均勻?qū)嶒炘O計2

1、均勻設計一、簡述均勻設計，又稱均勻設計試驗法，或空間填充設計，是一種試驗設計方法。它是只考 慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設計方法。它由方開泰教授和數(shù)學家王元在 1978年共同提出，是數(shù)論方法中的 "偽蒙特卡羅方法"的一個應用。所有的試驗設計方法本質(zhì)上都是在試驗的范圍內(nèi)給出挑選代表性點的方法，方開泰、王元完成的"均勻試驗設計的理論、方法及其應用 "，首次創(chuàng)立了均勻設計理論與方法，揭 示了均勻設計與古典因子設計、近代最優(yōu)設計、超飽和設計、組合設計深刻的內(nèi)在聯(lián)系， 證明了均勻設計比上述傳統(tǒng)試驗設計具有更好的穩(wěn)健性。該項工作涉及數(shù)論、函數(shù)論、試 驗設計

2、、隨機優(yōu)化、計算復雜性等領域，開創(chuàng)了一個新的研究方向，形成了中國人創(chuàng)立的 學派，并獲得國際認可，已在國內(nèi)外諸如航天、化工、制藥、材料、汽車等領域得到廣泛 應用。二、均勻設計表均勻設計表符號表示的意義如(64)表示要做次6試驗，每個因素有 6個水平，該表有4列。1234236 J2246J36244I _5 155126654每個均勻設計表都附有一個使用表，它指示我們?nèi)绾螐脑O計表中選用適當?shù)牧?，以?由這些列所組成的試驗方案的均勻度。下表U6(64)的使用表。它告訴我們，若有兩個因素，應選用1 , 3兩列來安排試驗；若有三個因素，應選用1,2,3,三列，最后1列D表示刻劃均勻度的偏差，偏差值越小

3、，表示均勻度越好。S列號D2I3U 1*7531231126564234U 2U¾K)均勻設計有其獨特的布（試驗）點方式：每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗。任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上，每行每列有且僅有一個試驗點。以上兩個性質(zhì)反應了均勻設計試驗安排的“均衡性”，即對各因素，每個因素的每個 水平一視同仁。均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價例如用U6（64）的1,3,和1,4列分別畫圖，得到下面的圖（a）和圖（b）。我們看到, （a）的點散布比較均勻，而（b）的點散布并不均勻。均勻設計表的這一性質(zhì)和正交表有 很大的不同，因此，每個均勻設計表必須有一個附加的使用表。均

4、勻設計的結果沒有整齊可比性，分析結果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回歸 分析或逐步回歸分析的方法：y-+Al¾ +2+-6-tx令Xik代表因素Xi在第K次試驗時取的值，yk表示響應值y在第k次試驗的結果。 XiK-WX= Xl f = 1,2-h-1V = -Yyi回歸方程組系數(shù)由下列正規(guī)方程組決定: +' '* + 2mr " Iy = J,-V/當各因素與響應值關系是非線性關系時2,或存在因素的交互作用時，可采用多項式回歸分析的方法。例如各因素與響應值均為二次關系時的回歸方程為：IMVJryb0 臥 + ¾rVi-Xf + 工r-/（=

5、C;）f" Jl>lIPl其中Xi Xj反映了因素間的多互效應，x2反映因素而此項，通過代換上式可化為多元線性方程求解。即令JCi = XIXJ （J = L12、桝;t/ 1）方程化為：I Ag TV = + blxi （T = C）在這種情況下，為了求得二次項和交互作用項，就不能選用試驗次數(shù)等于因素數(shù)的均勻設計表，二必須選用試驗次數(shù)大于或等于回歸方程系數(shù)總數(shù)的U表。四、應用舉例利用均勻設計表來安排試驗的步驟：（1）根據(jù)試驗的目的，選擇合適的因素和相應的水平。（2）選擇適合該試驗的均勻設計表，然后根據(jù)該表的使用表從中選出列號，將因素分別安 排到這些列號上，并將這些因素的水平按

6、所在列的指示分別對號，則試驗就安排好了。在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產(chǎn)量，選取了原料配比（A）、吡啶量（B）和反應時間（C）三個因素，它們各取了7個水平如下：原料配比（A）： 1.0,14,18,22,26,30,34吡啶量（B）（ ml）: 10,13,16,19,22,25,28反應時間（C）（ h）： 0.5，10,15,2.0,25,30,357個水平，需要安排 7次試驗，根據(jù)因素和水平，我們可以選用U7（76）完成該試驗。UTlT)t旳使用表列號2133123412365123466123斗565(76)共有6列，現(xiàn)在有3個因素，根據(jù)其使用表，應該取 1,2,3列安排試驗。 制

7、備阿魏酸的試驗方案 5(7 3)和結果配比(A)(B)收率CY)II(Xt)B(2)L5(3)0.330214(2)19(4)工UW0331電25LCX 2)0,29442.2f4)10U)2.5047652.6(5 J16(3)(K5U)0.2093,0(6)即),2-tK4)0 45173.4(7)28(7)3.5OM2根據(jù)試驗方案進行試驗，其收率(Y)列于表的最后一列，其中以第7號試驗為最好。其工藝條件為配比 3.4 ,吡啶量28ml ,反應時間3.5h。我們可以用線性回歸模型來擬合上表的試驗數(shù)據(jù)解：這時 n=7.7 組觀測值為(0.330,10,13,15,)( 0.336,1.4,1

8、9,3.0)(0.482,3.4,29,3.5),它們的均值 Lij 為：1l =4.4S由于 Lij= Lji.v2 = I9 XJ = 2 J) V = 0.3683/2 =16.8/1: =1.4L1,= 0.2404= 252,0 LJI=Io,5L =0.5640= 7.0 Lir =0.5245,故不必全部列出，將它們代入方程組中可以解得:¼- 0,037, = -0.0034IAJ = 0.077從而：a = 03683 - 0.037 x2.2 + 0.00343 x 19 - 0.077 x2,0 = 0.201勺估計（T= 0.07,于是回歸方程為：Y = 0.2

9、01+0037Xl -OJoO343X1 +）077X1進一步對它做方差分析，其方差分析表如下：方自由以平方和均方F冋歸3OtO4S77(0.0162573293 W0.0148380.00494660.0636H8當= 0.05時F表的臨界值：F阿二怙（0.05） = 9加:>F"29回歸方程不可信?，F(xiàn)在用逐步回歸分析的方法來篩選變量：逐步回歸是回歸分析中的一種篩選變量的技術。開始它將貢獻最大的一個變量選入回歸方程，并且預先確定兩個 閾值Fin和FoUt ,用于決定變量能否入選或剔除。逐步回歸在 每一步有三種可能的功能：將一個新變量引進回歸模型，這時相應的F統(tǒng)計量必須大于Fi

10、n將一個變量從回歸模型中剔除，這時相應的F統(tǒng)計量必須小于 FoUt將回歸模型內(nèi)的一個變量和回歸模型外的一個變量交換位置。設先用后退法來選變量。所謂后退法，就是開始將所以的變量全部采用，然后逐步剔除對方程沒有顯著貢獻的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻為止。仍考慮線性模型，開始三個因素全部進入方程，得（2.12 ）。統(tǒng)計包通常還會提供每個變量的t值，t值越大（按絕對值計）表示該因素越重要。本例有：t0=0204,t1=096,t2=-0.67,t3=277這表明三個因素中以X3（反應時間）對得率（Y）影響最大，配比次之，吡啶量最小。這些t值都是隨機變量，它們遵從tn-m-1分布。若取。=0.

11、05，這時n=7,m=3, tn-m-1 =的臨界值t3 (0.05 ) =3.18。t值大于該值 的因素表示對方程有顯著貢獻，否則表示不顯著。今均小于(0.05)=3.18 ，說明回歸方程(2.18)的三個變量至少有一個不起顯著作用。于是我們將貢獻最小的X2刪去，重新建立 Y和Xi及X3的線性回歸方程得：Y=0.169+0.0251X i + 0.0742X 3= 0.06526 2 ,三個t值分別為t o=2.12，11=0.79,t 3=2.91,這時這三個t值遵從含四 個自山度的t分布，臨界值為t4(0.05)=2.78 ,從而X應從方程中剔除，然后對Y和X3建立回歸方程：r = 0.

12、2141+ O,O79X這里t3=3.34 > t5(0.05)=2.57, =0.063。因此，上述回歸方程并非典正的最終模剛，而是在線性框架下的最終產(chǎn)物。上述的分析只發(fā)現(xiàn) X3對Y有顯著作用，其它兩個因素均沒有顯著作用，該結論與實際 經(jīng)驗不溫和，因此猜想用線性模型不一定符合實際。于是進一步考慮二次回歸模型r = +X.+ 仇 X： + 峽 XJ上丨i = 這時方程中有9項。利用逐步回歸技術求得回歸方程如下：Y = 0.06232 + 0.251X3 - (106 X； +0.0235 XrlXl其響應的 = 0.0217,ei =97.77顯然上述回歸方程效果更優(yōu)。該方程表明因素X3

13、和交互作用 X1 × X2對Y有顯著的影響。上述方程要求我們在配比1.0-3.4 ,吡啶量10-28 ,反應時間0.5-3.5 時，求方程中 Y的極大值。此處我們可以用簡單的微積分求得極值。由于X在試驗范圍內(nèi)極大值 3.4 ,將X=3.4代入得：Y = 0.06232 + 03309XA - 0.06Xj爐卩 /EX, = O解得：(K 3309- 0,12X3 = OtXi = 2,7575這時Y的極大值為51.85%o這時收率大于前面所講的用U表安排的7號試驗的結果48.2%,達到了優(yōu)化的目的。例：均勻設計法在全光亮鍍鎳研究中的應用1、均勻設計表的選取本實驗的目的是提高鍍層光亮性

14、。經(jīng)初步研究，取其固定組成為硫酸鎳25gL ,次磷酸鈉25g/L ,醋酸鈉25g/L?？疾煲蛩貫榉€(wěn)定劑，主光亮劑，輔助光亮劑，潤濕劑4個因素，每個因素取值范圍為t個水平(t為實驗次數(shù))，4個因素的一次項及二次項各有4項，4項因素間的兩兩交互作用設有6項，共14項，實驗數(shù)不能小于14,本實驗選用U17(178)表。均勻Uj7 C17)»試驗-J123456G1I46910IIH152£B'13511133IJ1211013160114416"F2P6105g5&3】311IG42r6 6? 23915165FVITI11812291338315144

15、】2>109Jl93511l161010e9515S斗11nIL10511Q2I121212Ui611316IQ131311015H*12eHM56P59615159516H126416Tm1311863rZ17111?17r171?JTIrUp <農(nóng)的使用表LlM 數(shù)列號 J11631S8I I百IF85145761 _35 t8712315本實驗為4因素，這4個因素安排在均勻表的1, 5, 7,8列，去掉Ui7(178)的最后行，將實驗方案及結果見下表。i號第:煜劑第5列1.Jt-OjH標水平號水平號 mgT水平號CL水平號C meWZL 110.2105117.5153707

16、9.1529'Q I32.011&.Q1331087.5033LGB7.084. S1127-086.954A0,861553.0922.990.9555LO16乩52L5717,091.5866L 2954168.512.087.10Ji1.421.5137.037.087.55S8I丄& I12& 510J 6J12.090, SS99Le53,0i4,01639*580.9210102.0158,042.5】31578. 101119 9i t 4H8怖11.01229.569.9512 122.41158.01021566. 10I 13132氐0126.5819.548.131112.812.5g5.011560.5015153,07.563.549.535.70L 163.2iID32.02JU4.530. IS2、指標的選擇和優(yōu)化指標是回歸方程中的響應函數(shù)，在本實驗中即是鍍件質(zhì)量。根據(jù)我們對鍍件的要求，定義一個綜合指標 Z Z的分值由外觀評分 R沉積速度評分 V,耐腐蝕性評分 Q乘以不同 的權重構成，z=0.5R+02V+03Q。 R V，Q的分值分別為 0-100。3、實驗方法試樣為0cm × 5cm×