淺談構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、淺談構(gòu)造等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法摘要：由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中常見，也是較難的問題，多分析遞推公式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)牡缺葦?shù)列，就能夠求這些數(shù)列的通項(xiàng)公式。關(guān)鍵詞：構(gòu)造 等比數(shù)列 通項(xiàng)公式等比數(shù)列是最簡單、最基礎(chǔ)、最重要的數(shù)列之一。而數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中比較難的問題，但在根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，如能恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造等比數(shù)列將會(huì)給解決問題帶來極大的方便。下面就如何構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式談?wù)勛约旱囊恍┺k法。一、形如的類型例1、已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： 由 得 是以2為公比，為首項(xiàng)的等

2、比數(shù)列二、形如的類型 例2、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析：利用對數(shù)性質(zhì)可將指數(shù)變成倍數(shù)，從而將該遞推公式轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的遞推公式。 解：由得 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 三、形如的類型 例3、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析：是等比數(shù)列的遞推公式，該題中多了常數(shù)1，故將該遞推公式轉(zhuǎn)化成加一個(gè)常數(shù)成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)。解：令 變形得 對比遞推公式系數(shù)得，代入得 是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列四、形如的類型 例4、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析：是等比數(shù)列的遞推公式，該題中多了一個(gè)，故將該遞推公式轉(zhuǎn)化成加或成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)。解法1：令 變形得對比遞推公式系數(shù)得，代入得是以為首項(xiàng)，

3、3為公比的等比數(shù)列解法2：由得令，則從而轉(zhuǎn)化成類型三，以下略。注意：若，則類型四只能用解法2。五、形如的類型 例5、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析：是等比數(shù)列的遞推公式，該題中多了一個(gè)，故將該遞推公式轉(zhuǎn)化成加或成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)。解：令 變形得對比遞推公式系數(shù)得：解得 代入得是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 六、形如的類型例6、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：是等比數(shù)列的遞推公式，該題中多了一個(gè)故將該遞推公式轉(zhuǎn)化成加或成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)。 解：令 變形得對比遞推公式系數(shù)得：解得 代入得是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。 七、形如類型例7、數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析：與前面的類型不同的是前面的遞推公式都是相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，而該題卻是相鄰三項(xiàng)的關(guān)系，因此將相鄰兩項(xiàng)的線性運(yùn)算看成一個(gè)整體構(gòu)造等比數(shù)列。解：設(shè),變形得，對比遞推公式的系數(shù)，令 ，解得 或 （I）當(dāng)時(shí)， , 是以為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得： （II）當(dāng)時(shí)， 是以為公比的等比數(shù)列， 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得： 得： ，將代入上式化簡得，這就是著名的斐波拉契數(shù)列的通項(xiàng)公式。 由上面的例題可以看出，根據(jù)遞推公式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造等比數(shù)列是解決該類問題的關(guān)鍵，只要多分析遞推公式的結(jié)構(gòu)特