直線的一般式方程(附答案)

1、直線的一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線的一般式方程.2.了解關(guān)于x、y的二元一次方程 Ax+ By+C=0(A、B 不同日為0)都表示直線，且直線方程都可以化為 Ax + By+C=0的形式3會進(jìn)行直線方程不 同形式的轉(zhuǎn)化.知識梳理 自主學(xué)習(xí)知識點直線的一般式方程1 .在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關(guān)于x, y的二元一次方程;任何關(guān)于 x, y的二元一次方程都表示一條直線 .方程Ax+By+C = 0(其中A、B不 同時為0)叫做直線方程的一般式.2 .對于直線Ax+By+C = 0,當(dāng)BW0時，其斜率為:_A,在y軸上的截距為:C；當(dāng)B=0時， 在x軸上的截距為一

2、 C當(dāng)ABW0時，在兩軸上的截距分別為一C, C.AA B3 .直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征(1)方程是關(guān)于x, y的二元一次方程.(2)方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x, y,常數(shù)的先后順序排列.(3)x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù) .(4)雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程思考 (1)當(dāng)A, B同時為零時，方程 Ax+ By+C=0表示什么？(2)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化嗎？答(1)當(dāng)C = 0時，方程對任意的 x, y都成立，故方程表示整個坐標(biāo)平面；當(dāng)CW0時，方程無解，方程不表示任何圖象.故方程Ax+By+C=0,不一定代表直線，只有當(dāng)

3、 A, B不同時為零時，即 A2+B2w0時才 代表直線.(2)不是.當(dāng)一般式方程中的 B=0時，直線的斜率不存在，不能化成其他形式；當(dāng) C=0時，直線過原點，不能化為截距式.但其他四種形式都可以化為一般式題型探究重點突破題型一直線的一般形式與其他形式的轉(zhuǎn)化例i （i）下列直線中，斜率為4,且不經(jīng)過第一象限的是（） 3A.3x+ 4y+ 7= 0B.4x+ 3y+ 7= 0C.4x+ 3y42=0D.3x+ 4y 42 = 0（2）直線，3x 5y + 9 = 0在x軸上的截距等于（）A.V3 B.-5 C.5 D. 3 也答案（1）B （2）D解析（1）將一般式化為斜截式，斜率為4的有：B、

4、C兩項.34.又y= - -x+ 14過點（0,14）即直線過第一象限， 3所以只有B項正確.（2）令 y=0 則 x=- 373.跟蹤訓(xùn)練1 一條直線經(jīng)過點 A（-2,2）,并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,求此直線方程.解設(shè)所求直線方程為a+b=1,點 A（2,2）在直線上，-1 + 2= 1.又直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,由可得a-b=1,ab= 2,a b= 1, ab= - 2.a = 2, a = 1, 解得或第二個方程組無解b=1, b=- 2.1,故所求直線方程為即 x+ 2y 2= 0 或 2x+ y+ 2= 0.題型二直線方程的應(yīng)用例2已知直線l的方程為3x+4y

5、12=0,求滿足下列條件的直線 1'的方程：過點（一1,3）,且與1平行；（2）過點（1,3）,且與1垂直.3解 方法一 1的方程可化為y=-4x+3, .1的斜率為一3. 4 3（1） .1與1平行，.1'的斜率為一又1'過點（一1,3）, 3由點斜式知方程為y3= - -（x+1）,即 3x+4y9=0.（2）1'與1垂直，. J 的斜率為4,又1'過點（一1,3）, 3由點斜式可得方程為V 3=3（x+ 1）,即 4x-3y+13=0.方法二 （1）由1'與1平行，可設(shè)1'的方程為3x+4y+m=0.將點（一1,3）代入上式得 m=

6、9.所求直線的方程為3x+ 4y 9= 0.(2)由l'與l垂直，可設(shè)1'的方程為4x- 3y+n=0.將(一1,3)代入上式得n= 13.，所求直線的方程為4x-3y+ 13= 0.跟蹤訓(xùn)練2 a為何值時，直線(a 1)x 2y+ 4= 0與x ay 1 = 0.平行；(2)垂直.解 當(dāng)a = 0或1時，兩直線既不平行，也不垂直；,1, 八,., 1 + a當(dāng) aw 0 且 aw 1 時，直線(a1)x2y + 4=0 的斜率為 k1 = 一2, b1=2;11直線x沖1=0的斜率為*a，6一丁(1)當(dāng)兩直線平行時，由 k1=k2, bwb2,解得a= 1或a =2.所以當(dāng)a

7、=1或2時，兩直線平行 (2)當(dāng)兩直線垂直時，由 k1 k2= 1, 即 1 -11+ a =- 1,解得 a = 1.a 23所以當(dāng)a = 1時，兩直線垂直.3題型三由含參一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍例3 (1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1 = 0表示一條直線，則實數(shù) m滿足 (2)當(dāng)實數(shù) m 為何值時，直線(2m2+m-3)x+ (m2-m)y = 4m- 1.傾斜角為45。；在x軸上的截距為1.(1)答案 mw3解析 若方程不能表示直線，則 m2+5m+6= 0且m2+3m= 0.m2+ 5m+ 6 = 0,解方程組9得m = 3,m2+3m=0,所以mw 3時，方

8、程表示一條直線(2)解因為已知直線的傾斜角為45°,所以此直線的斜率是1,所以一2m2 + m 3 _m2- m 1m2mw0, 2m2+m-3=-解得mw 0且mw1, m= 1 或 m= 1.所以m=- 1.因為已知直線在 x軸上的截距為1,令y= 0得x=4m 12m2+m3'所以4m 1,912m2+m 3所以2m2+m3"4m 1 = 2m2+ m 3,解得L3mw 1且mw 2,m=- 2或m=2. ,1 ,所以m= -2或m= 2.跟蹤訓(xùn)練3 已知直線l: 5ax-5y-a+3=0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限;(2)為使直線l不經(jīng)過

9、第二象限，求 a的取值范圍、r ，31(1)證明直線萬程變形為y 5=a x 5 ,它表示經(jīng)過點A ! 3 ,斜率為a的直線.5 5點4 5在第一象限，直線i必過第一象限.(2)解 如圖所示，直線 OA的斜率k=5-05-0=3.直線不過第二象限,，直線的斜率a>3.，a的取值范圍為3, +8).易錯點般式求斜率考慮不全致誤例4 設(shè)直線l的方程為(m22m 3)x+ (2m2+m1)y(2m6)= 0,若此直線的斜率為 1, 試確定實數(shù)m的值.分析 由直線方程的一般式，可轉(zhuǎn)化為斜截式，利用斜率為 1,建立方程求解，但要注意分母不為0.m22m3 =1由題意，得2m2+m-1-1, 02m

10、2 + m 1 w 0.由，得m = 1或m= 4.3當(dāng)m = - 1時，式不成立，不符合題意，故應(yīng)舍去;當(dāng)m = 4M,式成立，符合題意.故 m = 3.當(dāng)堂檢測自杳自糾1 .若方程Ax+ By+C=0表示直線，則 A、B應(yīng)滿足的條件為（）A.AW0B.BW0C.ABW0D.A2+B2W 02 .已知ab<0, bc<0 ,則直線ax+by=c通過（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限3 .過點（1,0）且與直線x- 2y2=0平行的直線方程是（）A.x 2y 1 = 0B.x-2y+1 = 0C.2x+ y2=0D.x + 2y-1

11、 = 04.若直線x2y+5=0與直線2x+ my 6=0互相垂直，則實數(shù) m等于（）A. - 1B.11C.21D.-25 .已知兩條直線 y=ax- 2和3x （a + 2）y+ 1 = 0互相平行，則 a =h課時精練一、選擇題1 .直線x+y-3=0的傾斜角的大小是()A.45 °B.135 °C.1 D. 12 .直線(2m2 5m+2)x (m24)y+5m= 0的傾斜角為45°,則m的值為()A. 2B.2 C.-3D.33 .直線l的方程為Ax+By+C=0,若直線l過原點和二、四象限，則 ()A.C=0, B>0B.A>0, B>

12、;0, C=0C.AB<0, C=0D.AB>0, C=04 .直線ax+3my+2a=0(mw0)過點(1, 1),則直線的斜率 k等于()A.-3B.3C.1D. - 1335 .直線y=mx3m+2(mC R)必過定點()A.(3,2)B.( 3,2)C.(-3, - 2)D.(3 , -2)6 .若三條直線x+y=0, xy=0, x+ay=3構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是()A.aw ±B.aw1, a2C.aw 1D.aw ±1, aw 27 .直線H: axy+b=0, l2： bxy+a= 0(aw0, bw0, awb)在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是

13、()、填空題8 .已知直線li： ax+3y1 = 0與直線12： 2x+(a1)y+1 = 0垂直，則實數(shù) a =.9 .若直線 mx+ 3y5=0經(jīng)過連接點 A(1, 2), B(3,4)的線段的中點，則 m =.10 .直線1: ax+(a+1)y + 2=0的傾斜角大于45°,則a的取值范圍是 .11 .已知兩條直線 ax+ by + 4=0 和 a2x+ b2y+4=0 都過點 A(2,3),則過兩點 P1(a1, b1)，P2(a2, b2) 的直線方程為 .三、解答題12 .設(shè)直線 1 的方程為(a+1)x+ y+2-a=0(a R).(1)若 1 在兩坐標(biāo)軸上的截距相

14、等，求1 的方程；(2)若 1 不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a 的取值范圍 .13.已知直線li： 2x+(m+1)y+4=0與直線12： mx+ 3y2=0平行，求 m的值.(2)當(dāng) a 為何值時，直線 li： (a+2)x+(1 a)y1=0 與直線 12： (a-1)x+ (2a+ 3)y+2=0 互相垂直？當(dāng)堂檢測答案1答案 D解析 方程Ax+By+C = 0表示直線的條件為 A、B不能同時為0,即A2+B2W0.2答案C解析 由 ax+ by= c,彳導(dǎo) y= ax+c, b b,ab<0,直線的斜率 k=-b>0,直線在y軸上的截距b<0.由此可知直線通過第一、三、四象

15、限 .3答案 A解析 由題意，得所求直線斜率為 1,且過點(1,0).故所求直線方程為V= ；(x1),即x- 2y-1 = 0.4答案B解析由兩直線垂直，得1X - =- 1,解得m= 1.2 m5.答案3或1-_ r ,一r 一，一一 .、，a 1- 2 4解析 兩條直線y= ax 2和3x(a +2)y+1 = 0互相平行，所以-=w=一 解得a=3 a+213 或 a= 1.課時精練答案一、選擇題1答案 B解析 直線x+y3=0,即y=-x+3,它的斜率等于一1,故它的傾斜角為135°,故選B.2答案 Dc2m25m+2解析 由已知得m24W0,且一m23 =1，解得：m=3

16、.3答案 D解析通過直線的斜率和截距進(jìn)行判斷.4答案 D解析 由點(1, 1)在直線上可得a 3m+2a= 0(mw 0),解得m=a,故直線方程為ax+ 3ay1+ 2a=0(aw0),即 x+ 3y+2=0,其斜率 k=-35答案 A解析 由y=mx3m+ 2,得y2= m(x3).所以直線必過點(3,2).6答案 A解析 因為直線x+ ay= 3恒過點(3,0),所以此直線只需不和x+ y= 0, x y= 0兩直線平行就能構(gòu)成三角形.所以aw±1.7答案 C解析 將li與12的方程化為斜截式得：y=ax+b, y=bx+a,根據(jù)斜率和截距的符號可得選C.二、填空題38答案 3

17、5解析 由兩直線垂直的條件，得 2a+3(a1) = 0,解得a = f.59答案 2解析 線段AB的中點為(1,1),則m+3-5=0,即m=2.110.答案(巴2)U(0, +oo )解析 當(dāng)a= 1時，直線1的傾斜角為90。，符合要求；當(dāng)aw 1時，直線1的斜率為一一a一,a+ 1只要一777>1或者777<0即可， a十1a十1一11 ,、一一解得1<a<2或者a<1或者a>0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是1(一巴-2)U(0, +8).11.答案 2x+ 3y+4=0解析由條件知2ai + 3bi+4=0,2a2 + 3b2+4=0,易知兩點 Pi

18、(ai, bi), P2(a2, b2)都在直線 2x+3y+4=0上，即2x+ 3y+4=0為所求.三、解答題12 .解(i)當(dāng)直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距都為0,當(dāng)然相等，所以a=2,方程即為3x+ y = 0.當(dāng)a w 2時，截距存在且均不為0,所以三=a-2,即a+ i = i. a+ i所以a= 0,方程即為x+y+2=0.(2)將l的方程化為y= (a+ i)x+a-2,a+i>0, a+i=0,所以或a-2< 0a-2<0,所以a< -i.綜上，a的取值范圍是awi.13 .解 方法一 (i)由 li：2x+ (m+i)y+ 4=0,I2: mx+ 3y2=0