臨界轉速的計算

1、臨 界 轉 速 分 析 的 目 的 臨界轉速分析的主要目的在于確定轉子支撐系統(tǒng)的臨界轉速， 并按照經(jīng) 驗或有關的技術規(guī)定，將這些臨界轉速調(diào)整，使其適當?shù)倪h離機械的工 作轉速，以得到可靠的設計。 例如設計地面旋轉機械時，如果工作轉速低于其一階臨界轉速 Nc1Nc1，應 使 Nv,Nv, 如果工作轉速高于一階臨界轉速，應使 vNv+1,vNv+1,而對于航空渦輪發(fā)動機， 習慣做法是使其最大工作轉速偏離轉子一階臨界轉速的 1020%1020% 選擇臨界轉速計算方法 要較為準確的確定出轉子支撐系統(tǒng)的臨界轉速，必須注意以下兩點 1.1. 所選擇的計算方法的數(shù)學模型和邊界條件要盡可能的符合系統(tǒng)的實際 情況

2、。 2.2. 原始數(shù)據(jù)的（系統(tǒng)支撐的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)）準確度，也是影響計 算結果準確度的重要因素。 3.3. 適當?shù)目紤]計算速度，隨著轉子支撐系統(tǒng)的日益復雜，臨界轉速的計 算工作量越來越大，因此選擇計算方法的效率也是需要考慮的重要因 素。 三、常用的計算方法 名稱 原理 優(yōu)點 缺點 矩陣迭代法 （StodolaStodola 斯托多拉） 1.1. 假定一階振型撓曲彈性線并選擇試算速度 2.2. 計算轉子渦動慣性載荷，并用此載荷計算撓性曲線 3.3. 以計算得到的撓性曲線和適當調(diào)整的轉速重新循環(huán)計算 4.4. 當計算曲線和初始曲線吻合的時的轉速即為一臨轉速 5.5. 高階臨界轉速方法同，但需利

3、用正交條件消除低階彈性線成分， 否則計算 錯誤 收斂較快，一階 臨界轉速結果 較為準確 高階臨界轉速 精度差，計算復 雜 逐段推算法 （傳遞矩陣法） （ProhlProhl- -Myklestad Myklestad ） 1.1. 劃分轉軸為若干等截面段，選擇試算轉速 2.2. 從轉軸的一端算起，計算另一端的四個狀態(tài)參數(shù)（撓度、轉角、彎矩、剪 力） 3.3. 根據(jù)與其相鄰軸段在該截面處的約束條件，得到下個軸段的狀態(tài)參數(shù) 4.4. 換個轉速重復計算，直到計算得到的狀態(tài)參數(shù)滿足邊界條件， 此時的轉速 即為臨界轉速 將四個狀態(tài)參 數(shù)寫成矩陣的 形式，計算方 便，在各類旋轉 機械制造業(yè)中 是最為通用、

4、發(fā) 展最為完善的 方法 根據(jù)經(jīng)驗或有 關的計術資料 選擇計算轉速， 比較盲目 能量法 (RayleighRayleigh- -Ritz Ritz ) 1.1. 以能量守恒原理為理論基礎，根據(jù)軸系中的最大應變能等于最大的動能， 建立微分方程，據(jù)動能是轉速的函數(shù)計算轉速 原理簡單，易于 理解 如果假設的振 型不準確會帶 來誤差 特征方程法 將通用的指數(shù)解帶入微分方程，得到以臨界轉速為解的多項式 方程難以求解， 應用不多 數(shù)值積分法 （前進法） 以數(shù)值積分的方法求解支撐系統(tǒng)的運動微分方程，從初始條件開始，以步長很 小的時間增量時域積分，逐步推算出軸系的運動 唯一能模擬非 線性系統(tǒng)的計 算方法，在校核

5、 其他方法及研 究非線性對臨 界轉速的影響 方面很有價值 計算量較大，必 須有足夠的積 分步數(shù) 注：斯托多拉法 莫克來斯塔德法 傳遞矩陣法 基本原理：傳遞矩陣法的基本原理是，去不同的轉速值，從轉子支撐系統(tǒng)的 一端開始，循環(huán)進行各軸段截面狀態(tài)參數(shù)的逐段推算，直到滿足另一端的邊 界條件。 優(yōu)點：對于多支撐多元盤的轉子系統(tǒng)，通過其特征值問題或通過建立運動微 分方程的方法求解系統(tǒng)的臨界轉速和不平衡響應， 矩陣的維數(shù)隨著系統(tǒng)的自 由度的增加而增加，計算量往往較大：采用傳遞矩陣法的優(yōu)點是矩陣的維數(shù) 不隨系統(tǒng)的自由度的增加而增大，且各階臨界轉速計算方法相同，便于程序 實現(xiàn)，所需存儲單元少，這就使得傳遞矩陣法

6、成為解決轉子動力學問題的一 個快速而有效的方法。 缺點：求解高速大型轉子的動力學問題時，有可能出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。今 年來提出的 RiccatiRiccati 傳遞矩陣法，保留傳遞矩陣的所有優(yōu)點，而且在數(shù)值上 比較穩(wěn)定，計算精度高，是一種比較理想的方法，但目前還沒有普遍推廣。 軸段劃分：首先根據(jù)支撐系統(tǒng)中剛性支撐（軸承）的個數(shù)劃分跨度。在整個 軸段內(nèi)，凡是軸承、集中質(zhì)量、輪盤、聯(lián)軸器等所在位置，以及截面尺寸、 材料有變化的地方都要劃分為軸段截面。若存在變截面軸，應簡化為等截面 軸段，這是因為除了個別具有特殊規(guī)律的變截面軸段外，其他的變截面軸段 的傳遞矩陣特別復雜。 傳遞矩陣: 4.4. 軸段傳

7、遞矩陣 每段起始狀態(tài)參數(shù)和終端狀態(tài)參數(shù)的轉換方程， 根據(jù)是否考慮轉軸的分 布質(zhì)量，可以建立兩種軸段傳遞矩陣 當考慮軸段的分布質(zhì)量時：起始和終端的轉換方程是均質(zhì)等截面桿的 振動彈性方程: 不考慮轉軸的分布質(zhì)量時建立的傳遞矩陣 X 1 L 12 12L - 11 0 1 22 22L - 21 M 0 0 1 L Q ki 0 0 0 1 L3 11 3EJ I 2 12 21 ,a11,a11 和 a12a12 是終端的剪力和彎矩在終端引起的撓度, 2EJ L 22 EJ a21a21 和 a22a22 是終端的剪力和彎矩在終端引起的轉角M Q 0i 其中，a11,a12,a21,a22a11,

8、a12,a21,a22 為該軸段的影響系數(shù)，根據(jù)材料力學: 4.4.各軸段間的傳遞矩陣 從前一軸段的終端到下一軸段的始端，如果中間沒有獨立的結構單元， 則狀態(tài)參數(shù)不發(fā)生變化，傳遞矩陣是單位矩陣；兩者之間有獨立的結構 單元時，用前一軸段的終端矩陣乘以此單元的矩陣，即的下一單元的始 端矩陣。獨立的結構單元大概可以分為以下四種： a.a.通過點質(zhì)量時為: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0其中 0，其， mimi 為點質(zhì)量， p p 為系統(tǒng)的固有頻率 2 mi p 0 0 1 b.b.通過轉動盤時為 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 w 1 p 2 IdP2 1 其中 0， mimi

9、盤的質(zhì)量，IpIp 盤的 p Id 2 mi P 0 0 1 極轉動慣量，IdId 盤的直徑轉動慣量，w w 盤的轉動角速度 c c. .通過彈性鉸鏈時為 1 0 0 0 0 1 1 0 Ch ，其中，chch 為鉸鏈的力矩剛性系數(shù) 0 0 1 0 0 0 0 1 d.d.通過具有彈性約束的彈性支座時為 c0 0 0 1 性約束則 ch=0.ch=0.0，其中， coco 彈性支座的剛性系數(shù)，如果沒有彈 4.4.各跨度間的傳遞矩陣 a.a.通過剛性支座的傳遞 剛性支座是一個跨度的結束，在支座處的橫向位移為 0 0,所以: X 0( i 1) X ki 0 0(i 1) ki其中，RiRi 為支

10、座的反作用力，在以后整個跨度 M 0(k 1) M ki Q0(i 1) Qki Ri 的計算中，此反作用力代替前一跨度中被消除的參數(shù)(撓度): 而未知參數(shù)的個數(shù)不變。 b.b.通過球頭聯(lián)軸器的傳遞 球頭聯(lián)軸器也是一個跨度的結束，在此處的彎矩為 0.0.所以: 跨度的計算中，用B代替上個跨度中消除的參數(shù)，從而使未知 變量的個數(shù)不變。 4.4.初始條件：第一跨度 0 0 截面的初始條件根據(jù)約束條件和軸的載荷分析來確 定，在所有四個狀態(tài)參數(shù)中，或有兩個為零， 兩個是未知的，或只有兩個 是獨立的，其他的參數(shù)可以用這兩個獨立參數(shù)表示。 這就意味著在計算過 程中所有各段的起始端和末端的狀態(tài)參數(shù)都是兩個未

11、知數(shù)的線性函數(shù)。 最 主要的是末端的狀態(tài)參數(shù)也總是或兩個為 0 0,或可以用兩個參數(shù)來表示， 因此末端的四個參數(shù)方程可以簡化為兩個具有兩個未知數(shù)的齊次方程。 5.5. 臨界轉速的確定：轉子臨界轉速的確定可以用“瞎子爬山” 、對分法等 來確定。選取某個 P P 值，寫出所有軸段的傳遞矩陣，然后根據(jù)初始端的邊界 X 0(i i) X ki 0(i 1) ki M 0(k 1) M ki Q0(i 1) Qki 0其中，球頭聯(lián)軸器未知的相對轉角，在以后此 條件選取合適的初始參數(shù)矩陣。從轉子的起始端逐段推算其狀態(tài)參數(shù)，在每 個跨度的終端，按照條件進行參數(shù)的消除和變換，最終遞推到末端時，可以 得到兩個含

12、有兩個未知數(shù)的齊次方程。假設齊次方程的系數(shù)行列式為 0 0，著 計算轉速就是臨界轉速；若行列式不為零，則重新選取臨界轉速計算。將各 階臨界轉速帶入重新計算可得各段始、末端的參數(shù)，從而作出振型圖。計算 過程中，可以將第一跨度的初始截面的某個狀態(tài)參數(shù)設為 1 1，以后各截面的 參數(shù)值是相對于 1 1 的比例值。 臨界轉速計算：單圓盤轉子的臨界轉速和不平衡響應 早期的旋轉機械比較簡單，可以把轉子看做是圓盤裝在無重的彈性轉軸上 ，而轉車由 的兩端則由完全剛性即不變形的軸承及軸承座支撐， 這種模型成 為剛性支撐。 1.11.1 渦動的定義 通常轉軸的兩支點在同一水平線上， 轉軸未變形時，轉子的軸線 處于

13、水平位置，（實際上由于盤的重力作用，即使在靜止時，轉 軸也會變形，而不是處于水平位置），由于轉子的靜變形交小， 對轉子的運動的影響可以忽略不計。 有時為了避開靜變形，可以 考慮讓轉軸的兩支點在同一垂直線上。 假設轉子以角速度Q做等速轉動，當處于正常運轉時，軸線 是直的，如果在他的一側添加一橫向沖擊，則因轉軸有彈性而發(fā) 生彎曲振動，渦動就是研究這種性質(zhì)的運動。 假設圓盤的質(zhì)量為 m m 他所受到的力是轉軸的彈性恢復力 F= F= - -krkr，其中 k k 為轉軸的 剛度系數(shù)，R=ooR=oo，圓盤的運動微分方程： 由式可知，圓盤或轉軸的中心 o o在相互垂直的兩個方向作 頻率同為 WnWn的

14、簡諧振動。在一般情況下，振幅 X X 和丫是不相同 的，式確定點軌跡為一橢圓，o o的這種運動成為“渦動”，自然 頻率 WrWr 稱為進動角速度。 其中 B1B1 和 B2B2 都是復數(shù)，由起始的橫向沖擊決定。第一項是半徑 為 B1B1 的反時針運動，運動方向和轉動角速度相同，成為正進動。第 二項是半徑為 B2B2 的順時針運動，運動方向和轉軸的轉動方向相反， 成為反進動。圓盤中心 o o的渦動就是這兩種進動的合成。由于起始 條件的不同，轉子中心的渦動可能出現(xiàn)以下情況： . B1!=0B1!=0，B2=0B2=0 渦動為正進動，軌跡為圓，半徑為 B1B1; . B B 仁 0 0 B2!=0B

15、2!=0 渦動為正進動，軌跡為圓，半徑為 B2B2; . B B 仁 B2B2 軌跡為直線； . B1!= B2B1!= B2 軌跡為橢圓，B1B2B1B2 時為正渦動；B1B2B1B2 時為反渦動。 由以上討論可知，圓盤或轉軸的中心的進動或渦動屬于自然振動， 他的頻率就是圓盤沒有轉動時，轉軸彎曲振動的自然頻率。 圓盤的偏心質(zhì)量引起的振動、臨界轉速 假設轉盤的質(zhì)量為 m 偏心距為&，角速度為 W,設離心力的初始相位a為 0, 則在某一時刻 t ,離心力矢量和 x 軸的夾角為 wt,此時離心力在 X 和丫向的投影 為： Fx 和 Fy 分別是各自方向上的周期性變化的力，頻率和轉盤的頻率相

16、同，在這種 交變力的作用下，轉子在 X 和丫方向也將做周期性運動， 假設兩個方向上阻尼 和剛度相同，則轉子的運動微分方程： 其解為： x(t) Z cos(wt ) y(t) Zsi n(wt ) F _ J 宀 1- 2 w/wn 2寇勝利 Wn 2 w/wn arcta n 2 1 w/wn ：人（143戎馬，可鍛得權緡 圓査或義軸中心對千不的響応為 UJS) 鐘一諤 結論: 1.1. 只考慮強迫振動時，軸心的響應頻率和偏心質(zhì)量的激振頻率相同， 在轉速小于臨界轉速時且不考慮阻尼時，相位也相同，軸心和質(zhì) 心在一條直線上；當轉速大于臨界轉速時且不考慮阻尼時，相位 相差 180180。 2.2.

17、 當考慮轉子的渦動時，運動比較復雜； 3.3. 不平衡矢量所在的位置成為重點，振動矢量所在的位置成為高點， 高點比重點滯后的角度成為滯后角，當令阻尼比為 0 0 時，為 0 0, 說明滯后角是由阻尼引起的； 4.4. 轉子存在偏心，運行的過程中又出現(xiàn)動撓度，當轉速小于臨界轉 速時，撓度和 F F 即偏心方向相同，使終偏心增大；當轉速等于臨 界轉速時，出現(xiàn)共振；當轉速大于臨界轉速時，撓度方向和偏心 方向相反，使終偏心減小，轉子振動趨于平穩(wěn)，這種現(xiàn)象成為自 動對心； 等截面轉子的振動 并不是所有的轉子系統(tǒng)都可以簡化為具有剛性支撐的單輪盤轉 子系統(tǒng)模型，對于均質(zhì)、等截面轉子，如果按照集中質(zhì)量處理，將

18、不 能反映真實振動特性。 均質(zhì)、等截面轉子系統(tǒng)的運動規(guī)律可以用一個 偏微分方程表示， 該偏微分方程含有時間和軸向位置兩個自變量， 因 此可以確定任意軸線位置在任意時刻的位置， 利用均質(zhì)、等截面轉子 模型研究得出的結論對一般轉子也是適用的。 運動方程： 如圖上圖所示的兩端簡支的等截面轉子， 設其密度為 P P,截面面積為 A,A,彎曲剛度為 EIEI，分布干擾力在 x xozoz 和 yozyoz 平面分 別為 Fx(z,t) Fy(z,t)Fx(z,t) Fy(z,t)，則轉子的振動可以用以下一組微分方程組成: 曰亠 fx z,t z 曰 3 fy Z,t z 擾力為 0 0,即可 得到轉子的

19、自由振動微分方程: 其解為: 有以下特點: 振型函數(shù)sin口反映了轉子軸線上各點位移的相對比例關 l 無論振幅 DnDn 如何變化，這種比例關系不會變化； 振型是由轉子- -支撐系統(tǒng)自身的特點決定的，所以又稱為固 有振型，不同類型的轉子系統(tǒng)的振型函數(shù)不同，上述的是均質(zhì) 等截面轉子的振型函數(shù)。 有關振型的基本概念： a)a) 節(jié)點：軸線上某一點的振型函數(shù)值稱為該點的振型值，振 型值為 0 0 的點成為節(jié)點，階數(shù)越高節(jié)點越多，N N 階振型的 節(jié)點數(shù)為 N N- -1 1; b)b) 對稱性：對于兩端簡支的等截面轉子，奇數(shù)階振型是對稱 的，而偶數(shù)階振型是反對稱的。因此。在兩支座間，奇數(shù) 階振型相位

20、相同而偶數(shù)階振型相位相反； c)c) 正交性：轉子的不同階振型間具有正交性，即第 m m 階振型 和第 n n 階振型的乘積在軸長上的積分為 0 0 d)d) 理論上，轉子的 1 1、 2 2、3 3 階固有頻率的比值是 1 1：4 4：9 9， 實際 1 1、2 2A 2xz,t AS A t2 令分布干 由上式可知轉子的自由振動是一系列簡諧振動的合成, 這些簡諧振動 . 固有頻率和振型函數(shù)是一一對應的; . 系, . 階固有頻率間的比值為 1 1：3 3 左右； e)e) 理論上，轉子 - - 支撐系統(tǒng)經(jīng)過臨界點時，相位變化 180180， 實際上由于阻尼的存在， 在臨界轉速處相位一般變化

21、 9090， 即振動矢量和不平衡矢量間的滯后角為 9090。 f)f) 如下圖所示，由于阻尼的存在，轉子中心對不平衡質(zhì)量的 響應在 w=Ww=W 處不僅不是無限大值，而且不是最大值，最大 值發(fā)生在 w w略微大于 WrWr 時。對于實際的轉子系統(tǒng)，有時通 過在升速或降速的過程中測量響應的辦法來確定轉子的臨 界轉速，常常把這個過程中的最大值即峰值的轉速作為臨 界轉速。有圖可知，通過測量所獲得的臨界轉速在升速上 略大于實際的臨界轉速，而在降速時這略小于實際的臨界 轉速。 1.3 陀螺力矩 基本概念： 1.1. 對質(zhì)點的動量距：質(zhì)點 Q Q 的動量對于點 0 0 的距定義為質(zhì) 點對于點 0 0的動量

22、距，其值為點 0 0 到質(zhì)點 Q Q 的矢量差乘 以動量：Mo(mv)=RxmvMo(mv)=Rxmv方向按照右手定則判定。 2.2. 對軸的動量距：質(zhì)點 Q Q 的動量在 xoyxoy 面內(nèi)的投影 mv(xy) mv(xy) 對與 0 0 點的距定義為質(zhì)點 Q Q 對 Z Z 軸的動量距； 3.3. 剛體對軸的轉動慣量：剛體的轉動慣量是剛體轉動時慣 性的度量，它等于剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到軸的 垂直距離平方的乘機的和 4.4. 賴柴定理：質(zhì)點系對固定點的動量距矢量斷點的速度等 于外力系對同一點的主距。 當圓盤不在兩支撐的中點而偏于一邊時， 轉軸變形后， 圓盤的軸 線和兩指點的連線 ABA

23、B 有一夾角。設圓盤的自轉角速度為w,極轉 動慣量為 JpJp,貝卩圓盤對質(zhì)心的動量距為：H=JpwH=Jpw 根據(jù)右手定則，它 與 ABAB 連線的夾角也為。設轉軸渦動的頻率為 WnWn 則圓盤中心 o o 與軸線 ABAB 所構成的平面繞 ABAB 軸有進動角速度。由于進動，圓盤的動 量距 H H 將不斷變化，因此動量距矢量的終點將具有速度 U,U,根據(jù)賴柴 定理(質(zhì)點系對固定點的動量距矢量斷點的速度等于外力系對同一點 的主距)， 而圓盤重力距等于 0 0，顯然和動量距矢量終點的速度相等 的外力距只可能是軸承的動反力 F1F1、F2F2 產(chǎn)生的力矩； 力矩- -M M (根據(jù)作用和反作用)

24、稱為陀螺力矩，它是圓盤施加與轉 軸的力矩，相當于彈性力矩。在正進動(OvOv n /2 /2 )時，它是轉軸 的變形減小，從而提高了轉軸的彈性剛度， 即提高了轉子的臨界轉速； 在反進動(n /2 /2 n)時，它是轉軸的變形增大，從而降低了轉軸 的彈性剛度，即降低了轉子的臨界轉速。 當機械中的高速轉動部件的對稱軸被迫在空間中改變方位時， 即 對稱軸被迫進動時， 轉動部件必須對約束作用一個附加力偶， 這種現(xiàn) 象稱為陀螺效應。當陀螺效應嚴重時，可能使機械產(chǎn)生故障，尤其是 軸承。 彈性支撐對轉子臨界轉速的影響 Jeffcott 轉子：這種轉子模型是對真實轉子的簡化，剛性支承的單盤轉子，單 盤位于支承

25、的中間，分析臨界轉速和陀螺力矩等，是轉子動力學的基礎。 假設盤在平面內(nèi)運動，不考慮輪盤的偏轉，軸是無重軸。 臨界轉速計算： 1.1.基本參數(shù)：截面慣性矩： J J二，彈性模量 E=2E11,E=2E11,右端質(zhì)量 m3=0.096g=0.1kg m3=0.096g=0.1kg ， 兩 個 盤 的 質(zhì) 量 m1=m2=0.8kgm1=m2=0.8kg， I p m1 r1 r2 2 / 2= =， Id=Ip/2= Id=Ip/2= 。 2. 2. 各軸段的傳遞矩陣： 第 一段 ： l=0.045m l=0.045m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=，

26、 a22= a22= ， 1 0.045 5.16x10 6 7.73x10 8 0 1 2.29x10 4 5.16x10 6 0 0 1 0.045 0 0 0 1 第二段 ： l=0.11m l=0.11m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=， a22= a22= ， 1 0.11 5 3.08x10 5 1.128x10 6 0 1 5.6x10 4 5 3.08x10 5 0 0 1 0.11 0 0 0 1 第三段 ： l=0.15m l=0.15m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=， a22=

27、a22= ， 1 0.15 5.73x10 5 2.865x10 6 0 1 7.64 x10 4 5 5.73x10 5 0 0 1 0.15 0 0 0 1 第 四段 ： l=0.11m l=0.11m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=， a22= a22= ， 1 0.11 3.08x10 5 1.128x10 6 0 1 5.6x10 4 5 3.08x10 5 0 0 1 0.11 0 0 0 1 第 五 段： l= l= ， J=J= ， a11= a11= ， a12=a21= a12=a21= ， 1 0.01 2.55x10 7 8.5x10 10 01 5.09 x10 5 2.54x10 7 a22=a22= 00 1 0.01 00 0 1 X 01 初始參數(shù)列陣為： 01 ，令 X01=