相似三角形-動(dòng)點(diǎn)問題-分類討論問題(培優(yōu)及答案)

1、D當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCNMj或BC邊上時(shí)_ 1y = SA A M =N2當(dāng)A落在四邊形BCNM外時(shí)，如下圖(4 <x<8),設(shè)AiEF的邊EF，, 一 - 3-上的周j為 hi,則 h1 =2h6=x 62?EF / MN .AEFs/XAMNAMN szABC :2XAEFs/XabcS/X AEF Saabc1 _ _ _, SA ABC = - 6 8 = 242Sa a, ef =3.x -626“23 22 4二 一x21.如圖，已知一個(gè)三角形紙片 ABC, BC邊的長為8, BC邊上的高為6, /B和/C都為 銳角，M為AB 一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)A B不重合)，過點(diǎn)M作M

2、N / BC ,交AC于點(diǎn)N , 在4AMN中，設(shè)MN的長為x, MN上的高為h .(1)請你用含X的代數(shù)式表示h .(2)將4AMN沿MN折疊，使 AMN落在四邊形BCNM 所在平面，設(shè)點(diǎn) A落在平面的點(diǎn)為A, AA1MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為 y ,當(dāng)X為何值時(shí)，y最大，最大值為多少？【答案】解：(1) M MN / BCh x , 3x.AMN s/ ABC ,一=二 h = 684(2) '； AMN AMN.AMN 的邊 MN 上的高為 h ,133 2MN h= x- x= x (0<x04)2 48113 23 29 2,y = Saamn -Saaef

3、=3x - 3x -12x 24 =9x12x-24828y = -9 x2 12x -24 (4 ； x ： 8)83 2綜上所述：當(dāng)0<xW4時(shí)，y= x 取x = 4, y最大=689 216當(dāng) 4cx<8 時(shí)，y = x +l2x24,Wx=, y 最大=883入八一 16 一一*8>6.當(dāng)x 時(shí)，y取大，y最大一8EF3Ai2.如圖，拋物線經(jīng)過 A(4,0) B(1,0), C(0,2)三點(diǎn).(1)求出拋物線的解析式；(2) P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過 P作PM _LX軸，垂足為 M,是否存在P點(diǎn)，使得以A, P, M為頂點(diǎn)的三角形與 AOAC相似？若存在，請求出符合條

4、件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請 說明理由；【答案】解：(1) .,該拋物線過點(diǎn)C(0, -2)，二可設(shè)該拋物線的解析式為2y = ax + bx-2 .將 A(4,0), B(1,0)代入,1 =_1/口 16a 4b 2 =0“ /口 a 一 一2'1 2 5得i解得2二此拋物線的解析式為 y = x2 +-x-2.a b -2 =0.522b = _ b 2.(2)存在.125如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 m,則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-m +m-2, 22125當(dāng) 1<m<4 時(shí)，AM =4m, PM = m +- m-2 . 22又；'NCOA =NPMA =90 , 當(dāng)

5、AM = AO = 2 時(shí)，zAPM ACO , PM OC 1125即 4m=2. m+ m2 f.解得 m1=2, m2 =4 (舍去)，, P(2,1).I 22)AM OC 11 2 5當(dāng) = 時(shí)， APM s匕 CAO，即 2(4 m) = m + m -2 .PMOA 222解得=4, m2 =5 (均不合題意，舍去) 二當(dāng)1<m<4時(shí)，P(2,1).類似地可求出當(dāng) m>4時(shí)，P(5,2).當(dāng)m父1時(shí)，P(3,14) .綜上所述，符合條件的點(diǎn) P為(2,1)或(5,2)或(3,14).28 ，一3.如圖，已知直線l1：y= x+ 與直線l2 : y= 2x+16相

6、交于點(diǎn)C, ll2分別交x軸于 33A B兩點(diǎn).矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在直線l上，頂點(diǎn)F、G都在x軸上，且點(diǎn)G與點(diǎn)B重合.(1)求 ABC的面積；(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長；(3)若矩形DEFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移， 設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(0 w t W 12)秒，矩形DEFG與 ABC重疊部分的面積為 S,求S關(guān)于t的函數(shù) 關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.28 -【答案】（1）解：由x十一=0,得x = 4.二A點(diǎn)坐標(biāo)為,0） 33由 Nx+16 = 0,得 x=8", B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0) AB =8(4 ) = 12.28y x由

7、y 3x 3'解得y = -2x 16.x =5,y =6.C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 （5,6）c1 1 -八 “Saabc = AB，yC = 12 6 =36.222 c 8 c(2)斛：.點(diǎn) D 在 1i上且 Xd =Xb =8,yD =父8 + = 8.33D點(diǎn)坐標(biāo)為（88 ）又點(diǎn) E 在 12 上且 yE = yD =8,二 2 xE 比 6=8-XE14-E點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）OE -8-4 =4, EF =8.（3）解法一：當(dāng)0Wt<3時(shí)，如圖1,矩形DEFG與 ABC重疊部分為五邊形CHFGR ( tR tR G B=0時(shí)，為四邊RX t C作CM_L AB于M ,則形CHF

8、GRG =2t.BGBMRG，即CMRG* RtAAFH s RtAAMC, c 1-1-1-2cS=Saabc-Sabrg-Saafh =36 M2t-(8-t)<-(8-t ).223c 4 2 16, 44S =t +1+ 333當(dāng)3 Mt <8時(shí)，如圖 2,為梯形面積，= G (8-t,0)GR=2._ .-(8-t)38 2t,一 8_ 1八 8 門 23 _s4 (4 -1)8二23338t 80當(dāng)8 <t <12時(shí)，如圖3,為三角形面積,2= 1(8-2t)(12-t) = 8t 482334.如圖，矩形ABCD中，AD =3厘米,AB = a厘米（a a

9、 3）.動(dòng)點(diǎn)M , N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿 Bt A, Bt C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過 M作直線垂直于 AB ,分別交AN , CD于P, Q .當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)若a =4厘米，t =1秒，則PM =厘米；(2)若a =5厘米，求時(shí)間t ,使 PNBsz pad ,并求出它們的相似比；(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值PMBN ,梯形 PQDA ,梯形PQCN的面積都相等？若存在，求(4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形3【答案】解： (1) PM4(2) t = 2 ,使

10、PNB s' pad ,相似比為 3: 2(3) P PM ± AB, CB ± AB, NAMP =/ABC , AMP ABC ,PM AMBN ABPMta -itt(a -it)，PM =-aa.QM =3 _t(a -1) a當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即(QP AD)DQ(MP BN)BMt(a -t) 3 (a -1)-(a-t) t ta 工2 6a化簡得t =6 a6a7t< 3, A-6a-<3,則 aw6 a6,，3<aw 6,(4) *；3 <a< 6 時(shí)梯形 PMBN與梯形PQDA的面積相等二梯形P

11、QCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則 CN = PM二上(a1)=3t,把 t=&-代入，解之得 a=±2j3,所以 a = 2s/3. a6 a所以，存在a,當(dāng)a =2J3時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等.5 .如圖，已知 ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分 另沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q 到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s),解答下列問題：(1)當(dāng)t=2時(shí)，判斷 BPQ的形狀，并說明理由；(2)設(shè) BPQ的面積為S (c

12、m2)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)作QR/BA交AC于點(diǎn)R,連結(jié) PR,當(dāng)t為何值時(shí)， APRA PRQ?【答案】 解：(1) BPQ是等邊三角形，當(dāng)t=2時(shí),AP=2 X 1=2,BQ=2X 2=4，所以BP=AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP又因?yàn)? B=6C0,所以 BPQ等邊三角形.(2)過 Q作 QEL AB,垂足為 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin60 0= 31,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 $ BPQ=1 XBPX QE=1 (6-t) X <'3t= - t2+3t ;222A(3)因?yàn)?QR/ BA,所以/ QRCW A=60°

13、;, / RQCW B=60°,又因?yàn)? C=6C0,所以 QRB等邊三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t因?yàn)?BE=BQ cos600= 1 X 2t=t,2所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP/ QR,EP=QR以四邊形 EPRQ平行四邊形,所以 PR=EQ=3t,又因?yàn)? PEQ=90, 所以/ APR=Z PRQ=90.因?yàn)?APK PRQ,所以/ QPR=/ A=600,所以 tan60 0=QR ,即 61 = J3 ,所以 t= 6,所以當(dāng) t=。時(shí)， PR 、3t55APR- PRQ6 .在直角梯形 OABC 中，CB/OA, /COA

14、= 90o, CB= 3, OA=6, BA=375.分別以 OA、 OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知D、E分別為線段 OC、OB上的點(diǎn)，OD=5, OE = 2EB,直線DE交x軸于點(diǎn)F.求 直線DE的解析式；(3)點(diǎn)M是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N.使以0、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.M； (i)作MU*"于點(diǎn)兒 則四邊膨?yàn)榫匦? /. t)n *cn y. t全)/,= 5 - OHM 7在中.v R41 -AH1二 點(diǎn)用的坐尿?yàn)?(

15、九6).*(2)作以軸干點(diǎn)0.財(cái)八 區(qū)挑富5AoM (4分)."E2d2OGECOH3 1336 *，W二點(diǎn)/:的%怖力憶4 3 .(5分) 乂： 點(diǎn)辦的坐標(biāo)為(0. 5).設(shè)在繾的解析式為¥力工人=w -3： -6. 2 分)* y*x(第26題圖1)胡能超圖1)仃線。E的鈍析式為： -1- -= =' !' w事T| 事 不(3)答：存在(«分)I加超1 .當(dāng) M-" V = VA 0 7 時(shí),四邊口用“八 為受脂一fl J"U，軸F點(diǎn)則VP看 , 軸,二 a川66四仇WP PD Ui)I'/Jr.n/i = *v)

16、 乂當(dāng) > 時(shí).-.1+5=0,解得 x = 10. F" f/f/ F1/£A卜點(diǎn)的覽麻為“0.曾, A OF < 10.在RSJ"”中.M = .,而F嚴(yán).序71。2 =3&工# =5 .10 5 5力-i. MP -2杼，P/> = 5 A 點(diǎn)M的壁標(biāo)為(-2氏5*吁),明就把X21點(diǎn)A的坐標(biāo)為 -2/5. , 5）2如用2,當(dāng)" = /八=1= WJ - 5時(shí).因邊 八1,為蔓合.延K、”交#軸于點(diǎn)孔 則1加L工軸.丁點(diǎn) V 也 |*!線）-V1 * 5 上.3 設(shè)W點(diǎn):坐標(biāo)為明白7, 住RlAO中.門尸尸二。"

17、;二二 個(gè)*（_J"+5）-5'.解得 明=，"-0 （舍去）.:、點(diǎn)M的性林為（4.箝，二 點(diǎn)'的里標(biāo)為14. K）. ，02分）：,T-! V uMlJ 管"='* *喝 ，F(xiàn)（H分）3 如圖 3.當(dāng)"W-，"，= 、=' 時(shí).四 邊形”，八為芟脛.迷接VW,交所點(diǎn)匕二“吁；，點(diǎn)、的坐休為（-5. ；）.W W ljon互相垂在甲分，然卜所述.“軸上方的點(diǎn)I E三個(gè).分別為VJ -2 3. 7?）, v（4. 8）.A.7.在圖15-1至圖15-3中，直線 MN與線段 AB相交于點(diǎn) O, / 1 = /2 =

18、 45(1)如圖15-1 ,若AO = OB,請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;(2)將圖15-1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖 求證：AC = BD, AC ± BD;(3)將圖15-2中的OB拉長為 AO的k倍得到圖15-3,求里的值.AC15-2,其中 AO = OB .【答案】 解：(1) AO = BD, AOBD;(2)證明：如圖4,過點(diǎn)B作BE/ CA交DON于E,又AO = OB, / AOC = /BOE, .AOC 9 ABOE.2OoMDOCAN F 圖42EABAC = BE.又/ 1 = 45；，/ACO = Z BEO = 135 °.，/D

19、EB = 45 °.1. Z 2 = 45 °, BE = BD, / EBD = 90°. . . AC = BD. 延長 AC 交 DB 的延Nd/圖7-1DB圖7-2OBAC圖7-3F,如圖 4. . BE/AC, . AFD = 90 °, ，AC，BD.BE BO(3)如圖 5,過點(diǎn) B 作 BE / CA 交 DO 于 E,/ BEO = / ACO.又./ BOE = Z AOC ,.BOE s AAOC. .AC AO又 OB = kAO,由(2)的方法易得 BE = BD .史 =k . AC10.如圖，已知過 A (2, 4)分另1J

20、作x軸、y軸的垂線，垂足分別為 M N,若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM乍勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿MA作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)。(1)經(jīng)過多少時(shí)間，線段 PQ的長度為2?(2)寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式和 t的取值范圍；(3)在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，是否可能出現(xiàn) PQ! MN若有可能，求出此時(shí)間 t ;若不可能，請說 明理由；(4)是否存在時(shí)間t ,使P、。M構(gòu)成的三角形與 MON®似？若存在，求出此時(shí)間 t;若不可 能，請說明理由；考點(diǎn)五：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題1 .在矩形 ABCD中，AB=12cm , AD=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn) A開始向

21、點(diǎn) B以2cm/秒的 速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果 P、Q同時(shí)出發(fā)， 用t （秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0*6）,那么當(dāng)t為何值時(shí)，4APQ與4ABD相似？說明理由.2 . （2011?烏魯木齊）如圖，在 4ABC中，/ B=90°, AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn) P以2米/ 秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q以1米/秒的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿t秒.CB向點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 （1）當(dāng)t=2.5秒時(shí)，求4CPQ的面積；求4CPQ的面積S （平方米）關(guān)于時(shí)間t （秒）的函數(shù)解析式；（2）在 巳Q移動(dòng)的過程中，當(dāng) 4CPQ為等腰三角形時(shí)，寫出 t的值；3.（金華）如圖所示，在 4ABC中，BA=BC=20cm , AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿 著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x.（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ/ BC;（2）當(dāng)沁求學(xué)”的值；（3） AAPQ能否與4CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由.4.如圖