數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專題

1、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專題上海市久隆模范中學(xué) 石英麗經(jīng)典例題【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).解：(1) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以.又，所以數(shù)列是以15為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(2) 由(1)知：，得 從而；由得， ，最小正整數(shù).【例2】 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（2）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列解：（1）由已知得， 故 （2）由（）得 假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)（互不相等）成等比數(shù)列，則即 ，與矛盾所以數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列【例3】已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,設(shè)數(shù)列的前

2、n項(xiàng)和為成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）記，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得.因?yàn)椋?所以.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?當(dāng)，即.所以，當(dāng). 【例4】 已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中=1，2，3，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求及數(shù)列的通項(xiàng)；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明=1.解：（1）由已知，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.（2）由（）知（*）=由（*）式得（3） .又 .又.【例5】 已知數(shù)列滿足，且對任意都有.（1）求；（2）設(shè)，證明：是等差數(shù)列；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：(1)由題意， 再令. (2)當(dāng)時(shí)，由已知(以)可得.

3、于是，即.所以是以6為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列.(3)由(1)(2)解答可知.另由已知(令)可得.那么，于是.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.兩邊同乘以，可得 .上述兩式相減得 .所以.綜上所述，數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法專題檢測題一、填空題（每小題4分，滿分40分）1.列是首項(xiàng)為1，公比為的無窮等比數(shù)列，且各項(xiàng)的和為，則的值是 .2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為_ .3.函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若,則 .4.知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于 .5.知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，則 .6.知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， .7.差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已

4、知，,則 .8.全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n 3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 .9.是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= . 10.知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為_. 二、解答題（本大題共有5題，解答下列各題必須在規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟）11.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，記,證明.12.等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列

5、的前n項(xiàng)和.13.設(shè)為非零實(shí)數(shù)，.（1）寫出并判斷是否為等比數(shù)列。若是，給出證明；若不是，說明理由；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.14.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且方程有一根為（1）求； （2）的通項(xiàng)公式15.已知有窮數(shù)列：，().若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列，定義如下操作過程：從中任取兩項(xiàng)，將的值添在的最后，然后刪除,這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列(約定:一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列). 若還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程，得到的新數(shù)列記作，,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.（1）設(shè)請寫出的所有可能的結(jié)果；（2）求證：對于一個(gè)項(xiàng)的數(shù)列操作T總可以進(jìn)行次；（3）設(shè)求的可能結(jié)果，并說明理由.數(shù)列與數(shù)

6、學(xué)歸納法專題檢測題答案一、填空題1. 2 ； 2.； 3.6； 4. 85； 5. ；6. ；7.10 ；8.；9.9 （提示 81，54，36，24）；10.4 5 32；二、解答題11.設(shè)數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，記,證明解：（1）由題設(shè) 即是公差為1的等差數(shù)列。 又，故 所以（2）由（I）得，12.等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（1）當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不合題意.因此所以

7、公式， 故（2）因?yàn)?所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上所述，13.設(shè)為非零實(shí)數(shù)， （1）寫出并判斷是否為等比數(shù)列。若是，給出證明；若不是，說明理由；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（1），因?yàn)闉槌?shù)，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2） (1)錯(cuò)位相減法得.14.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且方程有一根為（1）求； （2）的通項(xiàng)公式解：(1)當(dāng)時(shí)，有一根為，于是，解得.當(dāng)時(shí)，有一根為于是，解得(2)由題設(shè)，.當(dāng)時(shí)，代入上式得 由(1)知由可得由此猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(i)時(shí)已知結(jié)論成立(ii)假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即. 當(dāng)時(shí)，由得 故時(shí)結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知對所有正整數(shù)都成

8、立于是當(dāng)時(shí)，. 又n1時(shí)，所以的通項(xiàng)公式 15.已知有窮數(shù)列：，().若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列，定義如下操作過程：從中任取兩項(xiàng)，將的值添在的最后，然后刪除,這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列(約定:一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列). 若還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程，得到的新數(shù)列記作，,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.（1）設(shè)請寫出的所有可能的結(jié)果；（2）求證：對于一個(gè)項(xiàng)的數(shù)列操作T總可以進(jìn)行次；（3）設(shè)求的可能結(jié)果，并說明理由.解：（1）有如下的三種可能結(jié)果：（2），有且所以，即每次操作后新數(shù)列仍是數(shù)列.又由于每次操作中都是增加一項(xiàng)，刪除兩項(xiàng)，所以對數(shù)列每操作一次，項(xiàng)數(shù)就減少一項(xiàng)，所以對項(xiàng)的數(shù)列可進(jìn)行次操作（最后只剩下一項(xiàng)）（3）由（2）可知中僅有一項(xiàng).對于滿足的