導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求在閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式的最大值、最小值4生活中的優(yōu)化問題會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題5定積分與微積分基本定理(理)(1)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念(2)了解微積分基本定理的含義本部分內(nèi)容在高考中所占分?jǐn)?shù)大約在10%左右導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在高考中的題型分布大致是一個(gè)選

2、擇或填空，一個(gè)解答題，分值約1719分，屬于高考重點(diǎn)考查內(nèi)容具體考查體現(xiàn)在：(1)簡單函數(shù)求導(dǎo)，它是解決導(dǎo)數(shù)問題的第一步，應(yīng)熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(2)求曲線的切線方程，切線斜率的一類問題，包括曲線的切點(diǎn)問題這類問題是導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用，拓寬了解析幾何的解題思路，凸顯了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法(3)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題這類問題往往通過對函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為解不等式問題此處大多以考查含參二次不等式(組)為主. (4)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值和值域問題這類問題與函數(shù)單調(diào)性有著必然聯(lián)系，解決這類問題可借助單調(diào)性列表(或畫函數(shù)示意圖)求解(5)不等式恒

3、成立問題這類問題是近幾年高考的熱點(diǎn)一類是求參數(shù)取值范圍，它是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題另一類是證明不等式它對綜合分析和運(yùn)用的能力要求較高(6)(理)對定積分部分的考查以利用微積分基本定理求定積分和曲邊平面圖形面積為主，高考出題較少，一般是一個(gè)小題，只對理科學(xué)生有要求2導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf (x0)(2)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f (x0)(xx0)4函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f (x)0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增在區(qū)間(

4、a，b)內(nèi)，如果f (x)0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟求導(dǎo)數(shù)f (x)；求方程f (x)0的根；檢驗(yàn)f (x)在方程f (x)0的根的左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)根處取得極小值(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟求f (x)；求方程f (x)0的根(注意取舍)；求出各極值各區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；比較其大小，得結(jié)論(最大的就是最大值，最小的就是最小值)(3)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟審題設(shè)未知

5、數(shù)；結(jié)合題意列出函數(shù)關(guān)系式；確定函數(shù)的定義域；在定義域內(nèi)求極值、最值；下結(jié)論(4)定積分在幾何中的應(yīng)用(理)被積函數(shù)為yf(x)，由曲線yf(x)與直線xa，xb(ab)和y0所圍成的曲邊梯形的面積為S.分析(1)利用yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程建立a和b之間的關(guān)系式，即可求出f(x)的解析式(2)先求出過任一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，然后求解評析(1)解決此類問題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過某點(diǎn)的切線”(2)解決“過某點(diǎn)的切線”問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決評析(1)在點(diǎn)P處的切線即是以P為切點(diǎn)的切線，P一定在曲線上(2)過點(diǎn)Q的切線即切線過點(diǎn)Q，Q不一定是切點(diǎn)，所以

6、本題的易錯(cuò)點(diǎn)是把點(diǎn)Q作為切點(diǎn)求過點(diǎn)P的切線方程時(shí)，首先是檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在已知曲線上答案D 例2(文)(2011北京文，18)已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值分析依據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值解析(1)f(x)(xk1)ex令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)隨x的變化情況如下：所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)，x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ex1(2)當(dāng)k10，即k1時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)0k11

7、，即1k0，k0兩種情況進(jìn)行分類討論x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，k)和(k，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k，k)當(dāng)k0時(shí)，f(x)與f(x)的情況如下：所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k)和(k，)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k，k)x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1評析討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況，大多數(shù)情況下是歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類

8、討論討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制(2011南京二模)已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；(3)證明f(x)x3ax1的圖像不可能總在直線ya的上方解析(1)由已知f (x)3x2a，f(x)在(，)上是單調(diào)增函數(shù)，f (x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2時(shí)，對xR恒成立3x20，只需a0，又a0時(shí)，f (x)3x20，f(x)x31在R上是增函數(shù)，a0.(2)由f (x)3x2a0，在(1,1)上

9、恒成立，得a3x2，x(1,1)恒成立1x1，3x23，只需a3.當(dāng)a3時(shí)，f (x)3(x21)在x(1,1)上，f (x)0，即f(x)在(1,1)上為減函數(shù)，a3.故存在實(shí)數(shù)a3，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減(3)f(1)a2a，f(x)的圖像不可能總在直線ya上方(2010重慶文，19)已知函數(shù)f(x)ax3x2bx(其中常數(shù)a，bR)，g(x)f(x)f (x)是奇函數(shù)(1)求f(x)的表達(dá)式：(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值解析(1)由題意得f (x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f (x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因?yàn)楹瘮?shù)g

10、(x)是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)，即對任意實(shí)數(shù)x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.評析解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情景”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，抽象為數(shù)學(xué)問題，選擇合適的求解而最值問題的應(yīng)用題，寫出目標(biāo)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值是首選的方法，若在函數(shù)的定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)即為函數(shù)的最值點(diǎn)(文)煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染如圖所示，已知A、B兩座煙囪相距20 km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面

11、某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)為k)若C是AB連線上的點(diǎn)，設(shè)ACx km，C點(diǎn)的煙塵濃度記為y.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)是否存在這樣的點(diǎn)C，若該點(diǎn)的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由解析(1)不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，由ACx(0 x20)，可得BC20 x.依題意，點(diǎn)C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達(dá)式為：(理)(江蘇啟東質(zhì)檢)水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為由上表，V(t)在t8時(shí)取得最大值V(8)8e250108.32(億立方米)故知一年內(nèi)該水庫最大蓄水量是108.32億立方米.例5求曲線yx2，直線yx，