選修44 坐標系與參數(shù)方程 坐標系

1、第1講坐標系【復(fù)習指導(dǎo)】復(fù)習本講時，要抓住極坐標與直角坐標互化公式這個關(guān)鍵點，這樣就可以把極坐標問題轉(zhuǎn)化為直角坐標問題解決，同時復(fù)習以基礎(chǔ)知識、基本方法為主. 基礎(chǔ)梳理1極坐標系的概念在平面上取一個定點O叫做極點；自點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系(如圖)設(shè)M是平面上的任一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點M的極角，記為.有序數(shù)對(，)稱為點M的極坐標，記作M(，)2直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為

2、極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(，)，則或3直線的極坐標方程若直線過點M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin (0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1)直線過極點：0和0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.4圓的極坐標方程若圓心為M(0，0)，半徑為r的圓方程為220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點，半徑為r：r；(2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos_；(3)當圓心位于M，半徑為a：2

3、asin_.雙基自測1點P的直角坐標為(，)，那么它的極坐標可表示為_解析直接利用極坐標與直角坐標的互化公式答案2若曲線的極坐標方程為2sin 4cos ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為_解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案x2y24x2y03(2011·西安五校一模)在極坐標系(，)(02)中，曲線2sin 與cos 1的交點的極坐標為_ 解析2sin 的直角坐標方程為x2y22y0，cos 1的直角坐標方程為x1，聯(lián)立方程，得解得即兩曲線的交點為(1,1)，又02，因此這兩條曲線的交

4、點的極坐標為.答案4在極坐標系中，直線l的方程為sin 3，則點到直線l的距離為_解析直線l的極坐標方程可化為y3，點化為直角坐標為(，1)，點到直線l的距離為2.答案25(2011·廣州調(diào)研)在極坐標系中，直線sin2被圓4截得的弦長為_解析由sin2，得(sin cos )2可化為xy20.圓4可化為x2y216，由圓中的弦長公式得：2 2 4.答案4考向一極坐標和直角坐標的互化【例1】(2011·廣州測試(二)設(shè)點A的極坐標為，直線l過點A且與極軸所成的角為，則直線l的極坐標方程為_審題視點 先求直角坐標系下的直線方程再轉(zhuǎn)化極坐標方程解析點A的極坐標為，點A的平面直角

5、坐標為(，1)，又直線l過點A且與極軸所成的角為，直線l的方程為y1(x)tan ，即xy20，直線l的極坐標方程為cos sin 20，可整理為cos1或sin1或sin1.答案cos1或cos sin 20或sin1或sin1. (1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一(2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍要注意轉(zhuǎn)化的等價性【訓(xùn)練1】 (2011·佛山檢測)在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，)若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是_解析由極坐標與直角坐標的互化公式cos

6、x，sin y可得，cos 1, sin ，解得2，2k(kZ)，故點P的極坐標為(kZ)答案(kZ)考向二圓的極坐標方程的應(yīng)用【例2】(2011·廣州測試)在極坐標系中，若過點(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線4cos 于A、B兩點，則|AB|_.審題視點 先將直線與曲線的極坐標方程化為普通方程，再利用圓的知識求|AB|.解析注意到在極坐標系中，過點(1,0)且與極軸垂直的直線的直角坐標方程是x1，曲線4cos 的直角坐標方程是x2y24x，即(x2)2y24，圓心(2,0)到直線x1的距離等于1，因此|AB|22.答案2 解決此類問題的關(guān)鍵還是將極坐標方程化為直角坐標方程【訓(xùn)練2

7、】 (2011·深圳調(diào)研)在極坐標系中，P，Q是曲線C：4sin 上任意兩點，則線段PQ長度的最大值為_解析由曲線C：4sin ，得24sin ，x2y24y0，x2(y2)24，即曲線C：4sin 在直角坐標系下表示的是以點(0,2)為圓心、以2為半徑的圓，易知該圓上的任意兩點間的距離的最大值即是圓的直徑長，因此線段PQ長度的最大值是4.答案4考向三極坐標方程的綜合應(yīng)用【例3】如圖，在圓心的極坐標為A(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡審題視點 在圓上任取一點P(0，0)，建立P點與P的中點M的關(guān)系即可解設(shè)M(，)是所求軌跡上任意一點連接OM并延長交圓A于點P(0

8、，0)，則有0，02.由圓心為(4,0)，半徑為4的圓的極坐標方程為8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求軌跡方程是4cos .它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓 求軌跡的方法與普通方程的方法相同，但本部分只要求簡單的軌跡求法【訓(xùn)練3】 從極點O作直線與另一直線cos 4相交于點M，在OM上取一點P，使|OM|·|OP|12，求點P的軌跡方程解設(shè)動點P的坐標為(，)，則M(0，)|OM|·|OP|12.012.0.又M在直線cos 4上，cos 4，3cos .這就是點P的軌跡方程高考中極坐標問題的求解策略從近兩年新課標高考試題可以看出，高考對該部分重點考查極坐標與直角坐標的互化以及圓的極坐標問題，但各省市的要求