224k24m24k12 0.OA 2OB OA2OB ，等價(jià)于OAOB 0 所以x1 x2y1 y20x1 x2 (kx12(1 k )x x1 224mm)( kx2km( x1m) 0，2x ) m20，128km2(1 k )km23 4k化簡(jiǎn)得，將27k122 7m2 m1212k1 代入 3 4k24k2m 中，4(722m 1) m ，1223解得,又由7m12 12k127，從而m12所以實(shí)數(shù)m的取值范睡2 2-"21 或 m - 一 V21 .77222121,)14分20.（本小題滿 13分）X1X2t .1X1 v 一色02一n rX2,r所以X1 + r 0(x1k kX10T-5xT1 4即T5所以XT1同理,xT1 3xT2 45x =.2所以T5X1T48(x 2T4 X1X2