第4章-多項(xiàng)式插值方法

1、14.1 引言引言 4.2 Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.4 分段低次插值分段低次插值2則稱則稱P(x)為為f (x)的的插值函數(shù)插值函數(shù)。這時(shí)，我們稱。這時(shí)，我們稱a,b為為插值插值區(qū)間區(qū)間， 稱稱 為為插值節(jié)（結(jié)）點(diǎn)插值節(jié)（結(jié)）點(diǎn)，稱（，稱（4-14-1）為）為插值條件插值條件，f (x)為為被插函數(shù)被插函數(shù)。求插值函數(shù)。求插值函數(shù)P(x)的方法稱的方法稱為為插值法插值法。 4.1 4.1 引言引言 定義定義 4.14.1 設(shè)設(shè) y= f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在a,b內(nèi)內(nèi)n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)個(gè)互不相同的點(diǎn) 上取上取

2、值值 。如果存在一性態(tài)較好的簡單函數(shù)。如果存在一性態(tài)較好的簡單函數(shù)P(x)，使，使得得 010,()nnxxxaxxb 01,nyyy()(0,1,)(41)iiP xyin01,nxxx3 從幾何上看，插值法就是確定一個(gè)簡單曲線從幾何上看，插值法就是確定一個(gè)簡單曲線為為y=P(x) ，使其通過給定的，使其通過給定的 n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) ， 并用它近似已知曲線并用它近似已知曲線 y=f (x).(,),0,1,iixyin 圖圖2-12-14 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)P(x)為次數(shù)不超過為次數(shù)不超過n次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值；當(dāng)；當(dāng)P(x

3、)為三角多項(xiàng)式為三角多項(xiàng)式時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為三角插值三角插值；當(dāng)；當(dāng)P(x)為分段解析為分段解析函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值法稱為分段插值分段插值。其中三角插值。其中三角插值主要用于處理周期函數(shù)。本章僅介紹最基本的多項(xiàng)式主要用于處理周期函數(shù)。本章僅介紹最基本的多項(xiàng)式插值插值。 定理定理 4.14.1 在在 n+1 個(gè)互異點(diǎn)個(gè)互異點(diǎn) 上滿足插上滿足插值條件值條件 (4-1) 的次數(shù)不超過的次數(shù)不超過n次的插值多項(xiàng)式次的插值多項(xiàng)式Pn(x) 存在且存在且惟一惟一。 01,nxxx5記實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式記實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 0( )(42)nknkkP xa x 即有即有 0

4、000111111(4 2)1nnnnnnnayxxayxxayxx 10110(,)()0ninnijijAVxxxxx 因因所以，解存在且惟一，這說明由式所以，解存在且惟一，這說明由式 (4-2) 表示的表示的 Pn(x)存在且惟一，證畢。存在且惟一，證畢。 證明：證明：64.2 Lagrange4.2 Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.2.1 4.2.1 線性插值與二次插值線性插值與二次插值 設(shè)給定函數(shù)設(shè)給定函數(shù) 兩點(diǎn)兩點(diǎn) ， 經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)過這兩點(diǎn)的多項(xiàng)式插值就是直線多項(xiàng)式插值就是直線( )yf x0011(,),(,)xyxy011010110( )xxxxL xyyxxxx

5、 稱給定稱給定 為線性插值多項(xiàng)式。稱為線性插值多項(xiàng)式。稱為關(guān)于點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn) 的線性插值基函數(shù)，其在節(jié)點(diǎn)處滿足的線性插值基函數(shù)，其在節(jié)點(diǎn)處滿足：1( )L x01,xx01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx 1,()0,ijijl xij 7 4.2.1 4.2.1 線性插值與二次插值線性插值與二次插值 假定插值節(jié)點(diǎn)為假定插值節(jié)點(diǎn)為 ， ， ，要求二次插值多項(xiàng)式，要求二次插值多項(xiàng)式2x1x0 x),(2xL 幾何上幾何上 是通過三點(diǎn)是通過三點(diǎn) 的拋物線的拋物線. .)(2xL),(),(),(221100yxyxyx).2, 1,0()(2 jyxLjj 可以用基函數(shù)的方法求可以用

6、基函數(shù)的方法求 的表達(dá)式，的表達(dá)式，)(2xL),(0 xl),(1xl)(2xl是二次函數(shù)，是二次函數(shù)，);2, 1(,0)(, 1)(000 jxlxlj);2,0(,0)(, 1)(111 jxlxlj).1 ,0(,0)(, 1)(222 jxlxlj8 4.2.2 4.2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 1(),0,1,(44)0ijijijl xi jnij 0()naxxb 解解 的零點(diǎn)為)(,110 xlxxxxiniinjijjixxxl0)()(中含有因式而此因式已為而此因式已為n次多項(xiàng)式，故應(yīng)有次多項(xiàng)式，故應(yīng)有為待定系數(shù)injijjiiAxxAxl0)()(),

7、 1 , 0()(nixli求的求的n+1個(gè)次數(shù)個(gè)次數(shù) 次的插值多項(xiàng)式次的插值多項(xiàng)式滿足滿足 n901()()niiiijj ijl xAxx 再由 01()inijj ijAxx 得得00 1()( )(, , )()njij iijjxxl xinxx 00045( )( )()nnnjni iiiij iijjxxLxy l xyxx 稱為稱為n次拉格朗日（次拉格朗日（LagrangeLagrange）插值基函數(shù)）插值基函數(shù)或稱為或稱為拉格朗日基本插值多項(xiàng)式拉格朗日基本插值多項(xiàng)式。( (據(jù)之，我們可構(gòu)造據(jù)之，我們可構(gòu)造多項(xiàng)式多項(xiàng)式 10它稱為它稱為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。次拉格朗日插值多

8、項(xiàng)式。 引進(jìn)引進(jìn) n+1 次與次與n n次多項(xiàng)式函數(shù)為次多項(xiàng)式函數(shù)為10( )()(4.2.10)nnjjxxx 1( )( )/()inixxxx 0( )( )()niniiiixLxyx n次拉格朗日插值多項(xiàng)式可表示為次拉格朗日插值多項(xiàng)式可表示為11誤差估計(jì)定理誤差估計(jì)定理 注注 （1 1）余項(xiàng)公式主要用于理論分析。實(shí)際使用時(shí)，代）余項(xiàng)公式主要用于理論分析。實(shí)際使用時(shí)，代 之以誤差估計(jì)式之以誤差估計(jì)式 11( )( )(1)!nnnMRxxn 4.2.2 4.2.2 插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)與誤差估計(jì) 定理定理4.2 設(shè)設(shè)f(x)的的n+1階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 在在a,b存在，存在，則對任何則

9、對任何 ，插值余項(xiàng)滿足，插值余項(xiàng)滿足(1)1( )( )( )( )( ), , (1)!nnnnfRxf xLxxxa bn ( )( , ).xa b 其其中中(1)( )nfx a,bx 12 （2 2）插值節(jié)點(diǎn)的選取應(yīng)盡量靠近插值點(diǎn)，以使）插值節(jié)點(diǎn)的選取應(yīng)盡量靠近插值點(diǎn)，以使 盡可能小，以減小誤差。盡可能小，以減小誤差。 )(1xn(1)( )=(),( )0,knf xxknfx 若若那那么么 0( )( )0,nkkniiiRxxx l x 0( ),0,1, .nkkiiix l xxkn 0( )1.niil x 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k=1時(shí)時(shí)13例例4.14.1：已知函數(shù)：已

10、知函數(shù) x -1 0 1 y 1.25 0.75 1.25 2L ( )x求求3001122( )( )( )( )P xlx ylx ylx y 解解：1200102()()1( )(1)()()2xxxxlxx xxxxx 而而0211012()()( )(1)(1)()()xxxxlxxxxxxx 0122021()()1( )(1)()()2xxxxlxx xxxxx 142001122012( )() ( )() ( )() ( )1.25 ( )0.75 ( )1.25 ( )L xf x lxf x lxf x lxlxlxlx 255(1)0.75(1)(1)(1)883142

11、x xxxx xx 15例例 4.2 給定函數(shù)表給定函數(shù)表試分別用線性插值和拋物插值求試分別用線性插值和拋物插值求ln 1.46的近似值并估計(jì)誤差。的近似值并估計(jì)誤差。 x1.21.31.41.51.61.7lnx0.1823220.2623640.3364720.4054650.4700040.530628解解作線性插值作線性插值 得得010110101)(xxxxyxxxxyxL 377868. 05 . 1ln4 . 15 . 14 . 146. 14 . 1ln5 . 14 . 15 . 146. 146. 1ln 414 . 125 . 14 . 121012. 6)5 . 146.

12、 1)(4 . 146. 1(! 251002. 05102. 01)(lnmax RxxMxx誤誤差差為為16378402. 06 . 1ln)5 . 16 . 1)(4 . 16 . 1 ()5 . 146. 1)(4 . 146. 1 (5 . 1ln)6 . 15 . 1)(4 . 15 . 1 ()6 . 146. 1)(4 . 146. 1 (4 . 1ln)6 . 14 . 1)(5 . 14 . 1 ()6 . 146. 1)(5 . 146. 1 (46. 1ln 37843643.046.1ln 精精確確值值為為7289.02 )(lnmax4 .135,14 .13 xx

13、xxM52101 . 4)6 . 146. 1)(5 . 146. 1)(4 . 146. 1(! 37289. 0 R誤誤差差為為 作拋物插值作拋物插值 6 . 15 . 14 . 1210 xxx取取)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL 174.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式問題：利用插值基函數(shù)得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式有何優(yōu)問題：利用插值基函數(shù)得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式有何優(yōu)缺點(diǎn)？缺點(diǎn)？優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)緊湊，便于理論分析，易于編程求解。優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)緊湊，便于理論分析，易于編程求解。

14、缺點(diǎn)：當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，缺點(diǎn)：當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化整個(gè)公式也將發(fā)生變化. .問題：如何改進(jìn)？問題：如何改進(jìn)？184.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.3.1 4.3.1 均差的定義和性質(zhì)均差的定義和性質(zhì)定義定義：稱 為函數(shù) 關(guān)于點(diǎn) 的一階均差一階均差. 100110()(),fxfxfxxxx )(xf01,xx120101220,fxxfxxfxxxxx 稱為 關(guān)于點(diǎn) 的二階均差二階均差.)(xf012,xx x 一般地，稱11011010,nnnnnfxxxfxxxfxxxxx 為 的 階均差

15、階均差n)(xf（均差也稱為差商差商）.194.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 4.3.1 4.3.1 均差的定義和性質(zhì)均差的定義和性質(zhì)利用如下均差表來計(jì)算均差：利用如下均差表來計(jì)算均差：0011012212012332312301234434234123401234()1st2nd3rd4th()(),(),(),(),kkxf xxf xxf xf xxxf xf xxf xxxxf xf xxf xxxf xxxxxf xf xxf xxxf xxxxf xxxxx 表21均差均差均差均差（）（）（）（）20解解 根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表

16、 給出給出 的如下函數(shù)表，的如下函數(shù)表，由此計(jì)算由此計(jì)算 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)0,2,4,80,2,4,8的三階均差的三階均差 . .()fx()fx例例9 9-39-39-3-310108 84 42 20 0kx)(kxf-2.875-2.875-18-18-39-394 40.9843750.9843755 512129 98 8-6.5-6.5-3-32 210100 0三階均差三階均差二階均差二階均差一階均差一階均差kx)(kxf0, 2, 4, 8f21均差的性質(zhì)：均差的性質(zhì)：時(shí)恒為零。次多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)為當(dāng)階均差函數(shù)次多項(xiàng)式，則其為若）（nkknnkxxxPknxPknn,)(210的任一排

17、列），為排列順序無關(guān)，即有由此知，均差與節(jié)點(diǎn)的kiiixxxfxxxfxxxfxxxfkiiikkikjijjiikk10,(,)124()()(,) 1 (1010001010這性質(zhì)又稱為均差關(guān)于自變量的對稱性均差關(guān)于自變量的對稱性。22 根據(jù)均差定義，把根據(jù)均差定義，把 看成看成 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，x ,a b000,()()(),fx xfxfxxx 010001011012212,(),(),fxxxxfxxfx xxfx xfx xxxxfxxxxx 010101 , ,().nnnnf x xxf xxxf x xxxxx 可得可得4.3 Newton4.3 Newton插值多項(xiàng)式插

18、值多項(xiàng)式 4.3.2 Newton4.3.2 Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式23只要把后一式代入前一式，就得到只要把后一式代入前一式，就得到 0010( )(),()f xf xf xxxx 01201,()()f xxxxxxx ( )( ),nnNxRx 0010()(),()nNxfxf xxxx 01201,()()f xxxxxxx 其中其中 0101,()()nnf xxxxxxx 01 ,( )nnf x xxx 0101,()(),nnf xxxxxxx 4.3.2 Newton Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式2401( )( )( ) ,( ),nnnnR

19、xf xNxf x xxx （*） 是同是同LagrangeLagrange余項(xiàng)定義的余項(xiàng)定義的. )(1xn 顯然，由確定的多項(xiàng)式顯然，由確定的多項(xiàng)式 滿足插值條件滿足插值條件，()nNx且次數(shù)不超過且次數(shù)不超過n n 的多項(xiàng)式，其所給出形式的系數(shù)為的多項(xiàng)式，其所給出形式的系數(shù)為00 1,(, , ).kkaf xxkn 稱稱 為為牛頓（牛頓（NewtonNewton）均差插值多項(xiàng)式）均差插值多項(xiàng)式. ()nNx 系數(shù)系數(shù) 就是均差表就是均差表4-14-1中主對角線上的各階均差，中主對角線上的各階均差，它比拉格朗日插值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì)它比拉格朗日插值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì).ka 4

20、.3.2 Newton Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式25 但（但（3.73.7）更有一般性，它在）更有一般性，它在 是由離散點(diǎn)給出的是由離散點(diǎn)給出的情形或情形或 導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)也是適用的導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)也是適用的. .ff （* *）為插值余項(xiàng)，由插值多項(xiàng)式惟一性知，它與）為插值余項(xiàng)，由插值多項(xiàng)式惟一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)應(yīng)該是等價(jià)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)應(yīng)該是等價(jià)的. . 事實(shí)上，利用均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系式就可以證明事實(shí)上，利用均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系式就可以證明這一點(diǎn). 牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)還在于它的遞進(jìn)性，當(dāng)增加牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)還在于它的遞進(jìn)性，當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要在原來插值多

21、項(xiàng)式的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要在原來插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)即可即可.),(,)()()(10 xxxxfxNxfxRnnnn（3.7） 4.3.2 Newton Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式26例例4.3：已知：已知x0.400.550.650.800.901.05y0.410750.578150.696150.888111.026521.25386。計(jì)計(jì)算算試試?yán)糜?。?jì)計(jì)算算求求)596. 0()()2()596. 0(),()1(25fxNfxN270 0.40 0.410751 0.55 0.57815 1.11602 0.65 0.69615 1.1860 0

22、.28003 0.80 0.88811 1.2757 0.3583 0.1974 0.90 1.02652 1.3848 0.4336 0.214 0.0345 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.034 0 k xk yk 一階一階 二階二階 三階三階 四階四階 五階五階 )80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(034. 0)65. 0)(55. 0)(40. 0(197. 0)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(5 xxxxxxxxxxxN63192.0)596.0()596.0(5 Nf

23、6320. 0)596. 0()55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(22 NxxxxN解解: (1)(2)與與0.596最接近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)最接近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)65. 055. 040. 0210 xxx28例例 4.4 給定表格函數(shù)給定表格函數(shù) x12345f(x)0.50.1751.31-1.49510.36 （1）試用二次牛頓均差插值法求）試用二次牛頓均差插值法求 f (2.8) 的近似值；的近似值； （2）設(shè)）設(shè) f (x)=-1.166 已知，試用（已知，試用（1）中構(gòu)造的插值多項(xiàng)）中構(gòu)造的插值多項(xiàng) 式求式求 x 的近似值。的近似值。172

24、8. 0)2 . 1()2 . 0(8 . 09 . 0)48 . 2)(38 . 2)(28 . 2(1 , 4 , 3 , 2)8 . 2()8 . 2(3982. 1)38 . 2)(28 . 2(97. 1)28 . 2(135. 1175. 0)8 . 2(22 fNfN解解 (1) 選取節(jié)點(diǎn)選取節(jié)點(diǎn)x=2,3,4)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN k xkf (xk)一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差020.1751.135-1.97-0.9131.31-2.0805-1.0724-1.495-0.665310.529929.

25、342647. 1929. 30749.12985.1097. 1166. 1)3(297. 12135. 1175. 0)2(212 xxxxxxxx故故所所求求解解為為，舍舍去去），（超超出出區(qū)區(qū)間間，解解得得整整理理得得）（）（由由30解 由于是由于是3 3次函數(shù)次函數(shù), ,所以取靠近所以取靠近0.450.45的的4 4個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生均差表個(gè)點(diǎn)產(chǎn)生均差表. . 例4.5 根據(jù)給定數(shù)據(jù)根據(jù)給定數(shù)據(jù)( (見課本第見課本第6565頁的表頁的表) )，用，用3 3次牛頓插值次牛頓插值多項(xiàng)式計(jì)算多項(xiàng)式計(jì)算 f(0.45)(0.45)的近似值的近似值, ,并估計(jì)近似誤差并估計(jì)近似誤差. . 4.3.2 N

26、ewton4.3.2 Newton均差插值多項(xiàng)式均差插值多項(xiàng)式 一階一階 二階二階 三階三階 0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000()iixf x313(0.4( )0.5( 0.540900)(0.6)(0.000001.8871)785(0.2)6360Nxxxx 于是于是 4(0.45)(0.45)0.985114fN 按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入得按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入得32為了估計(jì)誤差，增加一個(gè)靠近為了估計(jì)

27、誤差，增加一個(gè)靠近0.450.45的插值點(diǎn)的插值點(diǎn)0.00.0，在均差，在均差表后加一行（均差與節(jié)點(diǎn)排列無關(guān)）表后加一行（均差與節(jié)點(diǎn)排列無關(guān)）. . 一階一階 二階二階 三階三階 四階四階 0.2 0.587785 0.4 0.951057 1.816360 0.6 0.951057 0.00000 -4.540900 0.8 0.587785 - 1.816360 -4.540900 0.00000 0.0 0.000000 0.734733 -4.251817 -0.722708 3.613540()iixf x33因此，截?cái)嗾`差因此，截?cái)嗾`差 3044(0.45),(0.4596)0.0024.Rfxx 事實(shí)上，給定的函數(shù)是事實(shí)上，給定的函數(shù)是 因此可計(jì)算實(shí)際誤差因此可計(jì)算實(shí)際誤差 3sin 0.45(0.45)0.002574N 由此可見，誤差估計(jì)是相當(dāng)有效的。由此可見，誤差估計(jì)是相當(dāng)有效的。sinx 34 4.4 4.4 分段低次插值分段低次插值 4.4.1 Runge4.4.1 Runge現(xiàn)象現(xiàn)象問題：問題：根據(jù)區(qū)間根據(jù)區(qū)間 上給出的節(jié)點(diǎn)做出的插值多項(xiàng)式上給出的節(jié)點(diǎn)做出的插值多項(xiàng)式),(xLn,ba在次數(shù)在次數(shù) 增加時(shí)逼近增加時(shí)逼近 的精度是否也增加的精度是否也增加? ?n)(xf 事實(shí)上，對于有些函數(shù)，插值