拋物線的簡單幾何性質(zhì)

1、課題242拋物線的簡單幾何性質(zhì)一授課時間任課教師閔海鷹授課年級高二教知識目標(biāo)掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì)學(xué) 目能力目標(biāo)能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論，在此根底上列表、描 點、畫拋物線圖形；標(biāo)德育目標(biāo)在對拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化教學(xué)重點拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用教學(xué)難點拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用教法探究法,講練結(jié)合法，講授 法使用教具電腦直尺器、投影儀、計算一、復(fù)習(xí)引入：1.拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線*定點F叫做教圖、L/7k形J0xl/ 1學(xué)方 程2 y2 px(p 0)y22px(p0)x2 2py

2、(p 0)x22py(p 0)隹占八、即(f,0)吋叱過準(zhǔn)線x 2x衛(wèi)2y衛(wèi)2y 1程拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的 準(zhǔn)線.2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：.相冋點：1拋物線都過原點；2對稱軸為坐標(biāo)軸；3準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足1與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的-，即42p _p«42不冋點：1圖形關(guān)于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為2px、左端為y2 ；圖形關(guān)于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為2py，左端2為X . 2開口方向在 X軸或Y軸正向時，焦點在 X軸或Y軸的正半軸上， 方程右端取正號；開口在 X軸或Y軸負(fù)向時，焦點在

3、X軸或Y軸負(fù)半軸時，方 程右端取負(fù)號一二、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1. 范圍2因為p> 0，由方程y 2px p 0可知，這條拋物線上的點 M的坐標(biāo)(x , y)滿足 不等式x>0,所以這條拋物線在 y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物 線向右上方和右下方無限延伸.2. 對稱性2以y代y,方程y 2px p 0不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的 軸.3. 頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.在方程y2 2px p 0中，當(dāng)y=0時，x=0,因此拋物線 寸 2px p 0的頂點就是坐標(biāo)原點.4. 離心率拋物線上的點M與焦點的距離

4、和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=1.對于其它幾種形式的方程，列表如下:標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點對稱軸焦占八'、八、準(zhǔn)線離心率y2 2px p 00,0x軸衛(wèi),02x衛(wèi)2e 1y22pxp 0r0,0x軸和x衛(wèi)2e 1x2 2py p 00,0y軸0豐y 1e 1通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點的性質(zhì)差異，當(dāng)拋物線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時，拋物線在這一點的切線斜率接近于對稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和 對稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時，它的切線斜率接近于其漸近線 的斜率-附：拋物線不存在漸近線的證明.反證法假設(shè)拋物線y2= 2px

5、存在漸近線y = m灶n,Ax, 拋物線上一點，Ao Cx, yJ為漸近線上與 A橫坐標(biāo)相同的點如圖，1 AA-O*xy為那么有y ：2px和yi= m灶n.M y mx n v2px當(dāng)m 0時，假設(shè)xt+8，貝U |y1 y|當(dāng) m0 時，必 y n X1'，f2p| ,當(dāng) xt + s，那么 |y1 y|2這與y = m>+ n是拋物線y = 2px的漸近線矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1拋物線關(guān)于 x軸為對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M(2, 2 2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形.分析：首先由點坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p.解：由題意，可設(shè)拋物線方程為

6、y2 2px，因為它過點 M(2, 2 2),所以(2.2)2 2p 2，即 p 2因此，所求的拋物線方程為y2 4x .將方程變形為 y 2 x，根據(jù)y 2 x計算拋物線在x 0的范圍內(nèi)幾個點的坐% x26，那么 | AB | =BA10B8C6D42.M為拋物線 y24x上一動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，定點P 3, 1 ,那么| MP | MF |的最小值為:BA3B4C5D6標(biāo)，得x01234y024描點畫出拋物線的一局部，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一局部.點評：在此題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖 然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限

7、地接近于某一直線，也就 是說，拋物線沒有漸近線.例2探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一局部，光源位于拋物線的焦點處，燈的圓 的直徑60cm燈深為40cm求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點位置.分析：這是拋物線的實際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋 物線上一點坐標(biāo)，從而求出p值.解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點即拋物線的頂點與原點重合，x軸垂直于燈口直徑.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y22 px p > 0.由條件可得點 A的坐標(biāo)是40, 30，代入方程，得302 2p 40,即p 454所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 45 x2例3過拋物線y2 2px的焦

8、點F任作一條直線 m交這拋物線于A B兩點， 求證分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識來證比擬簡捷. 證明：如圖設(shè) AB的中點為E,過A E、H C,那么以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切./ /IEyB分別向準(zhǔn)線丨弓I垂線AD EH, BC垂足為D1 AF| = |AD|,|BF| = |BC|AB| = |AF| + |BF| = |AD| + | BC|= 2 | EH|丨所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且 四、課堂練習(xí)：EHL l，因而圓E和準(zhǔn)線丨相切.1 .過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于Ax % , BX2, y2兩點，如果3過拋物線y ax2 a 0的焦點F作直線交拋

9、物線于P、Q兩點，假設(shè)線段PF、QF1 1的長分別是p、q，貝U _ = cp q14A2a B_C4aD2aa4.過拋物線y2 4x焦點F的直線l它交于A、B兩點，那么弦AB的中點的軌跡方程是答案：y22x13的線段AB的端點A、B在拋物線y2 x上移動，求AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時AB中點M的坐標(biāo)*5： 25答案：m , M到y(tǒng)軸距離的最小值為一424五、 小結(jié)：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準(zhǔn)線、中心等*六、課后作業(yè)：1. 根據(jù)以下條件，求拋物線的方程，并畫出草圖.1頂點在原點，對稱軸是 x軸，頂點到焦點的距離等于 8.2頂點在原點，焦點在 y軸上，且過P4, 2點.3頂點在原點，焦點在 y軸上，其上點P m 3到焦點距離為5.2. 過拋物線焦點F的直線與拋物線交于 A、B兩點，假設(shè)A、B在準(zhǔn)線上的射影是 A Ba, 那么/ AFB等于3. 拋物線頂點在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16,求拋物線 方程.24. 以橢圓 y2 1的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標(biāo)原點為頂點作拋物線，求拋物線截橢5圓在準(zhǔn)線所得的弦長.5. 有一拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂4米時，水面寬40米，當(dāng)水面下降1米時，水面寬是多少米？習(xí)