概率論 第三版 龍永紅第一章習(xí)題及答案

1、 第一章 練 習(xí)一、填空題：（1）設(shè)A、B為隨機(jī)事件，P（A）0.7，P（AB）0.3，則P（） 0.6 。 P（AB）=P（A）P（AB）P（AB）=0.4P（+）=1P（AB）=0.6（2）設(shè)A、B為隨機(jī)事件，P（A）0.92，P（B）0.93，P（B/）0.85，則P（A/）=_ 0.829_，P（AB）=_ 0.988_。見課本習(xí)題20題（3）設(shè)事件A、B相互獨(dú)立，已知P（A）0.5，P（AB）0.8，則P(A)= 0.2 , P（） 0.7 。P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）=0.8P（B）=0.6，P（）=0.4P（AB）=P（A）P（A）=0.50.2=0.3P（A）=

2、P（A）P（）=0.50.4=0.2（4）袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)黃球，30個(gè)白球，今兩人依次隨機(jī)地從中各取一球，則第二個(gè)人取得黃球的概率是 0.4 。+=0.4（5）設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A、B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P（A） 2/3 。P（A）=P（B）P（）=（6）一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊，若至少命中一次的概率是80/81，則該射手的命中率為 2/3 。P：不中的概率 1P=P=P=1P= (7) 袋中有5個(gè)黑球，3個(gè)白球，大小相同，一次隨機(jī)地取出4球，其中“恰好2個(gè)黑球，2個(gè)白球”的概率為： 3/7 、 (8) 事件A、B、C中

3、至少有兩個(gè)不發(fā)生，可用運(yùn)算符號(hào)表示為： ；而運(yùn)算符號(hào)則表示事件 A或B至少一個(gè)發(fā)生而C不發(fā)生 。(9) A、B為相互獨(dú)立的事件，P（A）=0.4，P（AB）=0.12，則P（B）= 0.3 ；P（）= 0.3 。 (10) 設(shè)A、B為互不相容事件，P（B）=0.4，P（A+B）=0.75，則P（A）= 0.35 ；P（）= 1 。（11）設(shè)A、B為互不相容事件，P（A）=0.35，P（A+B）=0.80，則P（B）= 0.45 ；P（）-P（）= - 0.35 （12）A、B為相互獨(dú)立的事件，P（A）=0.4，P（AB）=0.12，則P（B）= 0.3 ；P（）= 0.3 。（13）某人射擊時(shí)

4、，中靶的概率為3/4，如果射擊直到中靶為止，則射擊次數(shù)為3的概率為 3/64 （14）設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為：P（0P1），則3次重復(fù)試驗(yàn)中至少失敗1次的概率為 其對(duì)立事件為三次都成功，故： 0.75 P（目標(biāo)命中）=P（甲中或乙中）=0.6+0.5-0.60.5=0.8P（甲中|目標(biāo)命中）=0.6/0.8=0.75二、計(jì)算題： 1、現(xiàn)有編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子，1號(hào)盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球；2號(hào)盒中有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球；3號(hào)盒中有1個(gè)紅球，4個(gè)黃球?，F(xiàn)擲3枚均勻骰子，若出現(xiàn)K個(gè)6點(diǎn)，則白K號(hào)盒中任取2個(gè)球（K0,1,2,3），求所取的2個(gè)球?yàn)橐患t一黃的概率。解：設(shè)AK ：出現(xiàn)K個(gè)6點(diǎn)，K=

5、0，1，2，3 設(shè)B：取得的2球?yàn)橐患t一黃 由全概率公式： 2、 某信息咨詢部門三名調(diào)查員登錄一批農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)調(diào)查表。甲登錄了38%，乙登錄了40%，丙登錄了22%。根據(jù)以往記錄，甲出錯(cuò)率為1%，乙為1.5%，丙為0.8%。經(jīng)理在這批表格中隨機(jī)抽取一份檢查，發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)，問這張表內(nèi)甲、乙、丙登錄的可能性各是多大？解：根據(jù)貝葉斯公式： 3、在一次每題答案有4種選擇的測(cè)驗(yàn)中，假設(shè)只有一種答案是正確的。如果一個(gè)學(xué)生不知道問題的正確答案，他就作隨機(jī)選擇?，F(xiàn)已知：知道某題正確答案的學(xué)生占參加測(cè)驗(yàn)的學(xué)生的90%，若某學(xué)生對(duì)此題的回答是正確的，那么他是隨機(jī)猜出的概率為多少？解：設(shè) A=某學(xué)生對(duì)該題回答正確 =該生知

6、道該題的正確答案=該生不知道該題的正確答案， 依題意得 根據(jù)逆概率公式，有4、八門炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊一發(fā)炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí),目標(biāo)就被擊毀.如果每門炮命中目標(biāo)的概率為0.6, 求目標(biāo)被擊毀的概率. 解 設(shè) i 門炮擊中目標(biāo)為事件Ai, i=28, 設(shè)目 標(biāo)被擊毀為事件B, 各炮命中概率 p = 0.6, 則 5、設(shè)事件 表示第 i 次檢查為陽(yáng)性,事件B 表示被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果如下：某患者首次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性, 試判斷該患者是否已患腸癌？ 若三次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性呢？解： 6、設(shè)每個(gè)人的血清中含肝炎病毒的概率 為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個(gè)人的血清混合液中含

7、有肝炎病毒的概率？解：100個(gè)人中至少有一個(gè)人含有肝炎病毒則混合液里就含有病毒，故用對(duì)立事件解，7、甲、 解：設(shè) B表示飛機(jī)墜毀 表示恰好有個(gè)人射中， 由題設(shè)：由全概率公式： 第二章 練習(xí)題（解答）一、填空題：1設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：f(x)= 則用Y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)的觀察中事件(X)出現(xiàn)的次數(shù)，則P（Y2） 。解：ax+b 0xa)=P(xa)成立的常數(shù)a = ( A ) ABCD12設(shè)F1（X）與F2（X）分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F（X）aF1(x)bF2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給它的各組值中應(yīng)?。?A ） Aa=, b =Ba=, b=Ca=, b

8、=Da=, b=F(+)=a F1 (+)-BF2 (+)=13. 已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F（x）= A + B arctgx ，則：（ B ）A、A= B= B、A= B= C、 A= B= D、A= B= 本題為課堂例題4. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X僅取兩個(gè)可能值X1和X2，而且X1 X2，X取值X1的概率為0.6，又已知E（X）1.4，D（X）0.24，則X的分布律為（ ） A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4 1.4=EX=0.6X1+0.4X2 DX=EX2-(EX)20.24=0.6X12 +0.4X22 -1.42聯(lián)系、

9、解得X1=1，X2=25現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元，2張為5元，今某人從中隨機(jī)地?zé)o放回取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望為（ ）A6元B12元C7.8元D9元設(shè)表示得獎(jiǎng)金額，則其分布律為： 6 9 12 P 故期望值為： 7.86. 隨機(jī)變量X的概率分布是： X 1 2 3 4 P a b 則：（ D ）A、a=, b= B、a=, b= C、a=, b= D、a=, b= 7. 下列可作為密度函數(shù)的是：（ B ） A、 B、 C、 D、 依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行判斷得出：B為正確答案8. 設(shè)X的概率密度為，其分布函數(shù)F（），則（ D ）成立。 A、P（ B、 C、P D、P9. 如果，而

10、，則P（X）=（ C ） A、 B、 C、0.875 D、 解: 10. 若隨機(jī)變量X的可能取值充滿區(qū)間，那么Sinx可以作為一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。（ B ） A0，B0.5, C0, 1.5D, 1.5解: 依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行判斷得出：B為正確答案11. 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為5%，每天從生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽5個(gè)檢驗(yàn)，記X為出現(xiàn)次品的個(gè)數(shù)，則EX （ D） A0.75B0.2375C0.487D0.25 此題X服從二項(xiàng)分布12. 設(shè)X服從二項(xiàng)分布，若（n1）P不是整數(shù)，則K取何值時(shí)，P（XK）最大？（ D ）AK（n1）PBK（n1）PiCKnPDK（n1）P 13設(shè)X服從泊松分布，若

11、不是整數(shù)，則K取何值時(shí)，P（XK）最大？（B）ABC1D114. ，Y=2X1，則Y（ C ） A、N（0，1） B、N（1，4） C、N（-1，4） D、N（-1，3） 15. 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則其標(biāo)準(zhǔn)差為： （ C ） A2B1/4C1/2D 隨機(jī)變量的參數(shù)為2，即方差為1/4，標(biāo)準(zhǔn)差則為1/2 16當(dāng)滿足下列（ D ）條件時(shí)，二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布更準(zhǔn)確。 AnBCD17. 設(shè),已知，則和的概率分別為 C A. 0.0228 , 0.1587 B. 0.3413 , 0.4772 C. 0.1587 , 0.0228 D. 0.8413 , 0.97725三、

12、計(jì)算題： 1. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：A+B=3f(x) = AX 0X1 BX 1X20 其它試求：（1）常數(shù)A、B。 （2）分布函數(shù)F（X） （3）P（）解：（1）由f(x)為連續(xù)的同時(shí)： ，又A+B=3解得：A=1，B=2 （2） 當(dāng) （3）2. 設(shè)已知X= ，求： P（） 解： 3. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為： ax 0x2 f(x)= cx + b 2x40 其他 已知 EX2， P（1X 0的指數(shù)分布，當(dāng)三包元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作，試求電路正常工作的時(shí)間的概率分布。解：設(shè)Xi表示第i個(gè)電氣之元件無故障工作的時(shí)間，i=1,2,3,則X1X2X3獨(dú)立

13、且同分布，分布函數(shù)為：設(shè)G（t）是T的分布函數(shù)。當(dāng)t0時(shí)，G（t）=0t0時(shí)，G（t）=P(Tt)=1-P(Tt) =1-P(X1t,X2tX3t) =1-P(X1t)P(X 2t)p(X3t) =1-P(Xt)3=1-1-F(t)3 =1-e -12. 設(shè)從一批材料中任取一件測(cè)出這種材料的強(qiáng)度XN（200，18），求： 取出的該材料的強(qiáng)度不低于180的概率； 若某項(xiàng)工程要求所用的材料強(qiáng)度要以99%的概率保證不低于150，問這批材料是否合乎要求？解： 大于0.99，故這批材料合要求。13. 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.1，抽取20件產(chǎn)品，初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品，則這20件產(chǎn)品中，廢品不少于3件

14、的概率為多大？ 解： =“20件產(chǎn)品中廢品數(shù)目” “初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品”=“2” “廢品數(shù)不少于3件”=“ 3” p=0.1 q=0.9 n=20. 14. 某公司作信件廣告，依以往經(jīng)驗(yàn)每送出100封可收到一家定貨。茲就80個(gè)城市中的每一城市發(fā)出200封信。求（1）無一家定貨的城市數(shù)；（2）有三家定貨的城市數(shù)。解：設(shè)發(fā)出200封信后有家定貨，則B（200，0.01）近似服從參數(shù)為=2的泊松分布P（=0）0.1353 ，P（=3）0.1804（1） 無一家定貨的城市數(shù)為800.1353=10.82（2） 有三家定貨的城市數(shù)為800.1804=14.4315. 某企業(yè)準(zhǔn)備通過考試招收300名

15、職工，其中招正式工280人、臨時(shí)工20人，報(bào)考人數(shù)為1657人，考試滿分是400分?？己蟮弥荚嚻骄煽?jī)?yōu)?66分，在360分以上的高分考生有31人。求：（1）為錄取到300人，錄取分?jǐn)?shù)線應(yīng)設(shè)定到多少？（2）某考生的分?jǐn)?shù)為256分，他能否被錄取為正式工？（設(shè)成績(jī)服從正態(tài)分布， ）解：（1）因此，分?jǐn)?shù)線應(yīng)定在250.9分。（2）故該考生能被錄為正式工。 第三章 練習(xí)題一、填空題：1設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且具有同一分布律：01P則隨機(jī)變量的分布律為： 。 0 1 2P 2隨機(jī)變量服從（0,2）上均勻分布，則隨機(jī)變量在（0,4）的密度函數(shù)為 3設(shè)x表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中的概率

16、為0.4，則x2的數(shù)學(xué)期望E (x2) DX+（EX）2=2.4+16=18.4 。4設(shè)隨機(jī)變量x服從 1, 3 上的均勻分布，則E ()5設(shè)DX4，DY9，PXY0.5，則D (2x 3y) 4Dx+9Dy-2cov(2x,3y)=61 6若X與Y獨(dú)立，其方差分別為6和3，則D(2XY)_27_。二、單項(xiàng)選擇：1設(shè)離散型隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布律為：()(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P若與獨(dú)立，則與的值為： （ A ） A，B，C，D，還原為（）： 1 2 312 12. 設(shè)（X，Y）是一個(gè)二元隨機(jī)變量，則X與Y獨(dú)立的充要條件是：（ D ） A、 cov（X,Y）

17、= 0 B、 C、 P = 0 D、3已知（X，Y）的聯(lián)合密度為 ，則F（0.5，2）=（ B ） A、0 B、0.25 C、0.5 D、0.1=0.254如果X與Y滿足D（XY）D（XY），則必有（ ）AX與Y獨(dú)立BX與Y不相關(guān)CD（Y）0DD（X）D（Y）0 5對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，若E（X，Y）E（X）E（Y），則（ B ）AD（XY）D（X）D（Y）BD（XY）DXDYCX和Y獨(dú)立DX與Y不獨(dú)立6設(shè)DX4，DY9，PXY0.5，則D（2X3Y）。（ C ） A97B79C61D297設(shè)已知隨機(jī)變量 與的相關(guān)系數(shù)，則與之間的關(guān)系為： （ D ） A. 獨(dú)立 B. 相關(guān) C. 線性相關(guān)

18、 D. 線性無關(guān)8 設(shè)X, Y為兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量, 已知X的均值為2, 標(biāo)準(zhǔn)差為10, Y的均值為4, 標(biāo)準(zhǔn)差為20, 則與的標(biāo)準(zhǔn)差最接近的是 D 10 15 30 229設(shè)隨機(jī)變量XN（3，1），YN（2，1），且X與Y獨(dú)立，設(shè)ZX2Y7，則Z（ A ）AN（0，5）BN（0，3）CN（0，46）DN（0，54）DZ=D（X2Y+7）=5， EZ=E（X2Y+7）=0 10設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y，分別服從正態(tài)分布N（0，1）和N（1，1），則（ B ）AP (x + y 0) = BP (x + y 1) = CP (xy 0) = DP (xy 1) = E（X+Y）= EX + EY = 1，以1為中心的正態(tài)分布大于1小于1各為1/2三、計(jì)算題：1. 設(shè)（X，Y） = 求： 確定C F（x，y） 驗(yàn)證X與Y的獨(dú)立性解： 根據(jù)二元隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)： 根據(jù)二元隨機(jī)變量分布函數(shù)： 分別求出X與Y的邊緣密度函數(shù)滿足：