《高等數(shù)學(xué)(專)》教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)（專）教學(xué)大綱課程名稱：高等數(shù)學(xué) ?？七m用專業(yè)：?？?20172017 級(jí)各專業(yè)參考教材：高等數(shù)學(xué) 王德印主編 中國傳媒 出版社一、本課程的地位、任務(wù)和作用高等數(shù)學(xué)是人們在從事高新技術(shù)及知識(shí)創(chuàng)新中必不可少的工具，它的內(nèi)容、 思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)， 成為現(xiàn)代文化的重要組成部 分。2121 世紀(jì)是信息時(shí)代，它不僅給人類生活帶來日新月異的變化，也給“高等 數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)增添了新的內(nèi)涵。“高等數(shù)學(xué)”是高等院校的一門重要的基礎(chǔ) 課，通過學(xué)習(xí)使學(xué)生受到必要的高等數(shù)學(xué)教育，使其具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后 續(xù)課程學(xué)習(xí)及今后的應(yīng)用打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、本課程的相關(guān)課程本課程的先

2、修課程是初等數(shù)學(xué)三、本課程的基本內(nèi)容及要求第一章函數(shù)，極限與連續(xù)（一）基本內(nèi)容函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性，復(fù)合函數(shù), 反函數(shù)，隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān) 系的建立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及性質(zhì)，函數(shù)的左、右極限，無窮小與無 窮大的概念，無窮小的性質(zhì)及其比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則， 兩個(gè)重要極限1 Xlim （1 -） exx初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（二）基本要求1 1 理解函數(shù)的概念，掌握表示法。2 2了解函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性，奇偶性。3 3掌握簡單初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。4 4 會(huì)建立

3、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。5 5 理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念。理解函數(shù)的左、右極限概念及極限存在與左、右極限存在的關(guān)系。sin xlimX0 x函數(shù)連續(xù)的概念，間斷點(diǎn)的類型,7 7掌握極限的性質(zhì)、極限的四則運(yùn)算法則第二章 一元函數(shù)微分學(xué)（一）基本內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)和微分的概念， 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義， 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之 間的關(guān)系， 平面曲線的切線和法線， 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn) 算，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù) 的概念，某些簡單函數(shù) n n 階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性， 微分在近似計(jì)算中的 應(yīng)用。（二）基本要求1 1理解導(dǎo)數(shù)和微分的

4、概念， 理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系， 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程， 了解導(dǎo)數(shù)的物理意義， 會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述簡單 物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2 2掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)求 導(dǎo)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分， 初步了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。3 3會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。4 4掌握用 洛比達(dá) 法則求未定式極限的方法。第三章 一元函數(shù)積分學(xué)（一）基本內(nèi)容 原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，不定積分和定積分的換 元積分與分部積分方法，有

5、理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分。（二）基本要求 1 1理解原函數(shù)、不定積分的概念。 2 2掌握不定積分的基本公式，理解不定積分的性質(zhì)，掌握不定積分的換元 法和分部積分法。4 4理解定積分的概念。 5 5掌握牛頓萊布尼茨公式。6 6掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量 （平面圖形的面積、 旋轉(zhuǎn)體的體積、 平面截面面積為已知的立體體積、平面曲線的弧長） 。笫四章 向量代數(shù)與空間解析幾何（一）基本內(nèi)容向量的概念，向量的線性運(yùn)算， 向量的數(shù)量積和向量積的概念及運(yùn)算， 兩向 量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，單位向量， 方向數(shù)與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，

6、平面方程、直線方程，平 面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角，點(diǎn)到平面和點(diǎn) 到直線的距離， 球面， 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面， 旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的 方程，常用的二次曲面方程及其圖形， 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程， 空間曲 線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程。（二）基本要求1 1理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。2 2掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積） ，掌握兩個(gè)向量垂直、平 行的條件。3 3掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá) 式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4 4掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平 行、垂直、相

7、交等）解決有關(guān)問題。5 5理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo) 軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。笫五章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一）基本內(nèi)容多元函數(shù)的概念， 二元函數(shù)的幾何意義， 二元函數(shù)極限和連續(xù)的概念， 有界 閉區(qū)域多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)， 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念， 全微分存在的必 要條件和充分條件， 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用， 多元復(fù)合函數(shù)、 隱函數(shù)的求導(dǎo) 法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)和梯度的概念及其計(jì)算，空間曲線的切線和法平面， 曲面的切平面和法線，二元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用。（二）基本要求 1 1理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾

8、何意義。 2 2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性 質(zhì)。3 3理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的 必要條件和充分條件， 了解全微分形式的不變性， 了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng) 用。4 4理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。5 5掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。6 6會(huì)求隱函數(shù)(包括由方程組確定的隱函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)。7 7了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念， 會(huì)求它們方程。 8 8理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條 件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件， 會(huì)求二元函數(shù)的極值， 會(huì)用拉格朗日乘 數(shù)法求條

9、件極值， 會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值， 并會(huì)解決一些簡單的應(yīng) 用問題。第六章 無窮級(jí)數(shù)(一)基本內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念， 收斂級(jí)數(shù)的和的概念， 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與 收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與 P P 級(jí)數(shù)以及它們的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法， 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理， 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與 條件收斂， 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念， 冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、 收斂區(qū) 間(指開區(qū)間) 和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)， 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)， 簡單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法， 函數(shù)可展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件， 常見函數(shù) 如 ex， sinsin x x，

10、cosx，ln(1 x)，(1 x)等的麥克勞林展開式，冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算 中的應(yīng)用。(二)基本要求 1 1理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性 質(zhì)及收斂的必要條件。2 2掌握幾何級(jí)數(shù)與 P P 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3 3掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，會(huì)用根值審斂法。 4 4了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域與和函數(shù)的概念。 5 5掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂區(qū)域的求法。6 6了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在其收斂 區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。7 7了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。8 8掌握常見函數(shù)如 ex， sin

11、sin x x，cosx，ln(1 x)，(1 x)等的麥克勞林展開 式，并會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。9 9了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡單應(yīng)用。第七章 微分方程(一)基本內(nèi)容 微分方程的概念，微分方程的解、階、通解、初始條件和特解，變量可分離 的方程，齊次方程，一階線性方程，伯努利( BenoulliBenoulli )方程，全微分方程，可xX用簡單的變量代換求解的某些微分方程， 可降階的高階微分方程，線性微分方程 解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，高于二階的某些常系 數(shù)齊次線性微分方程，簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程， 微分方程的幕級(jí) 數(shù)解法，微分方程的簡單

12、應(yīng)用問題。（二）基本要求1 1了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念2 2 掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法3 3 會(huì)求解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換求解 某些微分方程。4 4 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。5 5 掌握二階常數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)求解某些高于二階的常系 數(shù)齊次線性微分方程。四、教學(xué)方式與考核方式補(bǔ)充說明：教學(xué)方式與考核方式教學(xué)方式：面授輔導(dǎo)、平時(shí)作業(yè)考核方式：考勤、作業(yè)和考試五、參考書目1 1同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)（五版）（上、下）北京：高等教育出 版社，200220022 2 殷錫鳴等高等數(shù)學(xué)上海：華東理工大學(xué)出版

13、社，200320033 3 馬知恩工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第二版）北京：高等教育出版社，200620064 4 蕭樹鐵大學(xué)數(shù)學(xué)北京：高等教育出版社，200520055 5 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)合肥：安徽大學(xué)出版社，20022002安徽工程大學(xué)成人高等教育 2017 年第 1 學(xué)期高等數(shù)學(xué)專復(fù)習(xí)大綱兩個(gè)重要極限Xm0sin x1,lim(11)xxX求導(dǎo)法則(1)u(x) v(x) u(x) v(x);(2)u(x) v(x) u (x)v(x) u(x)v(x);設(shè)y f(u), u (v), v (x),則復(fù)合函數(shù) y f (x)的導(dǎo)數(shù)為dydy du dvdxdudv dx常用導(dǎo)數(shù)(C)0(s

14、in x)cos x(x )1x(cos x)sin x(ex) ex(In x)1xdy f(x)dx .不定積分和定積分微積分基本公式(3)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x)(v(x)0).kdx kx Ci, x c x dxC1cosxdx sin x csin xdx cosx cxxe dx e c典型例題解：limxlim逖11 a丄x 0sin(3x)x 0sin(3x) 3 392._ 若f(Jx) x2sinx，貝y f (x) _。解：令x t，即x t2，則f(t) t4si nt2，所以f(x) x4sinx23. 曲線y ex在x 1處

15、的切線方程是_。解：當(dāng)x 1時(shí)y e，且歲ex，所以y(1) e,所求切線方程為dx為y e e(x 1)dxxIn |x| Cf (x)dxF(b) F(a)1.limxsin (3x)3a，則a4. 曲線y ln(1 x2)的拐點(diǎn)為_ 。2/、2x“/、2 2x解：y (x)2,y(x)2，令y”(x)o得x1 x(1 x )為(1,1 n2)和(1,1 n2)5.cos(2x)dx _。1 1解：cos(2x)dx cos(2x)d2x sin(2x) C1x6.lim(1)x。x2x1 11解：lim(1 )xlim(1 )2x2、ex2xx2x7. 若f (2x) ex，則f (x)

16、 _。1-t解：令2x t，即x才，則f (t) e2，所以f (x)8. 曲線y sinx在x-處的切線方程是_解：當(dāng)x 1時(shí)y 1，且學(xué)cosx，所以y( ) 0，dx2為y 19. 函數(shù)y ln(1 x2)的定義域?yàn)開 。只需1 x2大于 0 即可，所以可去一切實(shí)數(shù)，即(，10.e3xdx _。3x13x13x解：e dx e d3x -e C3311. 計(jì)算I叫坦也1，所以拐點(diǎn)1xe2所求切線方程x 0sin x解：li嚴(yán)丄x 0cosx sin xlim115.計(jì)算不5x 1dx5x 1解:edxe5x 1d (5x 1)15xe516 計(jì)算定積分exln xdxe解.xln xdx

17、el|nxdx2-x22 2ln x2-dxx12-x4*(e21)413.y (x22x 5)10，求dX.dx解.dy10(x22x 5)9(X22x 5)10(x22x 5)9(2x 2)4設(shè) dx14.x2y e2ysin y，求dy.dx2xy x2dy2e2ydycosydy解：2xy x 2ecosy,所以dx dxdxdy _2xydx 2e2ycosy x2tan xxx sintanx xsinx xcosxsinx xcosx解:limlimlimx 0 x si nxx 0cosx(x sin x)x 0 x sinxlimx 01 cosxlim x 012x212.

18、計(jì)算liqX 0 xsin x22x117 求函數(shù)y x In x的單調(diào)區(qū)間和極值1值2e18.求由曲線y x2及直線y 0,x 1,所圍成的平面圖形的面積 A解：所圍圖形的面積A A；x x2dxdx解:dydx2xl nx xJe， 在（0,/-）上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小，）上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于 0,所以在（，丄,）上函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在x，-處取得極小19.求由曲線y x3及直線y1,x0,所圍成的平面圖形的面積 A。解: 所圍圖形的面積A A13x x3dxdx1 1 1x1x44 420.tan 3x計(jì)算啊市解:tan3x limx 0sin4x33x sin 4x4ta n3x 4xlimx 034.于 0,而在上函數(shù)調(diào)