定積分的應(yīng)用習(xí)題與答案

1、第六章 定積分的應(yīng)用（A）1、求由下列各曲線所圍成的圖形的面積 1）與 （兩部分都要計(jì)算） 2）與直線及 3），與直線 4） 5），、 求由擺線，的一拱 與橫軸所圍成的圖形的面積、 求對(duì)數(shù)螺線及射線所圍成的圖形的面積、 求由曲線和它在處的切線以及直線所圍成的圖形的面積和它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積、 由，所圍成的圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得兩旋轉(zhuǎn)體的體積、 計(jì)算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積、 計(jì)算曲線上對(duì)應(yīng)于的一段弧的長(zhǎng)度、 計(jì)算星形線，的全長(zhǎng)、 由實(shí)驗(yàn)知道，彈簧在拉伸過(guò)程中，需要的力（單位：N）與伸長(zhǎng)量（單位：cm）成正比，即：（k

2、是比例常數(shù)），如果把彈簧內(nèi)原長(zhǎng)拉伸6cm， 計(jì)算所作的功、 一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由移到時(shí)，克服介質(zhì)阻力所作的功、 設(shè)一錐形儲(chǔ)水池，深15m，口徑20m，盛滿水，將水吸盡，問(wèn)要作多少功？、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)10cm和6cm，高為20cm，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力、 設(shè)有一長(zhǎng)度為，線密度為的均勻的直棒，在與棒的一端垂直距離為單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力(B)1、設(shè)由拋物線與直線 所圍成的平面圖形為D1） 求D的面積S ;2）將D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積2、求由拋物線及所圍成圖形的面積，

3、并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積3、求由，所圍成的圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積4、求拋物線及其在點(diǎn)處的法線所圍成的圖形的面積5、求曲線在點(diǎn)處的切線MT與曲線所圍成圖形的面積6、求由拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值7、求由下列曲線所圍成圖形的公共部分的面積 1）， 2），8、由曲線所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積9、求圓心在半徑為，的圓，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀體的體積10、計(jì)算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長(zhǎng)度(C)1、用積分方法證明半徑為R的球的高為H的球缺的的體積為2、分別討論函數(shù) 在取何值時(shí)，陰影部分的面積，的和取最大值和最小值3、求曲線上的一條切線

4、，使此切線與直線， 以及曲線所圍成的平面圖形的面積最小4、半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需作多少功？第六章 定積分應(yīng)用習(xí) 題 答 案（A）1、1）， 2） 3） 4） 5）2、 3、 4、， 5、，6、 7、 8、 9、10、（其中k為比例常數(shù)）11、 12、13、取y軸經(jīng)過(guò)細(xì)直棒 (B)1、1） 或 2）2、 3、 4、拋物線在點(diǎn)處的法線方程為： ，以下解法同第一題5、MT：，切線MT與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為， 6、提示：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦的傾角為則弦所在直線的方程為由，得兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)為所以 因?yàn)?當(dāng)時(shí) 取得最小值為1所以 當(dāng)時(shí) 過(guò)焦點(diǎn)的弦與拋物線所圍成的圖形面積最小7、1） 2）8、9、解法同題810、提示：， 聯(lián)立得交點(diǎn)，所求弧長(zhǎng)由 得于是于是得 (C)1、證明：此處球缺可看作由如圖陰影（圖的一部分）繞y軸旋轉(zhuǎn)而成所以2、解： += ，得駐點(diǎn)易知 ， 3、解：設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，易得曲線于該點(diǎn)處的切線方程為： 即得其與， 的交點(diǎn)分別為，于是由此切線與直線， 以及曲線所圍的平面圖形面積為： 問(wèn)題即求的最小值令 得唯一駐點(diǎn) 且為唯一極小值所以 當(dāng)時(shí)，S最小即所求切線即為： 4、如圖：以水中的球心為原點(diǎn)，上提方向作為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系易知任意段薄片在提升過(guò)程