《線性代數(shù)理綜合復(fù)習(xí)資料》

1、線性代數(shù)(理)綜合復(fù)習(xí)資料、選擇填空題6 01、行列式1 32 415中，元素4的代數(shù)余子式為 22 10，2、設(shè)A，則A的秩r(A)3413、已知三階方陣 A的特征值為1,0,2,則E A的全部特征值為24、一次型 f(X1,X2,X3) X12X3 2x1X2 2x1X3 6X2X3 的矩陣為 A6、設(shè)A,B均為3階方陣，且A 2, B 21 ,則行列式A B A的值為(1) 6;(2) 8;(3) 12;(4) 16。a11a12a13a31a32a335、設(shè)行列式a21a22a233,則a11a12a130a31a32a332a212a222 a237、設(shè)A和B皆為n階實方陣，則下面論

2、斷錯誤的是()(1) A可逆的充要條件是 A等價于n階單位矩陣E ;(2) A與B相似的充要條件是存在可逆陣 P ,使得A P 1BP ；(3)若A是正交矩陣，則 A 1；(4) A與B均正交相似于一個對角矩陣。8、對于矩陣ARn n,下列說法不正確的是()(1)如果矩陣A中有一行元素全為零，則 A 0 ；(2)如果矩陣A中有兩行元素對應(yīng)成比例，則 A 0;(3)如果交換矩陣 A的任意兩行，則相應(yīng)的矩陣行列式值不變；(4)如果將矩陣 A的某一行加到另外一行，則相應(yīng)的矩陣行列式值不變。11119、設(shè)矩陣A Rm n的秩為r ( rmin(m, n), r0 ),則下列說法不正確的是(1)矩陣A所

3、有r階子式均不等于零；(2)矩陣A的所有r 1階子式全等于零；(3)矩陣A的行向量構(gòu)成的向量組的秩為r ；(4)矩陣A的列向量構(gòu)成的向量組的秩為r o10、設(shè) Aaii乳ai3a2ia22a23，ana2iai2a22a3ia32a33a3i2aiia322ai2ai3a23a33 2ai3PA B ,則初等矩陣P為()i 0 0(i) P 0 i 0 ； (2) P2 0 ii 020 i0 ； (3) P0 0ii02i000i0；(4)P0i000i20iii、二次型 f (xi, x2, x3) 3x；2X34xiX2 6X2X3 的矩陣為 Ai2、如果矩陣A與三角矩陣20052 0相

4、似，則 A的全部特征值為 373i3、非齊次線性代數(shù)方程組Axb(ARnn,b 0)有解的充要條件是i4、下列說法不正確的是()(i)含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；(2)不含有零向量的向量組一定線性無關(guān)；(3)如果一個向量組的部分向量線性相關(guān)，則該向量組一定線性相關(guān)；(4)如果一個向量組線性無關(guān)， 則該向量組中任意部分向量構(gòu)成的向量組一定線性無關(guān)。i5、下列說法不正確的是()(i) 一個向量組的最大無關(guān)組是不唯一的；(2)向量組與其最大無關(guān)組是等價的；(3)如果向量組所含向量的個數(shù)大于它的秩，則該向量組線性相關(guān)；(4)秩相同的向量組一定是等價向量組。、計算題1、計算行列式D2、設(shè)矩陣3、已知

5、向量組的值。,求矩陣A 1。,21023,31135,求該向量組的一個最大無關(guān)組。X1 4x2X34、設(shè)有線性方程組X13X13x22x2X3ax3有無窮多解?5、求矩陣A6、計算行列式7、6 ，問a、b為何值時，方程組有唯一解？無解?的特征值和相應(yīng)的特征向量。為何值時，非齊次線性方程組的值。X1X2X38、求矩陣A9、設(shè)矩陣A 210、已知向量組X1X1X2X2X3X302的特征值和相應(yīng)的特征向量。4有唯一解？無解？無窮多解?10 1,21 32 0,35 1 6 2,7 0 14 3 ,求該向量組的一個最大無關(guān)組。1、-31;2、2; 3、2,6、（3）;7、（4）; 8、11、2二、解:

6、1.2.1, -1； 4、11(3); 9、(1); 10、(4)12、2, -23；13、利用行列式的性質(zhì)簡化行列式即得10102 2r120AME0M20M21M 1r3 3r1r11M10M02M03 ； 5、 6;rank (A,b) rank (A)； 14、(2)； 15、(4)10103.將給定的向量按行排列成矩陣，利用初等行變換將其化為行階梯形矩陣即可:所以2是該向量組的一個最大無關(guān)組。04.對方程組的增廣矩陣進行初等行變換，根據(jù)方程組的解與系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩之間的關(guān)系即得(A|b)1141時，方程組有唯一解（系數(shù)行列式非零）1且b 9時，方程組無解（rank （A）r

7、ank (A b);1且b 9時，方程組有無窮多解（rank (A b)rank (A)3)。5.解:首先計算特征多項式2)2)(3)241)(2)(5)特征值為22, 3求11對應(yīng)的特征向量： 解方程組（EA）x 0,等價方程組X2X3此時方程組的基礎(chǔ)解系為p11對應(yīng)的所有特征向量為 k1Pl k11 ,kk1 R0 o0應(yīng)的特征向量：解方程組(2EA)x方程組XiX20 ,此時方程組的基礎(chǔ)解系為P221112X32對應(yīng)的所有特征向量為 k2P2 k2 0 ,kk2 R0。1應(yīng)的特征向量：解方程組(5EA)x即等價方程組為X1X20 ,此時方程組的基礎(chǔ)解系為P3X35對應(yīng)的所有特征向量為k3

8、 P3k3 1 ;kk3 R0。3 06、利用行列式的性質(zhì)簡化行列式即得233rl4r145rl143225544141111141414（第二行和第三行對應(yīng)成比例）7.解：解:1 1121(1)(31)1)(3)(1)當(dāng)3時，有唯一解;11(2) 1 時，A 1111rank (A) 2 rank (A) 3 月1 3 1(3) 3 時，A 11 311 1rank (A) 2 rank (A) 3 月8.解：首先計算特征多項式200E A 032023特征值為12, 2 1，3 5123求12對應(yīng)的特征向量：解方彳11111302 22200 0 3113 1140 4 4 330 2 2

9、 2(2)(1)(；組(2E A)x 0 ,5) 0000X1052X20,025x31此時方程組的基礎(chǔ)解系為p100k1故12對應(yīng)的所有特征向量為k1 P10 , kuR0。00X12 x22 X33 00,求2 1對應(yīng)的特征向量：解方程組（E A）x 0,即等價方程組 02020此時方程組的基礎(chǔ)解系為p21;0故11對應(yīng)的所有特征向量為k2 p2k21 ，k2R0 即等價方程組為求 3 5對應(yīng)的特征向量：解方程組（5E A）x 0700 x10022 x20,此時方程組的基礎(chǔ)解系為p31 ;02 2 x319. AIE130M00130M100210M010070M 210422M001002M0210故i 5對應(yīng)的所有特征向量為 k3 P3 k3 1 ,也 陽。1133717