2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案8

1、2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第二試 （A）一（本題滿分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.（1）證明：P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）如果AB恰好為P的直徑且，求和的值.解: （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，.設(shè)P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)AOBOCOD，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1). （2）因?yàn)锳BCD，如果AB恰好為P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即. 又，所以，解得. 二（本題滿分25

2、分）設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是ADC、BDC的內(nèi)心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，F(xiàn)AB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因?yàn)镋為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以.連接D、D，則D、D分別是ADC和BDC的平分線，所以DCDADCDB45，故D90，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件： 證明：以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.證法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 證法2 結(jié)合式，

3、由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即. ， 所以或或.結(jié)合式可得或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 第二試 （B）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二 （本題滿分25分） 已知ABC中，ACB90，AB邊上的高線CH與ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EFAB. 解 因?yàn)锽N是ABC的平分線，所以.又因?yàn)镃HAB，所以，因此. 又F是QN的中點(diǎn)，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓. 又，所以FCFH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上. 同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同. 三（本題滿分25分）已知為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件： 是否存在以為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將兩式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90.解法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得 又