第1章矢量與張量

1、張量分析張量分析Tensor Analysis 自從愛因斯坦自從愛因斯坦1915年發(fā)表廣義相對論的著名論文以來，年發(fā)表廣義相對論的著名論文以來，張量分析在理論物理中占有突出重要的地位。以后張量分析張量分析在理論物理中占有突出重要的地位。以后張量分析在理論物理學(xué)發(fā)展中起了重要作用。同時，反過來，來自物在理論物理學(xué)發(fā)展中起了重要作用。同時，反過來，來自物理學(xué)（相對論，場論）的概念也促進了張量分析的發(fā)展。理學(xué)（相對論，場論）的概念也促進了張量分析的發(fā)展。 近二十年來連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的發(fā)展又重復(fù)著同一歷史。近二十年來連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的發(fā)展又重復(fù)著同一歷史。今今天不熟悉張量分析的人閱讀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的文獻是困難的

2、，天不熟悉張量分析的人閱讀連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的文獻是困難的，有時甚至是不可能的有時甚至是不可能的。張量分析與微分幾何學(xué)的一些分支已。張量分析與微分幾何學(xué)的一些分支已經(jīng)滲透到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中來。正如經(jīng)滲透到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中來。正如Flgge所說，有了張量分所說，有了張量分析，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)就如魚得水析，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)就如魚得水。 教材：教材：張量分析張量分析黃克智、薛明德、陸明萬，清華大學(xué)出版社黃克智、薛明德、陸明萬，清華大學(xué)出版社內(nèi)容安排：內(nèi)容安排：1. 矢量和張量矢量和張量2. 二階張量二階張量3. 張量函數(shù)張量函數(shù)4. 曲線坐標(biāo)張量分析曲線坐標(biāo)張量分析5. 曲面上的張量分析曲面上的張量分析 張量對參數(shù)張

3、量對參數(shù) t 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)張量分析在固體力學(xué)中的應(yīng)用舉例張量分析在固體力學(xué)中的應(yīng)用舉例要求：掌握一定的計算能力，一定量作業(yè)，選擇講解要求：掌握一定的計算能力，一定量作業(yè)，選擇講解考核：開考核：開(閉閉)卷考試卷考試 信箱：/ 用戶： 密碼：zhoucw第1章 矢量與張量 1.1 矢量及代數(shù)運算39812.3.1.,1.1.1uvvuu v w 0uvw一些物理量，由分量組成（速度、力個分量；應(yīng)力、應(yīng)變個分量；彈性系數(shù)、柔度系數(shù)個分量），物理量本身是個客觀量，不隨觀察者的觀察角度而變，但其分量在不同的坐標(biāo)系相同的模，相同的方向中取不同的。一個矢量值。平移后這個矢量不變。黑體字表示矢量， 模表示長

4、度相等 矢量和矢量和 交換律: 結(jié)合律矢量()()uvwuvw: 12121()5.: (),() ()6., ,7.IIIiiiababaaaa baba aaawuvw uw vuuuuvuvuuu uuu0u vv u線性相（無）關(guān)：是（否）存在一組非全為零的數(shù)，使 交換律: 分配律: 正定性數(shù)乘分配律結(jié)合律:線性相（無）關(guān)點積 : Schwartzu u0u u0u0u vuv，若 不等式: 8.sin( , );,xyzxyzuuuvvv ijkwuvuvu vu vu vuvvuuvwuvuwuvwu w vu v wuvwuvw組成的平行四邊形面積 交換律: 分配律： 三重積：

5、無結(jié)合律：叉積 作業(yè)練習(xí) ； 9. , , , , , , ,xyzxxxxyzyyyxyzzzzuuuuvwvvvuvwwwwuvw u v wu vwuvwu v wv w uw u vv u wu w vw v uu uu vu wu v wu v wv uv vv ww uw vw w 混合積 2221.2cos1.1.2cababC舉例2.coscoscossinsincos A求證 3.用矢量叉積表示剛體上任一點的線速度1.2 斜直角坐標(biāo)系1212212121Einstein1.2.1xxPPPPggPgggg坐標(biāo)系下的基矢 （不一定是單位矢） 、 平面問題求和約定：啞指標(biāo)，上、下

6、成對出現(xiàn)，遍歷求和 PPPPPPgggPgggP ggP gee定義對偶參考矢量：協(xié)變基矢量，逆變分量（ 逆變基矢量，協(xié)變分量（）笛卡爾坐標(biāo)系：，不用區(qū)分上、下指標(biāo)， ）1231231.2.2iiiiiirrrrddxxxrggggrrrg矢徑 協(xié)變（自然）基矢量的定義：定義： ，三維問題123,jjiigg gggg（正實數(shù)） 逆變基矢量的定義: 1231231cos11,iigggg ggg gg 1232331122331121231111()iiijijijjjijjiijijijijjiiijijjijggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg

7、ggg在 系下分解：度量張量在 系下分解：度量張量協(xié)、逆變坐標(biāo)系之間的相互表示: 由定義 由度量張量進行指標(biāo)升降將 ，將 ， （）)，22123123(4)23 det(),det(),1,kjjkjikiikijijijiikmijkjjmnmijlknmijlkg gggggggpppg ppgpu vu vuv gu v gg gggggPggu v矩陣互逆（ ）（ ）1.3 曲線坐標(biāo)系ix1.3.1 曲線坐標(biāo)系與局部基矢量1. P點位置用固定點O至該點矢徑 r 表示；2. r 可由 3 個獨立參數(shù)確定： 與空間所有點11對應(yīng)， 就是曲線坐標(biāo)系； 不是 r 在在固定坐標(biāo)系中的投影長度 ：

8、 與 1-1對應(yīng)：123(,)x x xrrix()ix()ix()ix123123()()()iiiXxXxXxxxxrijkijk()iX()jkXxdet0,det0ijijXxxX01231235.lim6.iiiiiiiixiiiiiiiijjddxdxxxxXXXxxxxxxxXXX rrgrrgggijkgijk曲線坐標(biāo)系基矢量定義大小、方向均隨空間位置變化7. 與笛卡爾坐標(biāo)系之間的關(guān)系：12312312312312,sincossinsincosxrxxxxxxxxxxxxxrijkijk 22221221221.1.3am0amijijiiiggdsddAdxA dxA dx

9、Agrr正交系中線元的長度平方正交曲線坐標(biāo)系與 L常數(shù)： L常數(shù)1.4 1.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.2jjiiiijjjkkikkijijiiijijijijijjiijiijiijiijjjxxxxuuuuu ugggggggggggg協(xié)變轉(zhuǎn)換系數(shù)：逆變轉(zhuǎn)同一物理量，在不同坐標(biāo)系換系數(shù)：中分量不同，研究分量之間的關(guān)系基矢量的轉(zhuǎn)換關(guān)系，矢量分量的轉(zhuǎn)換系數(shù)1.4.3,jiijjijjiijkli jijkli jijklkluuuuugggg ，度量張量分量的轉(zhuǎn)換系數(shù)1.5 1.5 并矢與并矢式并矢與并矢式 n2Proj()()()();():1.5.11fff n nn n

10、ff nnn n fnn fabTTabcc a b = c aba b c = ab cabcfn舉例：界面單位面積上的力矢量 與內(nèi)力狀態(tài)和切面 均有關(guān) （ ） 對截面的拉伸作用： 定義： 并矢，的分量為 、 分量遍歷互乘，擴維。對于任意矢量 有： 多并矢并矢 （）()()(); ()()(); ()()Tmmmmdaba bababab ca bcabca bcabacab cdacadbcbdabbaabba 結(jié)合律: 分配律: 無交換率：， (,:1.5.2 =)1.5.3,ijkijkAa db cu abu a b ab ua b uu abab uab uvb u avab uv

11、abuvaabcda bcda b cdA abcda d bc ：并矢中，某兩個矢量進行點積 縮維，新分量乘系數(shù)：原并矢分量的和 并矢與矢量點積： 并矢與并矢點積： 并矢并矢雙點積：縮并 縮并并矢的點積與雙點積1.5.4ub vab uvabuva vb u矢量相等：其分量在同一組基下必然相等 并矢相等：其分量在同一組基下必然相等 并矢相等 1.6 張量的基本概念 9,.2ijmniii jijmnmnmni jijmniinmjmjnT i jT ijT ijm nxxTTTTTT T，若干個分量(如 個)組成的集合，坐標(biāo)變換時分量滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系: 下，分量為，在坐標(biāo)系下，分

12、量為之間滿足： 逆變分量： 協(xié)變分量： 混變分量： 實體表示： ； 分量表示：張量定義表示方法1.6.3iijjjiijijijijTTGGg gGg gg g； 并矢表示：度量張量： 定義： 指標(biāo)升降 2123,1/ijjiijjijkkiiiijijjjijijijijiijjjiijGGGGG GGGGGgGGGGggggggg 性質(zhì)： 在斜直線坐標(biāo)系中是常數(shù)，在曲線坐標(biāo)系中是坐標(biāo)的函數(shù)。 對稱： 互逆： 行列式值： 指標(biāo)升 降 基矢量指標(biāo)升 降：， （度量張量的元素實際上就是協(xié)、逆基矢量相互線性分解的系數(shù)） 矢量、/ijiijiijjjjiijimjnijnmjijimnjimnnmn

13、jnimnmimjpppG ppG pTT GGT G GTTG G TPggTg gggg gg g分量指標(biāo)升 降：， 張量分量指標(biāo)升 降： 1.7 張量的代數(shù)運算ijijijiiiijijijjjjjkkiiiijijjjijijiiijijjjUTSUTSUTSG GGGTSTSTSUTSTTS 相等：，在同一坐標(biāo)系中的逆變（協(xié)變、混變）分量一一相等。 相加：，在同一坐標(biāo)系中的逆變（協(xié)變、混變）分量一一相加。 互逆： 標(biāo)量與張量相乘：、ijijiiijijjji jlijjijlkijlki jlkkkijklkijlkijlkTkSTkSTkSUT STST SUTSUTSTSSTUg

14、 gg gg g g gg g g gST、 （每一個分量乘） 張量與張量的并乘：、 （并乘是擴維，新張量的分量是兩個相乘張量所有分量相乘的組合） 張量的縮并： 123123iiiikkkkijklijlkijkikklijkljikjikiSTTTTTSg g g gg gg gg g （縮并是降維，新張量的分量是原張量分量的和：）(),ijklrsttrsklijtrsr stijrskltijlsktkltijrskltijsijtklrsijtklrqklr sijtklr sijqTSUTSTSTSTSGTg g g gSg g gUg g gT Sg g g g g g gg g

15、g g gT Ug g g g g g gg g g gg 張量的點積 先并乘后縮并 ： :stijtrlksklr sijtijrskltijkltijtkltijrskltijtijijrskltijlktijtkltijrskltijtijTS GTSTSWTSTSVg gg g g g gT Sg g g g g g gg g gg g gTSg g g g g g gg g gg g g 1 21 3ijklklijjiklklijjiklklijTTTTg g g gSg g g gRg g g g 張量的轉(zhuǎn)置：、指標(biāo)轉(zhuǎn)置：、指標(biāo)轉(zhuǎn)置： ( , , , ,)01212ijklkli

16、jijjiklklijjiiiklklklTTT i j k l mqTTTTTT Tg g g gATTBTT設(shè)一組數(shù)的集合如果與任意一個階張量的內(nèi)積（縮并） 對稱化和反對稱化： 對稱： 反對稱： （反對稱張量中，對角分量為零：）對稱化： 反對稱化： 商法則： ， 3311 ( , , , ,)( , , , ,)( , , , ,)lmijkijklmlmpT i j k l m SUUT i j k l m ST i j k l mqp 為一個階張量：即必定組成一個 階張量。 ， 1.8 張量的矢積1.8.1 置換符號與行列式展開式置換符號（Ricci）符號-用于指標(biāo)輪換 不是張量的分量

17、 （分量值不隨坐標(biāo)改變而變化） 對任意兩個指標(biāo)反對稱 2. 表示行列式展開 （下標(biāo)按1-2-3排列時，上標(biāo)按順序為“”，按逆序為“”）序序,0,1,1非逆順序kjikjikjieeijkijk111123222123123123333123det()iiijkijkjjijkijkaaaaaaaaa a a ea a a eaaaa 行列式列重排 行列式行列均重排 矢量叉乘 （al、bm、in 按順序為“”，按逆序為“”） lmnijkknjmilnmlnmlnmlaeeaaaaaaaaaaaa333222111lmnijkknkmkljnjmjlinimileaeaaaaaaaaa12312

18、3123lmnlmna a aab eb b bi i iabi4. 混合積 ijkkjiewvuwwwvvvuuu321321321wvuwvuwv,u,1.8.2 置換張量（Eddington張量）度量張量的行列式置換張量 2123123,1lijijlmnlmnmnlmnlmnlmnGGgeggeeggggi ,i ,ig ,g ,gg ,g ,gg ,g ,g 1ijkijkijkijkijkijkijkijkgeg eg g gg g gg g gg g g 是張量 用于基矢量互相表示3. 廣義 Kronecker 符號 有6個自由指標(biāo)，是6階張量 前式：上、下指標(biāo)均順序，后式：上指標(biāo)均順序，下指標(biāo)逆序） 只有和均為順或逆序時非零，且及同為順序或逆序為1，否則為-1 kijijkijijkkgggggg,ijkkkjjiikjikkjjiikkkjjjiiikjikj i ggggggggg,ijkrrrijkijkijkij