全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題

1、2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題一.填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分。1 .設(shè)集合A 2,0,1,3，集合B x x A,2 x2 A ,則集合B中所有元素的和為2 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B在拋物線y2 4x上，滿足OA OB 4, F是拋 物線的焦點(diǎn)，則S OFA SOFB =3 .在 ABC 中，已知 sin A 10sin B sin C, cos A 10 cos B cosC ,則 tan A 的值為4 .已知正三棱錐P ABC的底面邊長(zhǎng)為1,高為72,則其內(nèi)切球半徑為5 .設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) ax b滿足：對(duì)任意x 0,1,有f (x) 1,

2、則ab的最大 值為6 .從1,2, ,20中任取5個(gè)不同的數(shù)，其中至少有2個(gè)是相鄰數(shù)的概率為7 .若實(shí)數(shù)x, y滿足x 4.Jy 2Jx y ,則x的取值范圍是8 .已知數(shù)列an共有9項(xiàng)，其中a1 a9 1,且對(duì)每個(gè)i 1,2, ,8均有生工2,1, 1 ,ai2則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為二.解答題：本大題共3小題，共56分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。9.(本題滿分16分)給定正數(shù)數(shù)列xn滿足Sn 2Sn1,n 2,3,這里Sn Xixn.證明：存在常數(shù)C 0,使得2210 .(本題滿分20分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的方程為之41(a b 0),a bA,A2分別為橢圓的左、右

3、頂點(diǎn)，F(xiàn)i,F2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，p為橢圓上不同于A和A2的任意一點(diǎn).若平面中有兩個(gè)點(diǎn)Q,R滿足QA PA,QA2 PA2,RFi PFi, RF2 PF2,試確定線段QR的長(zhǎng)度與b的大小關(guān)系，并給出證明。11 .(本題滿分20分)設(shè)函數(shù)f(x) ax2 b,求所有的正實(shí)數(shù)對(duì)(a,b),使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x,y 均有 f (xy) f (x y) f (x)f (y) 一.（本題滿分40分）如圖，AB是圓 的一條弦，P為弧AB內(nèi)一點(diǎn)，E、F為線段AB 上兩點(diǎn)，滿足AE=EF=FB.連接PE PF并延長(zhǎng)，與圓 分別項(xiàng)交于點(diǎn)C D求證： （解題時(shí)請(qǐng)將圖畫(huà)在答卷紙上）二.（本題滿分40分）給定正整

4、數(shù)u、v.數(shù)列an的定義如下：a1 u v,對(duì)整數(shù)m 1,記Sm ai a2am（m 1,2,）.證明：數(shù)列Sn中有無(wú)窮多項(xiàng)是完全平方數(shù)。三.（本題滿分50分）一次考試共有m道試題，n個(gè)學(xué)生參加，其中m,n 2為給定的 整數(shù).每道題的得分規(guī)則是：若該題恰有x個(gè)學(xué)生沒(méi)有答對(duì)，則每個(gè)答對(duì)蓋提的學(xué)生得 x分，未答對(duì)的學(xué)生得0分.每個(gè)學(xué)生的總分為其m道題的得分總和.將所有的學(xué)生總分 從高到低排列為p1 p2pn ,求R p2的最大可能值。四.（本題滿分50分）設(shè)n,k為大于1的整數(shù)，n 2k.證明：存在2k個(gè)不被n整除的整數(shù)，若將他們?nèi)我夥殖蓛山M，則總有一組有若干個(gè)數(shù)的和被n整除。2013年全國(guó)高中數(shù)

5、學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1 .評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè) 8分和0分；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán) 格按照本標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分檔次給給分，不要增加其他中間檔次。2 .如果考生的解答和本解答的不同，只要給合理的思路、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考 本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中第 9題4分為一個(gè)檔次.第10、11小題5分 為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次.一.填空題：本大題共8小題，沒(méi)小題8分，共64分.1 .答案：-5【解答】易知B 2,0, 1, 3 .當(dāng)x 2, 3時(shí)，2 x2 2, 7 ,有2 x2 A;而當(dāng)x 0, 1時(shí)，2 x2 2,1,有2 x2 A.因此，根據(jù)B的定

6、義可知B 2, 3 .所以，集合B中所有元素的和為-5.2 .答案：222【解答】點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0）.設(shè)A（x1,y）B（x2,y2）,則x19供 血，故44124 OA 0B = XiX2 丫也二(y)丫血16即工(y1y2 8)2 0,故丫伙816一 一1 一 L 1 一一1 _ _ 2一S ofa S ofb (2OF y1)(*2IOF y2) =4IOF丫m=23 .答案：11【解答】由于 sin A cos A 10(sin B sinC cosBcosC)10cos(B C) 10 cos A ,所以sin A 11cosA,故 tan A 114 .答案：旦6【解答】如圖，

7、設(shè)球心O在面ABCt面ABP內(nèi)的攝影分別為H和K, AB中點(diǎn)為M內(nèi)切球半徑為r,則P、K、M共線,PHM PKO且OHOK r,PO PH OH.2 r, MHPM.MH 1 2 PH 22 -125、3工日 r，于是-f=一6.2 rOKPOsinMHKPO - PM解得:,2r 65 .答案：-4【解答】易知a f（1）f(0),bf(0),則當(dāng) 2f (0) f (1)6.答案232323【解答】設(shè)a1a?a3a4a5 取自 1,2, ,20 .右 a1, a2, a3, a4, a5 互不相鄰，則由此可知從1,2,20中取5個(gè)互不相鄰的數(shù)的選法與從1,2, ,16中取5個(gè)不同的數(shù)的選法

8、相同,即C；6種.所以從1,2, ,20中任取5個(gè)不同的數(shù)，其中至少有2個(gè)是相鄰的概率為:7.答案:0 4,20令Jy a,qx y b(a,b 0),止匕時(shí)x y (x y) a44 b2 ,且條件中等式化為 a2 b2 4a b,從而 a,b 滿足方程：(a 2)2 (b 1)2 5(a,b 0)如圖所示，在aOb平面內(nèi)，點(diǎn)（a,b）的軌跡是以（1,2）為圓心，5為半徑的圓在a,b 0的部分，即點(diǎn)O與弧ACB的并集，因此Ja2 b2 0 2,2J5,從而8 .答案：491.【解答】令bi由(1aiai ia9di i aiai1且2，1，2(1 i8)反之，由符合條件的8項(xiàng)數(shù)列bn可能唯一

9、確定一個(gè)符合題設(shè)條件的9項(xiàng)數(shù)列an oi 8),則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列a。，有bii 1ii記符合條件的數(shù)列bn的個(gè)數(shù)為N,顯然bi (1 i 8)中有偶數(shù)個(gè)，即2k個(gè)-;22繼而有2k個(gè)2, 8 4k個(gè)1.當(dāng)給定k時(shí)，bn的取法有C；kC；k2k種，易見(jiàn)k的可能值只 有：0,1,2所以 N 1 C；C2 C84C4 1 28 15 70 1 491因此，根據(jù)對(duì)應(yīng)原理，符合條件的數(shù)列an的個(gè)數(shù)為491.二.解答題：本大題共3小題，共56分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。9 .【解答】當(dāng)n 2時(shí)，Sn 2Sn1等價(jià)于 Xn X1Xn 1對(duì)常數(shù)C 1X1 ,用數(shù)學(xué)歸納法證明：Xn C 2

10、n,n 1,2, 4n 1時(shí)結(jié)論顯然成立.又x2 X1 C 22對(duì)n 3,假設(shè)Xk C 2k,k 1,2, ,n 1,則由式可知xn X1 (x2xn 1) X1 (C 22C 2n 1)=C 2n所以，由歸納法可知上式成立。10 .【解答】令 c va2 b2 ,則4(a,0), A2(a,0) , E( c,0), F2(c,0).設(shè) P(x0, y),22Q(x1,y)R(x2,y2),其中與 * 1, y 0.由 QA PA, QA2 PA2 可知： a bAQ AP (X1 a)(x a) yy。0A2Q A2 P (X1 a)(x0 a) y1y0 0將、相減得：2a(x1X0)0

11、,即X1X0,將其代入可得：X2a2y1y 02222X0 aX0 ay0V。故 y，于是 Q( X0,)22根據(jù) RF1 PF1, RF2 PF2,2222因止匕QR %_上x(chóng)_3 y。y。由于 yo (Qb,故 QR b理可得R( x。,包上)V。b2Vo(其中等號(hào)成立的充分必要條件是Vo b,即點(diǎn)P的坐標(biāo) 是(。，b)11.【解答】已知條件可以轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有(ax2y2 b) (a(x y)2 b) (ax2 b)(ay2 b)先尋求a、b所滿足的必要條件，在中令 y 。得：b (ax2 b) (ax2 b)b即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有：(1 b)ax2 b(2 b) 0由于a

12、。，故ax2可以取到任意大的值，因此必有1 b。，即：。b 1在式中再令y x,得：(ax4 b) b (ax2 b)2,即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有(a a2)x4 2abx2 (2b b2)。將式的左邊記作為g(x),顯然a a2 。(否則，由a ?？芍猘 1,此時(shí)g(x)2bx2 (2b b2),其中b 。，故g(x)可取到負(fù)值，矛盾)，于是=(a a2)(x2 )2 (2 2a b)。對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，從而必有：a a2 。，即 1 a 1 a。a 1I進(jìn)一步考慮到工 。，再根據(jù)g(J2)(2 2a b)。，可得：2ab 21 a1a 1a至此，求得a,b滿足的必要條件如下：。b 1,。a 1,

13、2a b 2 下面證明，對(duì)滿足 的任意實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)以及任意實(shí)數(shù)x,y,總有成立，即：對(duì)任意x,y取非負(fù)值。事實(shí)上，在式成立時(shí)，有a(1 b) 0, a a2 。,一(2 2a b)。1 a再結(jié)合x(chóng)2 y2 2xy,可得：22 2_2=(aa )x y 2abxy2b b=(aa2)(xyb)2b (22a b) 01 a 1 a綜上所述，所求的正實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)全體為(a,b) 0 b 1,0 a 1,2a b 22013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)【證明】連接AD,BC,CF,DE .由于AE EF FB ,從而B(niǎo)C sin BCE BE 。小= 2 AC sin ACE

14、 AE同理可得：AD sin ADF AF 2BD sin BDF BF另一方面，由于故將兩式相乘可得：BCa 4,即 AC BDBC AD 4AC BD由托勒密定理AD BC AC BD AB CD 由得：AC CD 3AC BD即：EF CD AC BD一.【證明】對(duì)正整數(shù)n ,有= u v (a1 u a1 v) (a2 u a2 v)(a2n 1 u a2nl v)=2n(u v) 2 s2nl所以 S2nl 2n1(u v) 2s2n112n1(u v) 2(2n2(u v) 2s2n 2 1)=2 2n 1(u v) 22S2n 2 1=(n 1) 2n 1(u v) 2n 1(u

15、 v)= (u v)n 2n 1設(shè)u v 2k q ,其中k是非負(fù)整數(shù)，q是奇數(shù).取n ql2,其中l(wèi)為滿足l k 1(mod 2)2的任意正整數(shù)，此時(shí)S2nl q2l2 2k 1ql ,注意到q是奇數(shù)，故: 所以，Si是完全平方數(shù).由于l有無(wú)窮多個(gè)，故數(shù)列Sn中有無(wú)窮多項(xiàng)是完全平方數(shù)對(duì)任意的k 1,2, ,m,設(shè)第k題沒(méi)有答對(duì)者有Xk人，則第k答對(duì)者有n Xk人，由得分規(guī)則知，這n Xk個(gè)人在第k題均彳4到Xk分.設(shè)n個(gè)學(xué)生的得分和為S,則有因?yàn)槊恳粋€(gè)人在第k道題上至多得Xk分，故由于P2Pn,故有Pn 風(fēng)E巴 S上，所以n 1n 1_m1 m 2=2 Xk Xkk 1 n 1 k 1由柯西

16、不等式可得:m21 /Xk一 (mXk)2于是P1mpm 2Xkk 11m(n 1)m(Xk)2 =k 11m2Ell m(n 1)m(n 1)n 1個(gè)學(xué)生全部答錯(cuò)，則另一方面，若有一個(gè)學(xué)生全部答對(duì)，其他綜上所述，p1 pn的最大值為m(n 1)四.【證明】先考慮n為2的幕的情形。設(shè)n 2，則r k.取3個(gè)2r1及2k 數(shù)字均不被n整除.將2k個(gè)數(shù)任意分成兩組，則總有一組中含有2個(gè)2r 1,他們的和為2，被n整除?，F(xiàn)在設(shè)n不是2的幕，取2k個(gè)數(shù)為因?yàn)閚不是2的幕，故上述2k個(gè)數(shù)均不被n整除。若可將這些分成兩組，使得每一組中任意若干個(gè)數(shù)的和均不能被n整除。不妨設(shè)1在第一組，由于-1+1=0,被n整除，故兩個(gè)-1必須在第二組；因?yàn)?-1) + (-1) +2=0, 被n整除，故2在第一組，進(jìn)而推出-2在第二組?，F(xiàn)在歸納假設(shè)1,2, ,2l均在第一組，而1, 1, 2, , 2l均在第二組，這里1 l k 2, 由于(1) ( 1) ( 2)( 2)l 2l