機械振動復習題及解答

1、1、某測量低頻振動用的測振儀（倒置擺）如下圖所示。試根據能量原理推導系統(tǒng)靜平衡穩(wěn)定條件。若已知整個系統(tǒng)的轉動慣量，彈簧剛度，小球質量，直角折桿的一邊。另一邊。試求固有頻率。解：彈性勢能 ,重力勢能 總勢能 代入可得可求得滿足上式。再根據公式判別位置是否穩(wěn)定及其條件：即滿足條件時，振動系統(tǒng)方可在位置附近作微幅振動。系統(tǒng)的動能為 代入可得由為穩(wěn)定位置，則在微振動時，可得線性振動方程為：固有頻率代入已知數(shù)據，可得2、用能量法解此題：一個質量為均勻半圓柱體在水平面上做無滑動的往復滾動，如上圖所示，設圓柱體半徑為R，重心在c點,oc=r,，物體對重心的回轉體半徑為L，試導出運動微分方程。解：如圖所示，在

2、任意角度（t）時，重心c的升高量為=r（1cos）=2rsin取重心c的最低位置為勢能零點，并進行線性化處理，則柱體勢能為 V=mg=2mg r sin mgr （a）Ib=Ic+m2=m(L2+2) （b）2=r2+R2-2rRcos(t) （c）而柱體的動能為 T=I 把（b）式，（c）式兩式代入，并線性化有T=mL（Rr） （d）根據能量守恒定理，有mL（Rr）mgr=E=const 對上式求導并化簡，得運動微分方程為 L（Rr）gr=0 （e）3、一質量為、轉動慣量為的圓柱體作自由純滾動，圓心受到一彈簧約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。解：取圓柱體的轉角為坐標，逆時針為正，靜平衡位置時

3、，則當有轉角時，系統(tǒng)有： 由可知： 解得 （rad/s）4、圖中，半徑為r的圓柱在半徑為R的槽內作無滑滾動，試寫出系統(tǒng)作微小振動時的微分方程 解 1）建立廣義坐標。設槽圓心O與圓柱軸線O1的連線偏離平衡位置的轉角為廣義坐標，逆時針方向為正。2）寫出系統(tǒng)的動能和勢能。圓柱的動能由兩部分組成，即它跟隨質心的移動動能和繞質心轉動的動能，而質心的速度為，圓柱相對于質心的角速度，因此系統(tǒng)的動能為 若取系統(tǒng)靜平衡時的勢能為零，則在一般位置系統(tǒng)的勢能為 U=mg(R-r)(1-cos)3）利用能量守恒原理得到當系統(tǒng)作微小振動時 很小，sin，不恒等于零，方程就簡化為。5、單圓盤轉子如圖（a）所示，可化簡為圖

4、（b）所示的簡支梁系統(tǒng)，求其在跨度中點垂直方向的剛度及系統(tǒng)的自然頻率。解：當忽略軸的質量時，系統(tǒng)簡化為圖（b）的模型，這是一個彎曲變形振動問題。為了求其剛度，按照材料力學中的公式，其跨度中點在集中力P的作用下，產生的撓度y為則由k=P/y得到 系統(tǒng)可進一步簡化為“m-k”系統(tǒng)，則單自由度系統(tǒng)的自然頻率為 6、機械式振動儀原理圖如圖所示。支承于水平軸的擺連接一個剛度為的螺線彈簧，在重力作用下擺的平衡位置偏離水平線成角。設擺在水平線上方成角處，螺線彈簧不受力。擺的質量為，它繞軸的轉動慣量為，擺重心至軸的距離為,擺可圍繞平衡位置作微幅振動，求其固有頻率。振動儀原理圖解：方法一：當擺處于平衡位置時，有

5、擺的微振動角位移記為，由動量矩定理，可得擺的運動微分方程為考慮到式，并精確到一階小量，上式可線性化為因此，擺的振動固有頻率為方法二：能量法由于不考慮阻尼，因而系統(tǒng)的機械能守恒。這時系統(tǒng)的動能和勢能可以分別表示為由,可得因此，擺的振動固有頻率為7、例： 重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞,梁長 L，抗彎剛度 EJ 其中給出由材料力學 ：求：梁的自由振動頻率和最大撓度mh0l/2l/2mh0l/2l/2x靜平衡位置解：取平衡位置以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系靜變形：自由振動頻率為 ：撞擊時刻為零時刻，則 t=0 時，有： 則自由振動振幅為 ： 梁的最大擾度： 8、質量m=0.5Kg

6、的物塊，沿光滑斜面無初速度滑下，如上圖所示。當物塊從高度h=0.1m時撞于彈簧上并不在分離。彈簧的剛度系數(shù)為k=0.8KN/m,傾角=30°，求此系統(tǒng)的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運動方程。解：物塊平衡時，彈簧的變形為 (1)以物塊平衡位置O為原點，建立圖示x坐標。物塊受力如圖所示，其運動微分方程為 將式（1）帶入上式，化簡后得 系統(tǒng)的固有頻率為 當物塊碰上彈簧時，取時間t=0,作為振動的起點。則運動的的初始條件為： 初位移： 初速度： 代入式 和 得 則物塊的運動方程為 （mm)9、今有離心式自動脫水洗衣機，質量為M=2000kg，有四個垂直的螺旋彈簧支撐，每個彈簧的剛度由試驗測定為k=830N/cm，另有四個阻尼器，總的相對阻尼系數(shù)為=0.15。簡化如圖所示。洗衣機在初次脫水時以n=300r/min運行。此時衣物的偏心質量為m=13kg，偏心距為e=50cm。試計算其垂直振幅。由于結構的對稱性，在計算其垂直方向振幅時，可作為單自由度系統(tǒng)來處理。Mxkk解 偏心質量的離心慣性力在垂直方向的分量引起洗衣機機體在垂直方向上的受迫運動，其振動方程為：式中右邊分子上的為離心慣性力，為激振力頻率：系統(tǒng)的四個彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=3320N/cm，固有頻率為頻率比為這說明此時超過共振點較遠，不會發(fā)生共振。振幅為：10、為了估計機器基座的阻尼比，用激振器使機器上下振