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1、習(xí)題1-11計算下列二階行列式:(1); (2)解 (1) (2)2計算下列三階行列式:(1); (2);(3); (4)解 (1)原式(2)原式(3)原式(4)原式 3證明下列等式:證明 4用行列式解下列方程組:(1) ; (2)解 (1),所以,(2),;所以,習(xí)題1-21按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序,求下列各排列的逆序數(shù):(1); (2);(3); (4);(5); (6)解 (1)是標(biāo)準(zhǔn)排列,其逆序數(shù)為0;(2)逆序有(4 1),(4 3),(4 2),(3 2),所以逆序數(shù)為4(3)逆序有(3 2),(3 1),(4 2),(4 1),(2 1),所以逆序數(shù)為5(4)逆序有(2 1),
2、(4 1),(4 3),所以逆序數(shù)為3(5)逆序有(3 2) 1個(5 2),(5 4) 2個(7 2),(7 4),(7 6) 3個( 2),( 4),( 6),( ) 個所以逆序數(shù)為(6)逆序有(3 2) 1個(5 2),(5 4) 2個 ( 2),( 4),( 6),( ) 個(4 2) 1個(6 2),(6 4) 2個( 2),( 4),( 6),( ) 個所以逆序數(shù)為2寫出四階行列式中含有因子的項解 由定義知,四階行列式的一般項為,其中為的逆序數(shù)由于已固定,只能形如,即1324或1342.對應(yīng)的分別為或,所以和為所求.3在5階行列式展開式中,下列各項應(yīng)取什么符號?為什么?(1); (
3、2);(3); (4)解 (1)因,所以前面帶“-”號(2)因,所以前面帶“-”號(3)因,所以前面帶“+”號(4) 因,所以前面帶“-”號4若階行列式中元素均為整數(shù),則必為整數(shù)這一結(jié)論對嗎?為什么?解 這一結(jié)論正確,因整數(shù)經(jīng)乘法運(yùn)算后仍為整數(shù),而為元素的乘法的代數(shù)和,因此結(jié)果仍為整數(shù)5證明:若階行列式中有個以上的元素為零,則該行列式值為零證明 因階行列式中有個元素,而有個以上元素為零,故不為零的元素的個數(shù)小于從而,在行列式展開式中的個元素的乘積項中至少有一個元素為零,所以乘積為零,代數(shù)和也為零,故該行列式的值為零6用行列式定義計算下列行列式:(1); (2);(3); (4)解 (1)在展開
4、式中,不為的項取自于,而,所以行列式值為(2)在展開式中,取,則取為,則,取為,除此之外的項均為即行列式,而 ,所以 (3)在展開式中,不為的項取為,而 ,所以 (4)在展開式中,不為的項取而,所以 習(xí)題1-31設(shè),據(jù)此計算下列行列式:(1); (2);(3); (4)解 (1);(2),當(dāng)時,結(jié)論仍成立(3) (4) 2用行列式性質(zhì)計算下列行列式:(1); (2); (3); (4);(5); (6)解 (1)(2)(3)(4) (5)由于行列式中的第一列和第三列元素對應(yīng)成比例,所以 (6)3把下列行列式化為上三角形行列式,并計算其值:(1); (2)解: (1)(2) 4用行列式性質(zhì)證明下
5、列等式:(1);(2);(3)證明 (1) 右邊(2)左邊右邊(3)左邊5計算下列階行列式:(1);(2);(3); (4);(5)解 (1)(2)(3) (4)(5)6解下列方程:(1);(2)解 (1)因所以解為,(2)因左邊,所以解為習(xí)題1-41求行列式中元素3和4的余子式和代數(shù)余子式解 3的余子式,3的代數(shù)余子式4的余子式,4的代數(shù)余子式2已知,求解:因為,所以 3已知四階行列式的第行元素依次為,它們的余子式依次為,求行列式解 將行列式按第三行元素降階展開,有4設(shè)四階行列式的第二行元素依次為,其余子式分別為,第三行的各元素的代數(shù)余子式分別為,求此行列式解 因,即,所以 從而 5按第三行
6、展開并計算下列行列式:(1);(2)解:(1)原式(2)原式= 6證明下列各等式:(1);(2);(3)證明 (1)左邊右邊(2)方法一 左邊=方法二 記,構(gòu)造矩陣,則是范德蒙德行列式,其結(jié)果為,其中的系數(shù)為由行列式的降階展開法則知,其中的系數(shù),所以有,即(3) 用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時,命題成立假設(shè)對于階行列式命題成立,即所以,對于階行列式命題成立.7計算下列各行列式:(1); (2);(3);(4)解(1)原式(2)依次按第二行、第三行、第四行降階展開,有(3)由范德蒙德行列式的結(jié)果知, (4)依次按第行降階展開,有8計算下列各行列式(為階行列式):(1);(2);(3),其中;(4),其中;
7、(5);(提示:利用范德蒙德行列式的結(jié)果)(6),其中未寫出的元素都是解(1)按第列降階展開,有(2)(3)(4)(其中)(5)對第行,依次與上面相鄰的行交換,直至交換到第行,共需交換次再把新的第行,依次與上面相鄰的行交換,直至交換到第行,共需交換次依次類推,經(jīng)次行交換,得此行列式為范德蒙德行列式(6),由此得遞推公式,所以,而,所以習(xí)題1-51用克拉默法則解下列方程組:(1);(2);(3)解(1), , ,由克拉默法則知,方程組的解為,(2), , ,;由克拉默法則知,方程組的解為,(3), ,由克拉默法則知,方程組的解為,2設(shè)曲線通過四點,求系數(shù)解由于曲線過四點,所以有而,所以,3證明:對任意實數(shù),線性方程
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