2020屆遼寧省遼南協(xié)作校高三下學期第一次模擬考試數(shù)學(理)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2020 頁2020 屆遼寧省遼南協(xié)作校高三第一次模擬考試數(shù)學（理）試、單選題【詳解】，所以M0,2,則M UN= 0,1,2, 故選：C.C.【點睛】本題考查了元素與集合關系，根據交集運算結果得集合，集合并集的簡單運算，屬于基 礎題 B B.1【答案】A A【詳解】/(1 i)z |2i| 2,2 ,.二z1 i. .1 i故選： A A【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題1 1.已知集合M0,x21,2，若MlN 2，則M U N =( (2A A.2,0,1,2C C.0,1,20,1, -2, 2, 2【答【解可知2M，進而可求集合M0, x

2、2,N1,2,2 2 .已知復數(shù) z z 滿足（1i）z|2i I,i為虛數(shù)單位，則z z 等于（【解析】根據復數(shù) z z 滿足（1i）z |2i|，利用復數(shù)的除法求解. .第2 2頁共 2020 頁rr 1rr3 3.設a,b是向量，則“ab”是“a b a b”的B B .必要而不充分條件D D .既不充分也不必要條件rrr|b|b 無法得到a b a b，充分性不成立；由0，兩向量的模不一定相等，必要性不成立，故選D.D.充要條件，向量運算【名師點睛】r r r rr r由向量數(shù)量積的定義a b b cos為a，b的夾角）可知，數(shù)量積的值、模的 乘積、夾角知二可求一，再考慮到數(shù)量積還可以

3、用坐標表示，因此又可以借助坐標進行 運算 當然，無論怎樣變化，其本質都是對數(shù)量積定義的考查 求解夾角與模的題目在近幾年高考中出現(xiàn)的頻率很高，應熟練掌握其解法4 4 .若空間中二條兩兩不同的直線l1,l2,13，滿足l1l2,1213，則下列結論一定正 確的是（）（）A A .liI3B B .li與13既不垂直又不平行C C.I1/I3D D .li與13的位置關系不確定【答案】D D【解析】根據liI2,12I3，將三條線段置于正方體中，即可判斷各選項【詳解】空間中三條兩兩不同的直線li,l2,l3，滿足lil2,l2l3,位置關系可如下圖所示：A.充分而不必要條件C C .充分必要條件【答

4、案】D D【解析】【詳解】試題分析：由ar b ra得rbrarbra占小第3 3頁共 2020 頁根據圖示可知，當li取兩個不同位置時，滿足liI2,I2I3，可排除 ABCABC 選項,即li與13的位置關系不確定，故選：D.D.【點睛】本題考查了空間中直線與直線位置關系的判斷，屬于基礎題5.已知正三棱錐P ABC，點P、A、B、C都在直徑為，3的球面上，若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則該正三棱錐的體積為（）【答案】A A【解析】將正三棱錐補形成正方體，根據幾何體外接球的直徑，計算出PA,PB,PC的長，由此求得正三棱錐的體積 【詳解】將正三棱錐補形成正方體，如下圖所示 設PA PB P

5、C x,由于正三棱錐的外接球和正方體的外接球相同，正方體的體對角線即為外接球的直徑，即3. 3,x1,111所以正三棱錐的體積為1 1 1 -.3 26故選：A A第4 4頁共 2020 頁【點睛】 本小題主要考查幾何體外接球有關計算，屬于基礎題26 6 點M 5,3到拋物線y ax的準線的距離為 6 6，則該拋物線的方程是（）Ay12x2B B.y36x2Cy2 212x或y36xD D y1x2或y12x1236【答案】D D【解析】根據點M到準線的距離為|3|6，分a0和 a a0 0 兩種情況分別求得a,4a進而得到拋物線方程.【詳解】11當a 0時，開口向上，準線方程為y，則點M到準

6、線的距離為36,4a4a112求得a，拋物線方程為y x2,121211當 a a 0 0 時，開口向下，準線方程為y，點M到準線的距離為|3| 6解得4a4a12x36考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意對拋物線開口方向的討論【答案】C C2【解析】y sin x sinx時，函數(shù)取得最大值為1，當sinx1時，函數(shù)取得最小值為2，故函數(shù)的值域為4【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)關系，考查了二次函數(shù)最大值的求解方法，同時考查了化歸與轉化的數(shù)學思想方法 第一步首先用同角三角函數(shù)關系將cosx化為sinx，轉化為同一個角的式子，為后續(xù)配方

7、法做好準備 第第二步配方之后利用三角函第 4 4 頁共 2020 頁21sin x1,由于sinx11,1,故當sin x -2421a，拋物線方程為y36故選：D D 【點睛】本題考查拋物線的焦半徑公式，7 7 .函數(shù)ycos2x si nx 1的值域為（1A A ，B B.oD D.3【答案】B B第 5 5 頁共 2020 頁數(shù)的值域，即可求得函數(shù)的值域【解析】 研究函數(shù)的定義域和奇偶性，用排除法求解.【詳解】故選：C.C.【點睛】 本題考查由函數(shù)解析式選取函數(shù)圖象.這類問題可研究函數(shù)的性質，求定義域，值域,研究奇偶性，單調性，對稱性等，研究特殊值，特殊點（如頂點，與坐標軸交點）數(shù)值的正

8、負，變化趨勢等，采取排除法.B B .向右平移一個單位6D D .向左平移一個單位68 8函數(shù)f(x)ex1|x|(ex1)的圖像大致為（函數(shù)f (x)ex1|x|(ex1)的定義域是x|x0，排除 BDBD，又f( X)x(ex1)x(1 ex)f （x），即函數(shù)為奇函數(shù)排除A A ，函9 9 .函數(shù)f x As in x (AO,o,| I 2）的部分圖象如圖所示，為了得到C C .向左平移一個單位3x的圖象第7 7頁共 2020 頁【解析】試題分析：由圖象知A1,T7T224123f(7)127 32k,得，所以1212 223f(x)sin(2x -)，為了得到gxsi n2x的圖象，

9、 所以只需將f f (x)(x)的圖象向右平3移個長度單位即可，故選 D D.6【考點】三角函數(shù)圖象 1010 .如圖所示，為了測量A,B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A,B分別在D處 的北偏西15、北偏東45方向，再往正東方向行駛 4040 海里至C處，觀測B在C處的【答案】A A【解析】在VACD中，ADC1590105o, ACD 30，所以CAD 45,CD由正弦定理可得：CDsinAD CDSinACD sinCADCAD40122ADsin ACD20一2,在Rt DCB中，BDC 45，所以BD，解得、2CD40 2,在ABD中，由余弦定理可得：AB2AD2BD22AD BD c

10、s ADB 800 3200 2 20、2 40月 -24002，解得AB 20.6. .1111甲、乙兩位同學各拿出六張游戲牌，用作投骰子的獎品，兩人商定：骰子朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)時甲得1 1 分，否則乙得 1 1 分，先積得 3 3 分者獲勝得所有 1212 張游戲牌，并結束游戲比賽開始后，甲積2 2 分，乙積 1 1 分，這時因意外事件中斷游戲，以后他們不想再繼續(xù)這場游戲，下面對這1212 張游戲牌的分配合理的是(A A .20、6海里C C.20 13海里 D D . 4040 海里B B.40.6海里第8 8頁共 2020 頁A A 甲得 9 9 張，乙得 3 3 張B B 甲得 6

11、 6 張，乙得 6 6 張第9 9頁共 2020 頁C C 甲得 8 8 張，乙得 4 4 張D D 甲得 1010 張，乙得 2 2 張【答案】A A- - - - - - 1 1 1 1 1 1【解析】【詳解】試題分析：由題意可知：乙獲得1212 張游戲牌概率為二，所以甲22411應分得12 （1-）9張牌，乙應分得12匚3張牌，故選 A A 44【考點】排列組合問題.2 21212 已知雙曲線冷當1 a 0,b 0的兩頂點分別為 A|A|, A A2,F為雙曲線的一個a bAP A AB A2，則雙曲線的漸近線斜率的平方的取值范圍是（）（）2a彳75 1A A 1,2c 彳忑1B1, 2

12、c 逅1C C 0,273 1 3D D ,2 2【答案】A A【解析】根據題意，先求得直線BF的方程，由在線段BF（不含端點）F2，使得ARA2A1P2A2-可得線段BF與以A1A2為直徑的圓相交，即可求得b2 2150 一一；再根據a b即可得雙曲線的漸近線斜率的平方的取值范圍. .a22【詳解】2 2雙曲線 務 占1 a 0, b 0,F為雙曲線的一個焦點，B為虛軸的一個端點，a b不妨設F c,0 , B 0,b,則直線BF的方程為bx cy bc 0,因為在線段BF（不含端點）上存在兩點P,P2，使得ARA?A1P2A2 -,|bc|所以線段BF與以A1A2為直徑的圓相交，即f22a

13、,Vb2c2焦點，B為虛軸的一個端點，若在線段BF（不含端點）上存在兩點R,F2，使得上存在兩點R,第1010頁共 2020 頁化簡可得b2c2a2b2c2,第1111頁共 2020 頁雙曲線中滿足b2c2a2，代入上述不等式可得a4a2b2b40，b2 2則0匕a2故選：A.A.【點睛】系的判斷及應用，屬于中檔題二、填空題【答案】【詳解】故答案為：3. .1414 我國古代數(shù)學名著數(shù)術九章）有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米15301530 石，驗得米內夾谷， 抽樣取米一把，數(shù)得 252252 粒內夾谷 2828 粒 估計這批米內所夾的谷有_石. .【答案】170170【解析】根據等

14、古典概型概率公式求法即可得解 【詳解】由等可能事件概率公式可知，這批米內所夾的谷有由在線段BF（不含端點）上存在兩點p,P2，使得AR A2AiR2A2可知2b2所以1a21、5，即雙曲線的漸近線斜率的平方的取值范圍為21V5 11,2本題考查了雙漸近線斜率取值范圍的應用,直線與圓位置關1313 .已知函數(shù)flOg92x1,x21 ,x,x 0【解利用分段函數(shù)解析式，求得所求表達式的值依題意,f 10 f 00 1log910 121 23. .第1212頁共 2020 頁281530=170石252故答案為：170.170.【點睛】本題考查了古典概型概率的求法，屬于基礎題第1313頁共 20

15、20 頁1515 .考古學家經常利用碳 1414 的含量來推斷古生物死亡的大致時間. .當有機體生存時，會持續(xù)不斷地吸收碳 1414,從而其體內的碳 1414 含量會保持在一定的水平；但當有機體死亡 后，就會停止吸收碳 1414,其體內的碳 1414 含量就會逐漸減少，而且每經過大約57305730 年后會變?yōu)樵瓉淼囊话? .假設有機體生存時碳 1414 的含量為 1 1，如果用y表示該有機體死亡x年后體內碳 1414 的含量，則y與x的關系式可以表示為x【答案】y157302f x g x恒成立，則m的取值范圍為 _ . .【答案】m2e,e、e31【解析】構造函數(shù)F x g x f x ,

16、x，利用導數(shù)研究F x的最小值，由此2列不等式，解不等式求得m的取值范圍. .【詳解】【解析】 根據題意，建立函數(shù)模型,由經過大約57305730 年后會變?yōu)樵瓉淼囊话肟汕蟮媒馕鍪? .【詳axax由題意可設y5730時,15730a5730a解得所以15730，x15730故答案為:x5730【點1616 .已知f x時都有第1414頁共 2020 頁1331構造函數(shù)Fx g x f x xe x xl nxm,x221依題意F x 0在區(qū)間，上恒成立. .22 | IF x x In x e,212x21y/2x 1 2x 1F x 2xx xx所以F x在區(qū)間上遞減，在區(qū)間2,上遞增,2

17、 2 21、21所以F x在區(qū)間,的最小值為F1In2 e0,222L11,113 ,21F -IneIn 2 e0,F eeIn ee 0,242242F .ee In , e丄e 0,2所以在區(qū)間F x 0，在區(qū)間.e,F x0,2所以當x e時，F(xiàn)x有最小值F e13e3e一e e In i e m321依題意F x 0在區(qū)間，上恒成立,2所以.,e2e em 0,3Q解得m e、_e e. .3故答案為：m - e. e-、e3【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值, 三、解答題311717 .數(shù)列an的前n項和Sn,滿足Sn一a.81，且玄13. .2 2(1 1)求數(shù)列an的

18、通項公式；考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題. .第1515頁共 2020 頁首項與公比求得數(shù)列an的通項公式 式，結合錯位相減法即可得解【詳解】印3,Tn3Tn兩式相減得2n 112n 233n n 1 1可得 T Tn1 1n 3 3n【點睛】(2(2)設bn2log3anan1，求數(shù)列bn的前n項和Tn. .【答案】(1)(1)an3(2)(2)T Tn【解析】(1)(1) 根據an結合條件式即可判斷數(shù)列an為等比數(shù)列，即可由(2)將數(shù)列an的通項公式代入，結合對數(shù)式的化簡即可知數(shù)列bn為等差乘等比形2n當n 2時,Sn1孑，孑，3an21a1. .2anSnSn32an1，anan

19、-3，故1an為等比數(shù)列，公比為3 3，首項為 3.3.(2)(2)3 3n 13n. .3,可得bn2n2n2n215第1616頁共 2020 頁1818 港珠澳大橋是一座具有劃時代意義的大橋 它連通了珠海香港澳門三地，大大縮短了三地的時空距離，盤活了珠江三角洲的經濟，被譽為新的世界七大奇跡 截至 20192019 年1010 月 2323 日 8 8 點，珠海公路口岸共驗放出入境旅客超過14001400 萬人次，日均客流量已經達到 4 4 萬人次，驗放出入境車輛超過7070 萬輛次，20192019 年春節(jié)期間，客流再次大幅增長，日均客流達 8 8 萬人次，單日客流量更是創(chuàng)下11.311.

20、3 萬人次的最高紀錄 20192019 年從五月一日開始的連續(xù)100100 天客流量頻率分布直方圖如下(1)同一組數(shù)據用該區(qū)間的中點值代替，根據頻率分布直方圖 估計客流量的平均數(shù) 求客流量的中位數(shù) (2) 設這 100100 天中客流量超過 5 5 萬人次的有n天，從這n天中任取兩天，設X為這兩 天中客流量超過 7 7 萬人的天數(shù) 求X的分布列和期望.2【答案】(1 1)4.154.15,4.1254.125; (2 2)分布列見解析，E X -3【解析】(1 1)根據頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法，計算出平均數(shù)；根據頻率分布直方圖估計中位數(shù)的方法，計算出中位數(shù)；(2 2)根據超幾何分布的分布

21、列和數(shù)學期望的計算方法，計算出X的分布列和期望 【詳解】(1 1)平均值為解得中位數(shù)為x 4.125本題考查了遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法,錯位相減法的綜合應用，屬于中檔題(2)可知n15其中超過 7 7 萬人次的有 5 5 天CwC04531057G255010510212.5 0.2 3.5 0.25 4.5 0.4 5.50.056.54.15設中位數(shù)為x，則0.200.25 0.40 x 40.5215第1717頁共 2020 頁第1818頁共 2020 頁(1) 證明：B1C1CE；(2) 設點M在線段GE上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為2，求6線段AM的長 【答

22、案】(1 1)證明見解析；(2 2)2. .【解析】(1 1)通過勾股定理計算證明證得B1C1EC1，再證得CC1B1C1，由此證得B1C1平面CC1E，從而證得B1C1CE. .uuur uuur(2 2)建立空間直角坐標系，利用EMEG得出M點的坐標，根據直線AM與平面CIOOC5Cl10 2105 21X0 01 12 23102P72121所以E X【點睛】1 102121本小題主要考查利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)和中位數(shù),期望的計算，屬于基礎題 考查超幾何分布的分布列和1919 .如圖，四棱柱ABCD AB1C1D1中，AA平面ABCD,AB/DC,AB AD,AD CD 1,AA1

23、AB 2,E為棱AA1的中點第1919頁共 2020 頁ADD1A所成角的正弦值為 列方程，解方程求得的值，進而求得線段AM的長. .6第2020頁共 2020 頁【詳解】（1）在厶BiCiE中EBJEA2ABj V5，EG JDj（竽）2V2,EGED12D1C12, 3,BiCj ECEB,BQ EGAAi平面ABCD，平面ABCD/ 平面AB1GD1,AA1平面ABGD1，又AA/CC1，所以CC1平面AB1GD1,所以CC1B1C1且CC1I EC1C1B1C1平面CC1E,B1C1CE在直線為x軸，y軸，z z 軸建立空間直角坐標系, 則A 0,0,0，B 0,0,2，C 1,0,1

24、，B 0,2,2，C11,2,1，E 0,1,0uuvuuuvuuuriuuur uuuvAE0,1,0，EC11,1,1，設EMEC1，則EM, ,01uuuv uuv uuuv則AMAE EM,1,易知AB 0,0,2為平面ADD1A1的一個法向量設 為直線AM與平面ADD1A1所成角，則11解得1，5(舍去)(2(2)由題可知,DA,AA1,AB兩兩垂直，以A為原點，分別以AD，AA1，AB所sinumv uuvcosAM , ABuuuvuuvuuuv11uuvAMABuuuv所以AM14 1SEE，uuuvAM-2，故線段AM的長為2. .第2121頁共 2020 頁【點睛】本小題主

25、要考查線線垂直的證明，考查根據線面角求線段的長，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題 2 22020.已知橢圓C的標準方程是 y1，設F是橢圓C的左焦點，T為直線x 36 2上任意一點，過F做TF的垂線交橢圓C于點P,Q. .(1) 證明：線段 0T0T 平分線段PQ(其中0為坐標原點)；TF|(2) 當一最小時，求點T的坐標 PQ【答案】(1 1)證明見解析；(2 2)3,1或3, 1 【解析】(1 1)由橢圓的標準方程可得F的坐標，設T點坐標為3,m,可得直線TF的斜率，討論m 0與m 0兩種情況，設直線PQ的方程是x my 2,P x1,y1,Q x2, y2；聯(lián)立直線與橢圓方程，

26、即可用m表示點M的坐標，即可證明結論得最小值及最小值時m的值，進而得點T的坐標 【詳解】2 2(1(1)證明：橢圓C的標準方程是 1 1,6 2則直線TF的斜率kTFm,1當m 0時，直線PQ的斜率kPQm直線PQ的方程是x my 2,當m 0時，直線PQ的方程x 2, 也符合方程x my 2的形式，設P,Q X2,y2,將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立得:(2(2)由(1 1)結合弦長公式，表示出TF,PQ， 即可得TFPQ結合基本不等式即可求設F是橢圓C的左焦點，T為直線x3上任意一點,所以F得坐標為2,0，設T點坐標為3,m,第2222頁共 2020 頁x my 2x2y2消去x得m2

27、3 y24my 2 0,16 22 216m8 m 30當且僅當m21即m 1時等號成立，此時 丄旦 取得最小值,PQT點的坐標為3,1或3, 1【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質的應用，由韋達定理分析弦的中點坐標問題，線段比值最值的求法，基本不等式的應用，屬于中檔題 X2121 .已知函數(shù)f x cosx xsinx e ax0處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值及函數(shù)f x在區(qū)間2,2上的單調區(qū)間;(2 2)在(1 1)的條件下，若x,xx2X2,ff X2,求證：f20. .(f x有yiy24mm23y2設PQ的中點M的坐標為(x0, y0), y0% y?2m2 m23xomy26m236

28、 2mm23 m23所以直線OM的斜率kOM，又因為直線 OTOT 的斜率koT-,33所以點M在直線 OTOT 上，因此線段OTOT 平分線段PQ. .(2)由(知24 1 m23 m2所以丄巳PQ24 m21(1)若函數(shù)f x在點0, f第2323頁共 2020 頁為f X的導函數(shù))(1(1) a a 1 1，函數(shù)f X的遞增區(qū)間為0,，遞減區(qū)間為，0; (2 2)證2 2明見解析(1(1)利用f 00求得 a a 的值 再結合fX求得f x在區(qū)間的單調區(qū)間 【詳解】0e a 0 a a因為f x在,0單調遞減,2因為X1, X2【答【解(2(2)將要證明X-IX220轉化為證明X1X?，

29、進一步轉化為證明0，X( 利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)證得f XX 0在區(qū)間(o,上成立，2由此證得不等式XiX220成立 (1)f XXxcosx e a所以fX Xcosx e 1,0時，f X2X遞減，當0,時，f X2所以函數(shù)f X的遞增區(qū)間為0,2，遞減區(qū)間為2,0(2(2)由(1 1)知人與X2異號，不妨設X2X1x224X22，需要證明為X2第2424頁共 2020 頁二需證f X1fX2第2525頁共 2020 頁因為f Xif X2即需要證明fX2fx2，即f X2fx20即f Xfx0,x(0,2令h xf xfX,x 0,2h x fxfXxcosxxe1 xcosx eX1ex；x2所以h x在（0,上遞增2【點睛】本小題主要考查根據切線的斜率求參數(shù)，考查利用導數(shù)證明不等式，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題 x 3 tcos2222 .在平面直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，y tsin0）,在極坐標系（與平面直角坐標系取相同的單位長度，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸）中，曲線C2的極坐標方程為2cos 0. .（1）若一可，試判斷曲線Ci和C2的位置關系;4（2）若曲線Ci與C2交于點M,N兩點，且P 3,0，滿足PM PN 5MN. .求sin的值 【答案】（1 1）相離；（2 2）6. .1616【解析】（1 1）