魯棒故障診斷及容錯控制方法研究--賈克明

1、魯棒故障診斷及容錯控制方法研究第1章 緒 論1.1 課題研究現(xiàn)狀及意義 隨著工業(yè)水平的快速提高，系統(tǒng)日益復雜化和大型化。這一類的系統(tǒng)一旦出現(xiàn)故障輕則導致系統(tǒng)無法正常運行、癱瘓，重則造成財產損失和安全事故，例如 1986 年 4 月 26 日發(fā)生的切爾諾貝利核電站事故導致了大面積的核污染；2003 年 2 月 1 日的美國哥倫比亞號航天飛機事故導致機毀人亡，7 名宇航員全部因此而喪生；2011 年 3 月日本福島核電站事故因此提高可靠性和安全性對一些大型的、復雜性的系統(tǒng)而言顯得極為重要。如何提高復雜系統(tǒng)的可靠性和安全性成為人們關注的核心問題，容錯控制為有效解決該問題提供了一條有效途徑，因而得到了

2、廣泛的重視?！叭蒎e”這一概念最初出現(xiàn)于計算機系統(tǒng)，表示能夠容忍故障的意思。當某個控制系統(tǒng)發(fā)生故障時，該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性及其他各項性能指標，如快速性，平穩(wěn)性等都將會受到不同程度的影響，因此容錯控制以滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和所要求的性能指標為指導前提，進而稱滿足該性能的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為容錯控制系統(tǒng)1。 近些年來衛(wèi)星技術迅速發(fā)展，航天器的結構由簡單走向復雜化，并且任務需求也開始多樣化, 因此提高其穩(wěn)定度和控制精度顯得尤為重要。在眾多的控制方法中，容錯控制作為一種能夠提高航天器的有效性、可維護性和可靠性的有效方法，發(fā)展為該領域的研究熱點。20 世紀 70 年代航天航空領域開始研究高性能航天器，容錯控制作為保障

3、航天器安全性的重要理論支撐迅速發(fā)展起來，由此各種容錯控制技術如雨后春筍般開始涌現(xiàn)2-4。 人類開始太空探索之旅始于蘇聯(lián)的第一顆人造衛(wèi)星。中國不甘其后，在航天事業(yè)上也大顯作為，留下屬于自己的印記。值得一提的是，早期的航天器結構和功能都相對簡單，而且這些航天器的使用壽命短、控制精度比較低。隨著時代的發(fā)展，技術的提高，我國的航空航天器的發(fā)展又邁上了一個臺階：目前，在航天器在軌控制與自主姿態(tài)確定方面我國的技術發(fā)展已經初具規(guī)模。以“資源一號”衛(wèi)星為例，該衛(wèi)星是目前國內第一顆能夠真正進行自主故障診斷和重構的衛(wèi)星。系統(tǒng)重構和故障診斷這一些智能化容錯控制技哈爾濱工業(yè)大學工程碩士學位論文術在新型飛船和對地探測衛(wèi)

4、星等航天任務中已有許多成功應用實例，文獻5指出，目前的這些航天器的軌道與姿態(tài)控制系統(tǒng)均具有自主定位、便于在軌維護、自主故障檢測、 自主系統(tǒng)重構等優(yōu)良特性，是一系列可靠性好的高精度姿軌控制系統(tǒng)。 衛(wèi)星作為航天器一種，種類多、用途廣。衛(wèi)星在太空環(huán)境中長時間在軌運行時，任務的多樣化和強輻射，多干擾的運行環(huán)境極易造成衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)故障，而在各種控制系統(tǒng)故障中，執(zhí)行器失效故障占有很大一部分比例。如果衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)發(fā)生故障，衛(wèi)星將無法正常執(zhí)行任務，甚至會出現(xiàn)脫軌，墜毀等一系列重大事故，以致帶來某些安全隱患。由于完整性容錯控制在控制系統(tǒng)正常工作狀態(tài)和系統(tǒng)失效狀態(tài)時都能夠正常工作，而且不需要故障檢測與診斷

5、機構（FDD），具有快速性好，實時性強這些優(yōu)點，因此對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)進行完整性容錯控制問題研究對提高衛(wèi)星的可靠性和安全性具有重大意義。值得一提的是，當衛(wèi)星在常見的三正交反作用下如果處于執(zhí)行機構部分失效時，在某種程度內還可以繼續(xù)控制，若其完全失效，系統(tǒng)將不可控而帶來安全問題，因此有必要在考慮執(zhí)行器失效故障時將執(zhí)行機構完全失效故障考慮進去。為了使衛(wèi)星能夠長時間工作，并順利完成各種航天任務，建立合適的容錯機構以應對突發(fā)故障顯得十分重要。1.2 航天器的容錯控制特點相對于各種復雜設備而言，航天器元器件眾多，需要多種高端技術支持，而且其造價昂貴，極小的疏忽就可能帶來重大的損失。有調研報告指出有34%的

6、故障來自于控制系統(tǒng)執(zhí)行機構6，航天器作為一個明顯區(qū)別與其他系統(tǒng)的精密復雜控制系統(tǒng)，其容錯控制主要有以下幾方面的不同：（1）運行環(huán)境嚴峻 在軌運行的航天器其所受的不確定因素是多方面的，其運行環(huán)境要比地面苛刻得多，會不可避免地會受到來自太空的各種的影響, 而且還會受到電磁干擾，環(huán)境溫差變化時低溫、高溫的影響，還可能遭到流星體撞擊以及空間粒子輻射、，空中的噪聲、 空間環(huán)境化學污染以及來自各個星體的雜光的干擾、振動等其它方面的影響也不可忽略，這些因素將導致航天器上的元器件極容易受到影響和出現(xiàn)故障，因此設計過程中不可當成一般地面狀況對待，在仿真試驗中要將這些環(huán)境因素納入在內。 （2）故障后果嚴重 眾所周

7、知，任何一個系統(tǒng)出現(xiàn)故障的情景都是人們所不愿意見到的，航天器作為復雜大系統(tǒng)的一種，對系統(tǒng)及元件的精密度和可靠度要求極高。在高精度航天器的研制和發(fā)射過程中，需要巨大的人力、物力和財力支持，而且耗時長久，任何一個微小元件的故障都不能容忍其出現(xiàn)，否則會造任務失敗，甚至出現(xiàn)墜毀和人員傷亡，帶來巨大的經濟損失這些故障所帶來的后果都是人們難以承受的。 以“哥倫比亞號”和“挑戰(zhàn)者號”失事事故為例，兩次失事均造成了宇航員全部罹難, 過億元財產頃刻化為烏有，給人們造成沉重的心里陰霾。這些故障的發(fā)生都給了我們深刻的教訓：航天器的任何故障都不容忽視，否則后患嚴重。 （3）可維護性差 區(qū)別于地面上的大型控制系統(tǒng)，航天

8、器的人為控制力有限，具有升空過程速度極快、運行過程中可監(jiān)控性較差這一特點。這些加劇了人們對其展開觀測的難度。另外航天器不同于在地面上工作的其他系統(tǒng)，不方便人工對其進行維護及檢修，一旦失去控制，在短時間內便有可能帶來嚴重后果，例如爆炸。 而且即便能夠在軌或帶回地面修理，但昂貴的修理費用令人忘而卻步，甚至有些無法帶回成為太空垃圾，對其他的飛行器造成干擾，甚至影響到其他飛行器的飛行安全問題。 （4）星載條件有限 作為一種人為控制能力有限的航天器，考慮到星上的能源的儲量、 元器件配置都是有限的，因此進行容錯控制設計時需要將這些限制因素考慮在內， 因此其容錯方法越簡單有效越好，要盡量避免復雜的容錯算法以

9、免降低軟件可靠性。所以在容錯算法上要盡量的從工程適用、簡潔的角度出發(fā)，另外在控制效果上以快速性和準確性最為重要，以此來提高能源利用率，避免過多消費能源和燃料，在這方面的設計上可以對能量和時間進行優(yōu)化以達到目的。1.3 容錯控制及其相關理論的發(fā)展概況1.3.1 容錯控制的發(fā)展容錯技術作為一門順應時代需求而發(fā)展起來的新興學科，它以實用要求為前提，在解決實際系統(tǒng)的可靠性與安全性上起到了極大地幫助作用，它將理論的發(fā)展與實踐系統(tǒng)中的需求相結合，提出了許多建設性的研究的成果。尤其是最近幾年，隨著信息技術飛速地發(fā)展，除了航天器以外，許多復雜過程都需要用到龐大的計算機系統(tǒng)來進行數據處理，這對計算機的運算量及工

10、作量明顯要求增高，除此之外，系統(tǒng)還需要具備各種故障應付能力，因此系統(tǒng)的可靠性和安全性作為一個致關重要的問題亟待解決7。 圖 1-1 容錯控制發(fā)展歷程 1971 年，完整性的概念被提出，1980 年可靠鎮(zhèn)定的文章8開始出現(xiàn)，直到 1986 年 9 月，容錯控制這一概念才在控制界的會議報告中被正式提出來。 總的來看，可以將容錯控制技術的發(fā)展歷程大致上分成四個階段，見圖1-1。1.3.2 容錯控制的分類 容錯控制的分類方法有多種，見圖 1-2。圖1-2目前廣泛采用的是按設計原理的不同，即按是否具有故障檢測與診斷機構或故障的先驗知識來進行區(qū)分的被動及主動兩大類容錯控制方法。1.3.2.1 主動容錯控制

11、分類 控制系統(tǒng)在發(fā)生故障后，需要要在整個系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件下，按照所期望的動態(tài)特性以及其他性能要求對控制系統(tǒng)進行重新設計。當然，與原控制系統(tǒng)相比，重新設計的控制系統(tǒng)在性能方面在一定程度上會有所降低。就目前來看，主動容錯控制方法主要分為以下幾類。 （1）重組容錯控制方法 這種容錯控制方法的思想主要體現(xiàn)在調整控制器的參數上，在文獻9中，作者將重組技術應用在防空自動化系統(tǒng)中，并對幾種主要重組方式和具體實現(xiàn)做了介紹。重組可以分為“離線重組”和“在線重組”這兩種方式。 （2）重構容錯控制方法 該方法與重組的不同支出在于它不僅調整控制系統(tǒng)參數，同時還對系統(tǒng)的結構進行調整，使之以最佳狀態(tài)來適應當前系統(tǒng)的工作

12、狀況。重構容錯控制方法主要有模型跟隨重構方法、偽逆建模重構法和反饋線性化重構法。模型跟隨重構方法的思想是是故障系統(tǒng)在某種程度上盡量的與原系統(tǒng)相接近。偽逆建模重構法是通過修改或調節(jié)系統(tǒng)中的常數反饋增益量讓重構系統(tǒng)在要求的性能方面（比如漸近跟蹤誤差、動態(tài)響應等）與原系統(tǒng)相接近。反饋線性化容錯控制方法可以用來對非線性動態(tài)特性的影響進行補償，該法以遞推最小二乘估計方法來對離散時間形式的狀態(tài)參數進行估計，并所得的估計結果對控制器的參數進行更新。 （3）控制律再調度方法 該方法是主動容錯控制中原理最簡單方法，它直接利用計算機中存儲的控制增益對系統(tǒng)的控制律增益進行調度。目前，該容錯控制方法在化學過程控制、航

13、天、航空控制等方面已有許多應用實例。（4）魯棒容錯控制方法 圖 1-3 魯棒容錯控制系統(tǒng) 該方法建立在魯棒控制器基礎之上，要求容錯控制器對對象特性的變化滿足一定的魯棒性，另外作為主動容錯控制方法的一種，系統(tǒng)還必須充分利用到 FDD 所獲得的一系列信息。包含了模型不確定性的魯棒容錯控制系統(tǒng)的結構框圖如圖 1-3 所示。 （5）人工智能容錯控制方法 目前許多學者將人工智能方法用到容錯控制上，該類容錯控制方法主要有以下兩大類。 1)神經網絡的主動容錯控制 由于基于神經網絡的控制器在結構上具有功能冗余特性，因此人們將其用在了容錯這一挑戰(zhàn)性課題上?；谠摲椒ǖ娜蒎e控制方法目前已取得一些成果10-14，但

14、考慮到穩(wěn)定這一關鍵指標下，該理論自身還不具備完善條件(如穩(wěn)定性分析困難、影響無法明確獲得、魯棒性能較差等)；而且系統(tǒng)要的對突發(fā)故障具有快速響應能力，以確保系統(tǒng)的安全性，神經網絡容錯控制在實時響應速度上難以滿足需求；另外該容錯控制器在離線訓練后對事先設定故障有效，處理突發(fā)故障能力不夠，這些方面的缺點導致了神經網絡容錯方法在航天器中應用受阻。 2)專家系統(tǒng)的主動容錯控制 圖 1-4 基于專家系統(tǒng)的容錯系統(tǒng) 基于專家系統(tǒng)的容錯控制系統(tǒng)設計主要包含了故障的減弱、抑制和完全消除以及其它故障補償規(guī)則等方法。該方法主要借助容錯控制推理器來實現(xiàn)對故障的處理，該控制器能夠通過判斷故障特征和故障源來選取合適的控制

15、措施，在盡量滿足性能指標的前提下，完成系統(tǒng)所規(guī)定的任務，并且在一定程度上具有智能特性。其容錯原理如圖 1-4 所示。 1.3.2.2 被動容錯控制分類 被動容錯設計作為容錯控制領域中的熱點所在，有以下幾個優(yōu)點： （1）具有對故障處理實時性強、快速性好等優(yōu)點，和主動容錯控制相比，它不存在因 FDI 或 FDD 中延時而導致的控制品質降低問題。 （2）控制器結構是形式固定的，不需要重構或重組，不但在所有控制元器件正常工作時而且在傳感器、執(zhí)行器或其余元器件失效時都能夠保障穩(wěn)定性條件并盡量使性能品質優(yōu)良。 （3）具有魯棒性，能夠消除閉環(huán)系統(tǒng)對設定故障的敏感作用，將故障和模型不確定性一樣對待，以此保證容

16、錯控制器對設定故障的“魯棒性”和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在魯棒控制的理論的支撐下，被動容錯控制系統(tǒng)設計取得了大量理論成就，例如基于空間參數法2、解 Riccati 方程或 Lyapunov 方程15、基于LMI 法16、基于 H或2H 17-21以及互質分解22等方法設計的具有容錯性能的魯棒控制器。 被動容錯控制的主要類型： （1）完整性 如果在出現(xiàn)傳感器或執(zhí)行器故障(尤其指斷路故障)，或者兩者同時發(fā)生故障時，閉環(huán)系統(tǒng)仍然能夠持續(xù)穩(wěn)定，則稱此閉環(huán)系統(tǒng)滿足完整性條件，對應的控制器稱為完整性控制器，主要用于處理傳感機構和執(zhí)行機構故障問題。 （2）可靠鎮(zhèn)定 該方法的指導思想是利用多個的補償器同時的鎮(zhèn)定控制

17、同一個被控對象。因此當任意一個甚至多個控制器出現(xiàn)故障時(斷路)，閉環(huán)控制系統(tǒng)仍然能夠在其余正常工作的補償器的控制作用下保持閉環(huán)穩(wěn)定，稱這樣的系統(tǒng)為可靠鎮(zhèn)定系統(tǒng)，其對應的控制器為可靠鎮(zhèn)定控制器。這是專門針對控制器失效故障而設計的容錯控制。 （3）聯(lián)立鎮(zhèn)定 不妨設有 N 個被控對象G1，G2，.，GN尋找某個定?？刂破?，使其作用下的任意一個上述被控對象 ,G i( i=1,2, , N)都能穩(wěn)定，稱這樣的系統(tǒng)滿足聯(lián)立鎮(zhèn)定條件，其對應的控制器為聯(lián)立鎮(zhèn)定控制器。這種容錯控制器主要針對被控對象出現(xiàn)故障的情況。 從總體上來看，被動容錯中使用具有固定形式的控制器來適應故障狀況，以此確保故障狀態(tài)下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)

18、定性，這種方法通常會降低其他的一些性能。而主動容錯控制方法大多數情況下要解決故障的“診斷”與“容錯”兩個方面的問題，會帶來時延方面的問題。但故障診斷能夠獲得故障的詳細信息，能夠處理的故障類型更加全面。從當前的發(fā)展情況來看，兩者之間的相輔相成，共同促進和發(fā)展。1.3.3 容錯控制面對的挑戰(zhàn) 雖然目前的容錯理論產生的成果眾多，但是，容錯控制還面臨著以下方面的問題。 自適應在容錯控制中的研究還亟待加深?？紤]到其本身在本質上屬于非線性范疇，并且包含了 FDI、參數辨識和重構方面的問題，加大了該方向的容錯控制的研究難度。就目前研究狀況來看該技術基本上發(fā)展到仿真級和實驗級的水平，以理論應用為主。 針對時滯

19、、時變、高維的多變量控制系統(tǒng)尚無完善的容錯控制方法。當前的容錯控制方法對這幾方面的控制能力還十分有限，對時滯系統(tǒng)的容錯控制主要以數值算法和完整性設計居多。 非線性系統(tǒng)方面的容錯控制理論尚不成熟。非線性容錯制由于非線性系統(tǒng)理論的制約，成果十分有限，沒有成型的控制方法來處理非線性系統(tǒng)，因此其容錯問題也尚未解決完全，目前主要采取線性化方法和其他智能控制方法對其處理后再進行容錯控制設計。 總的來看，在目前關于容錯控制的理論和方法仍在不斷的摸索和發(fā)展之中，許多新的容錯理念、方法及理論仍舊不斷被提出。值的強調的是，雖然人們對于許多系統(tǒng)（線性、非線性、連續(xù)、離散等）的容錯控制問題進行了深入研究，但仍舊存在一

20、系列問題亟待更深的探索。關于非線性系統(tǒng)方面的容錯控制問題還存在著很大的發(fā)展空間。1.4 主要研究內容 本課題以零動量三軸穩(wěn)定小衛(wèi)星為研究對象，采用了三正交+斜裝結構形式的反作用飛輪作為執(zhí)行機構，通過對反作用飛輪的轉速進行調控，達到與星體間進行角動量交換的目的，從而實現(xiàn)衛(wèi)星的轉角控制?？紤]到在實際的控制系統(tǒng)中，由于環(huán)境變化、建模誤差和元器件老化等一系列因素產生的影響，導致控制系統(tǒng)中的不確定性是無法通過任何手段能夠避免的。因此，本文在考慮了衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)具有參數不確定性的情況下，針對所考慮的故障模型，對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)中出現(xiàn)的執(zhí)行器故障進行了合理的容錯控制設計，并對其所適用的故障情況進行了深入研

21、究。第二章、故障模型及自適應基本理論2.1故障描述考慮線性定?？刂葡到y(tǒng) xt) = Axt) + But) yt) = Cxt)式中,為狀態(tài)矢量;ut) = u1 u2.u.m TRm為控制矢量,在系統(tǒng)運行過程中可能發(fā)生故障; yt)Rp為輸出矢量;A,B,C為相應維數的常數矩陣。 不失一般性,考慮最多m-1個執(zhí)行器故障,即在系統(tǒng)m個運行的執(zhí)行器中,任意m-l個執(zhí)行器都有可能發(fā)生故障,而且無法得到故障的任何先驗知識。我們僅考慮一個傳感器或執(zhí)行器故障的情況。常見的傳感器或執(zhí)行器故障行為有卡死、增益變化、恒偏差三種,下面分別描述其故障發(fā)生時的模型。2.1.1故障描述 雖然我們所要設計的自適應執(zhí)行器

22、故障補償控制器無需任何有關系統(tǒng)參數以及故障的信息，但首先要對系統(tǒng)進行模型匹配控制設計，所以這里給出了相應的執(zhí)行器故障模型。 在本論文中，我們考慮執(zhí)行器的故障包括執(zhí)行器卡死和執(zhí)行器恒增益變化。 (1)執(zhí)行器卡死 第i個執(zhí)行器卡死的故障模型可以描述為ui(t)=usi式中，usi為常數;i=1,2,.m。一般在實際的系統(tǒng)中，執(zhí)行器的輸出存在限制范圍，即uiui(t)ui故有uiusiui如果usi=ui或者usi=ui，我們稱之為執(zhí)行器開路失效。(2)執(zhí)行器恒增益變化第i個執(zhí)行器恒增益變化的故障模型可以描述為ui(t)=(t)v(t)式中，v(t)表示控制器給出的執(zhí)行器的輸入，u(t)表示執(zhí)行器的

23、輸出，(t)為恒增益變化的比例系數。當(t)=0時，相當于第i個執(zhí)行器完全失效，即執(zhí)行器卡死模型中的usi= 0;當(t)=1時，第i個執(zhí)行器正常工作。(3)執(zhí)行器恒偏差失效第i個執(zhí)行器恒偏差失效的模式可描述為ui(t)=v(t)+i式中，i為常數。 (4)系統(tǒng)狀態(tài)故障模型當第i個狀態(tài)故障時，對于系統(tǒng)式(2.1)，可以用狀態(tài)方程增加一項來表示該故障，即x(t)=Ax(t)+xi(t)Ii+Bu(t) =Ax(t)+Bu(t)+AIixi(t)式中，Ii =0.1.0，xi(t)表示該故障的函數，對于不同類型的故障，煞(t)將以不同的函數形式給出。顯然，第i個狀態(tài)故障的模型與第i個執(zhí)行器故障的模

24、型相似。2.1.2執(zhí)行器故障建模我們可以把上述執(zhí)行器故障模型歸結為以下模型uFi(t)=i(t)vi(t)+iusi，i=1,2,.,m式中i(t)表示未知的時變恒增益變化的比例系數,假設i和i是已知的,分別代表i(t)的上界和下界,即0ii(t)i i 表示一個未知常數,定義如下: 因此,對于執(zhí)行器故障的模型可用下表來描述上述模型也可以表呆另 式中 其中,，i=1，2，3，.，m基于以上模型的執(zhí)行器故障我們也可以用以下方式描述。設集合 對于所有可能的執(zhí)行器故障可以一致表示為 uF(t)=(t)u(t)+us其中(t)=考慮執(zhí)行器擾動的情況 uF(t)=(t)u(t)+us +其中,=1,.,

25、mi= l,2,.,m,(t)為第i個執(zhí)行器的擾動。2.2 Hinf理論2.2.1 線性矩陣不等式 LMI一個 LMI 即是具有 F（x）= F 0+ x1F 1+ .+ x mFm 0 （2-1） 形式的表達式。式中 F ( x )F i = FTiRm*n，為給定的一組對稱矩陣；x i (i= 0，1，.m)待確定量，LMI 里的決策變量；x 即 x1.xmT，決策向量。 大多數 LMI 中的待求變量極少具有（2-1）這種簡單的形式，往往都是具有矩陣的形式，例如不等式（2-2） AT X + XA + Q0 (2-2)其中矩陣 A和Q均已知且為常數，并且Q還滿足Q = QT， X 為待求的

26、矩陣變量。一般來講，標準 LMI 求解問題分成三類 （1） 可行性問題 ( LMIP) F ( x ) 0 (2-3)對于式(2-3)描述的 LMI，希望能夠找到一個x Rn，使 F ( x ) 0的問題成立，即 LMI 系統(tǒng)有可行解，這即是 LMI 中的可行性問題。如果有滿足（2-3）的 x 存在，則稱此 LMI 可行。這個問題的求解命令為 feasp。（2） 特征值問題/線性目標最小化問題 ( EVP)在處于某個LMI約束條件下， A(x)的 EVP 問題可描述為 min s.t.A(x)I (2-4) H (x)0值的指出的是該問題 LMI 無法求解，需要對其通過相應轉化變成如下的等價問

27、題 Min CT x s.t.F(x)0 (2-5)才能求解，(2-5)是LMI工具進行 EVP 問題求解的標準形式。求解此類問題的命令為 mincx （3） 廣義特征值問題 (GEVP) 設 A (x)和 B (x)均是 x的仿射函數，某個 LMI 的約束條件下，對 A (x)和 B(x)的最大廣義特征值進行最小化的求解問題可描述為 min s.t.C (x)D(x) (5-6) 0B(x) A(x)B(x)此問題相應的求解命令是 gevp。 對于一個 LMI 而言，包含多個變量的情況時?？梢?。為了使其求解問題更加方便、容易，有時候需要將一個 LMI 通過等價變換的數學手段化成一個或多個只包

28、含較小變量的不等式，為本小節(jié)此給出了一些關于處理LMI 時常用到的結論。引理 5.1 Z 為對稱陣且滿足Z = ZT，且能表示成 3 行 3 列形式的分塊陣，如若存在對稱陣X = XT使線性矩陣不等式 (5-7) 成立，當且僅當不等式組 此時滿足(5-7)的一個解為 X=ZT13 Z11-1 Z12 -Z23 (5-9)引理 5.2 對于給定的矩陣 P、Q 、H （其中H = HT為對稱陣），NP 和NO表示核空間ker(P)和ker(Q)中的任意一組基所構成的矩陣，如若存在某個矩陣 X 滿足不等式 H+PTXTQ+QTXP0 (5-10)成立，當且僅當 NTPHNP0 ，NQTHNQ0 (5-11)引理 5.3（Schur 補引理）