第 60 講 導(dǎo)數(shù)(第1課時(shí)基礎(chǔ))

1、第 60 講 導(dǎo)數(shù)-基礎(chǔ) （第1課時(shí)）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確記憶！重點(diǎn)難點(diǎn)好好把握！重點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)概念與意義；2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)?？季V要求注意緊扣！1了解導(dǎo)數(shù)概念，掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念；2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式，掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。3了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))。會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值。命題預(yù)測(cè)僅供參考！1導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)運(yùn)算是考察的重點(diǎn)。2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)以及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系也在考察之列?？键c(diǎn)熱點(diǎn)一定掌握！1導(dǎo)

2、數(shù)的概念如果函數(shù)在x處的增量與自變量的增量的比值，當(dāng)時(shí)，=存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記為或。若=存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x處左可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為在點(diǎn)x處的左導(dǎo)數(shù)，記為。若=存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x處右可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為在點(diǎn)x處的右導(dǎo)數(shù)，記為。存在的充要條件是：=。如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說(shuō)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)對(duì)于開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一個(gè)確定的值x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這樣就在開(kāi)區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做的導(dǎo)函數(shù)，記作或 。例已知函數(shù) ，試確定、的值，使在處連續(xù)并可導(dǎo)。解：要使在處連續(xù)，則要在處有定義，這是顯然的；在處的左極限等于右極限，現(xiàn)在， ；在處

3、的極限等于其函數(shù)值，即要，而當(dāng)時(shí)，?？梢?jiàn)只要，在處就連續(xù)；又 = ，要 在處可導(dǎo)，則要 = ，即要 ， ，此時(shí)應(yīng)有 。綜上所述，當(dāng) 時(shí)，在處連續(xù)并可導(dǎo)。2導(dǎo)數(shù)的幾何與物理意義 幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線的斜率。過(guò)這點(diǎn)的切線方程可寫(xiě)為 。 物理意義：如果物體的運(yùn)動(dòng)方程為 ，則在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。例已知拋物線 與直線 ，求 兩曲線的交點(diǎn)； 拋物線在交點(diǎn)處的切線方程。解： 由 求得交點(diǎn)為 ，； ， 拋物線在、處的切線方程分別為 與 ，即 與 。3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 常用的導(dǎo)數(shù)公式（C為常數(shù)）兩個(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)若、可導(dǎo)，則 和差的導(dǎo)數(shù)：

4、；和差的導(dǎo)數(shù)可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情況，即 積的導(dǎo)數(shù)： ，特別地：（C為常數(shù)）； 商的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的順序：先外后內(nèi)。例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ； ； ；解： 解法一：=解法二：點(diǎn)評(píng)：在可能的情況下，求導(dǎo)時(shí)應(yīng)盡量少用甚至不用乘積的求導(dǎo)法則，例如解法二。x點(diǎn)評(píng)：有的函數(shù)雖然表面為商的形式，但在求導(dǎo)前先對(duì)其進(jìn)行恒等變形，然后進(jìn)行求導(dǎo)，可以避免使用商的求導(dǎo)法則，從而減少運(yùn)算量。 分析：這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，即 ，。 分析：這也是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，即 ，。4有定義、極限、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系在處有定義是在處連續(xù)的必要而不充分條件。在處連續(xù)是在處有極限

5、的充分而不必要條件。在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的必要而不充分條件。例已知 =+ ，就下列情形，判斷在處是否可導(dǎo)。在處可導(dǎo)，在處不可導(dǎo)；與在處均不可導(dǎo)。分析：由于的構(gòu)成中有不可導(dǎo)函數(shù)，所以不能使用運(yùn)算法則，遇到這種情況，可以使用反證法或是列舉反例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。解： 由 =+ 可得 =-，假設(shè)在處可導(dǎo)，那么因?yàn)橐阎谔幙蓪?dǎo)，可推出在處可導(dǎo)，而這與已知的在處不可導(dǎo)矛盾，所以在處不可導(dǎo)。在處不一定可導(dǎo)，例如 ，他們?cè)?處均不可導(dǎo)，但 =+ 在 處可導(dǎo)；再如 ，他們?cè)?處均不可導(dǎo)，但 =+ 在 處不可導(dǎo)。能力測(cè)試認(rèn)真完成！參考答案仔細(xì)核對(duì)！12345678導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的物理意義常用的導(dǎo)數(shù)公式（C為常數(shù)）；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1函數(shù) 在點(diǎn) 處是否有導(dǎo)數(shù)，若有，求出來(lái)，若沒(méi)有，說(shuō)明理由。解：可以改寫(xiě)為 ， ，= ，= ， 當(dāng) 趨近于0時(shí)， 無(wú)極限，函數(shù) 在點(diǎn) 處沒(méi)有導(dǎo)數(shù)。2求的導(dǎo)數(shù)。解：， ，3求的導(dǎo)數(shù)。解：先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)： 。點(diǎn)評(píng)：在求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)。4求y=tanx的導(dǎo)數(shù)。 解：y=tanx=， y=y=secx。5求 的導(dǎo)數(shù)。解：6求 的導(dǎo)數(shù)。解： 。7求曲線y在點(diǎn)（，）處的切線方程。解： y，即曲線在點(diǎn)（