4_集合復(fù)習(xí)課

1、課題集合的復(fù)習(xí)課學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)熟悉了集合的含義表示方法，集合間的基本關(guān)系以及集合的基本運(yùn)算，但是 對(duì)集合的相關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用沒(méi)有充分掌握教學(xué)目標(biāo)與考點(diǎn)分析能力目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：情感目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)八、教學(xué)方法講授法、講練結(jié)合教學(xué)過(guò)程知識(shí)網(wǎng)絡(luò)本單元主要介紹了以下三個(gè)問(wèn)題：1, 集合的含義與特征。2,集合的表示與轉(zhuǎn)化。3,集合的基本運(yùn)算集合的含義與表示（含分類）1, 具有共同特征的對(duì)象的全體，稱一個(gè)集合2,集合按元素的個(gè)數(shù)分為:有限集和無(wú)窮集兩類3,集合的表示列舉法（含全部列舉、中間省略列舉、端省略列舉） 描述法（含文字描述與屬性描述兩類）圖示法（目前含數(shù)軸表示、直角坐標(biāo)表示、Ve加圖表示）符號(hào)表示法

2、（含數(shù)集符號(hào)簡(jiǎn)記與區(qū)間）二集合表示法間的轉(zhuǎn)化列舉法T具體化文字描述法悉化屬性描述法 簡(jiǎn)單化-符號(hào)表示法I直觀化圖示法高中數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵也是這“四化”三集合的基本運(yùn)算1, 子集：A GB定義為，對(duì)任意 xWA,有xeB,表現(xiàn)圖為A在B中包含著2, 補(bǔ)集：CUA=xlxWU.且x EA,表現(xiàn)圖為整體中去掉A余下的部分3, 交集：AC!B=xlxGA,且xWB,表現(xiàn)圖示為 A與B的公共部分4, 并集：AUB=xlxe A,或xWB,表現(xiàn)圖示為 A與B合加在一起部分說(shuō)明：1,有限集合元素個(gè)數(shù)由容斥原理確定2,集合運(yùn)算多數(shù)情況下是自定義的（自己人為規(guī)定）運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集定義由所有屬于A且屬于 B的元

3、素所組成的集 合，叫做A,B的交集.記作ApB（讀作'A交B，）,即 Ap|B=xlxwA, JL xeB.由所有屬于集合 A或?qū)?于集合B的元素所組成 的集合，叫做 A,B的并 集.記作：AUB （讀作'A并B'）,即 AljB=xlxw A,或 xeB）.設(shè)S是一個(gè)集合，A是S 的一個(gè)子集，由 S中所 有不屬于A的元素組成 的集合，叫做S中子集 A的補(bǔ)集（或余集）記作CsA,即CsA=xlxeS,JLxA A韋恩 圖示i亀(1圖qcc氐性質(zhì)Ap|A=A Ad “Ap|B=Bn A AflBcAACIB GBaUa=a aU o=a aUb=bU A AUBn A A

4、UbAb(CuA) n (C uB) = Cu( AUB) (CuA) U (C uB) = Cu( AAB)AU (CuA)=U AH(CuA)=.容斥原理有限集 A的元素個(gè)數(shù)記作card(A).對(duì)于兩個(gè)有限集 A, B,有 card(A U B)= card(A)+card(B)- card(A Q B).練習(xí)題例1給岀下列說(shuō)法：方程 Vx-2 +1 y+21 =0的解集為- 2, 2;集合(y ly=x 2-i, xe R與集合y|y=x-l,xWR的公共元組成的集合為0, -1;區(qū)間(一,1)與(a, +-)無(wú)公共元素。其中正確的個(gè)數(shù)為例 2:已知集合 M=xlx=3m+1 ,mZ,

5、N=yly=3n+2,n WZ, 若 x° WM,yoWN,貝U x°yo 與集合 M、N 的關(guān)系是 o例3:已知集合a=x|A 士 £_是單元素集，用列舉法表示 a的取值集合B%2 -2例4,設(shè)M= z |z=x 2-y2, x> yGZ,試驗(yàn)證5和6是否屬于M?關(guān)于集合 M,還能得到什么結(jié)論。例 5:全集 U=xx<Q, xAN +, AP, BcU, (C uB) CA=1, 9, ACB = 3, (0A4)0(2 昇)= 4, 6, 7,求 A、Bo例 6:已矢口 4= xl-2<x< 1 或 x> 1, AUB= xx +

6、 2>0, AAB= xl <x W 3,求集合 B。例7:滿足關(guān)系1,2 eA £1, 2, 3, 4, 5的集合A共有 個(gè)。例8、已知50名同學(xué)參加跳遠(yuǎn)和鉛球兩項(xiàng)測(cè)驗(yàn)，分別及格人數(shù)為40、31人，兩項(xiàng)均不及格的為4人，那么兩項(xiàng)都及格的為 人。思、考題2:設(shè)M=1.2,3. ? ,1995, A是M的子集且滿足條件：當(dāng)xe A時(shí)，15xA4,則A屮兀素的個(gè)數(shù)最多是 。例 9:設(shè) U=1,2, 3, 4, 5,且 ACB=2, (CuA) nB=4, (C uA) n(CvB)=l, 5,則下列結(jié)論正確的是()A. 3GA, 3GB B. 2G CuA, 3GBC. 3e

7、 CliB, 3eA D. 3e CuA, 3e CvB例 10：已知全集 11 =只，集合 A=xlx 2-x-6v0, B= X|X2+2X_8>0, C=xlx 2-4ax+3a2<0,試求a的取值范圍，使 ACBgC ；試求a的取值范圍，使CuAC'CuBAC例 11:已知集合 A=xlx?+4ax-4a+3=0, B= xlx2+(a-l)x+a 2=0, C=xb?+2ax-2a=0,其中至少有一個(gè)集合不是空集，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.三、追蹤訓(xùn)練1. 設(shè) U=xl0<x<10, xWN+, 若 AAB=3,(導(dǎo))門 4=1, 5, 7, (CAA)

8、A(CAB)=9,求集合A, B.2. 某校有A、B兩項(xiàng)課外科技制作小組，50名學(xué)生中報(bào)名參加 A組的人數(shù)是全體學(xué)生人數(shù)的3/5,報(bào)名參 加B組的人數(shù)比報(bào)名參加 A組的人數(shù)多3人，兩組都沒(méi)有報(bào)名的人數(shù)是同時(shí)報(bào)名的人數(shù)的1/3還多1人，求同時(shí)報(bào)名參加A、 B兩組人數(shù)及兩組都沒(méi)有報(bào)名的人數(shù).3. 設(shè) A=xlx 2-x-2<0, B=x 収 匸y+l, yG A,求：CrB , AUB, A A CrB , Cs(Alj5)CrB n CrA4. 已知 A=xl-x 2+3x+10A0, B=xlmWxW2m-l, 若 BcA,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.四、歸納小結(jié)求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的

9、基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼岀發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn) 而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。習(xí)題答案例1,給岀下列說(shuō)法：方程A/X-2 +1 y+21 =0的解集為- 2, 2;集合y |y=x 2-l, xeR與集合y|y=x-l,xeR的公共元組成的集合為0, -1;區(qū)間(一,1)與(a, + 無(wú)公共元素。其中正確的個(gè)數(shù)為解：對(duì)于，解集應(yīng)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，錯(cuò)；對(duì)于 yly=x?T,x ? R =:_ , +g)與集合y|y=x-l, x ? R=R,公共元素不只0與-1兩個(gè)，錯(cuò)；

10、區(qū)間(-1)與(a, +8 )無(wú)公共元素取決于1與a的大小，錯(cuò)。故正確的個(gè)數(shù)是0。例 2、已知集合 M=xlx=3m+1 ,meZ, N=yly=3n+2,nWZ,若 xoAM,y °an,則 x() yo 與集合 M、 N 的關(guān)系是 o解：方法一(變?yōu)槲淖置枋龇?M=被3除余數(shù)為1的整數(shù) ,N=被3除余數(shù)為2的整數(shù),余 數(shù)為1 x余數(shù)為2 -余數(shù)為2,故x°yo ? N, x°yo電M方法二(變?yōu)榱信e法)M= ，2,1,4,7,10,13, N=-1, 2, 5, 8,11,中一個(gè)元素與 N中一個(gè)元素相乘一定在N中，故Xoyo ? N, xoyo電M方法三(直接

11、驗(yàn)證)設(shè) xo=3m+l, y o=3n+2,貝U x°yo= 9mn+ 6m+ 3n+2=3 (3mn+2m+n) +2, 故 xoyo ? N,xoyo例3,已知集合A= X| T= 1是單元素集，用列舉法表示a的取值集合B解：B表示方程-=1有等根或僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值集合。%2 - 2有等根時(shí)有：x2-x-2-a=0且X2-2*o；厶=1-4 (-a-2) =0, a=-9/4,此時(shí)x=l/2適合條件，故a 9/4滿 足條件；僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，x+a是x2-2的因式，而 ；+ ° =二十 亍,？ a= 翌.當(dāng)a= A2才-2 (x-V2)(x + V2)時(shí)，x=

12、l+VA,滿足條件；當(dāng) a=-、伍時(shí)，x=l 、任也滿足條件總之，B= -9/4, - V2 , V2例4,設(shè)M=z|z=x 2-y2,x. yWZ,試驗(yàn)證5和6是否屬于M?關(guān)于集合 M,還能得到什么結(jié)論。解：(1)5=32-2?M, 6=x 2-y2= (x-y) (x+y), x> y 不會(huì)是整數(shù)，故6 纟 M可以得到許多結(jié)論，如：因2n+l= (n+1) 2-n2,故一切奇數(shù)屬于 M;M為無(wú)限集；因 4n= (n+l) 2-(n-l)2，故 4 的倍數(shù)屬于 M;對(duì)于 a、b ? M,則 ab ? M (證明：設(shè) a=xi2-x22, b=yi 2-y22,則 ab= (xiyi+x

13、 2y2)2-2(xiy 2+x2yi) ? Mo例 5:全集 U= :xx< 10, xAN+ , Aau, ByU, (CAB) PA = 1, 9, ACB= 3, (C ”)iAC(/B)= 4, 6, 7,求4、Bo學(xué)生分析方法f填寫圖中各塊的元素 f小結(jié)：列舉法表示的數(shù)集問(wèn)題用Venn圖示法、觀察法解：因?yàn)?CuB'FA = , 9,所以 1、9&C vB因?yàn)?C/) ri(CuB) = 4, 6, 7所以 CuB = l, 4, 6, 7, 9,從而 8= 2, 3, 5, 8;又(人5)04 = 1,9, 4RB = 3, 所以 A = 1, 3, 9例

14、6 :已知 A = x-2<x < -1 或 x>l, A UB = x x + 2 > 0, A AB = .r 11= 3,求集合Bo解法：數(shù)軸上表示各集合后，分析得岀結(jié)果。分析：因?yàn)?ACB = .xll< x<3, 所以x 11 < x < 3 c B , 因?yàn)?AjB=xix>-2,(% i -i < % < i )ri A=0,AUB所以x I -1 < x < 1 c B ,所以=x I -1 < x < 1 U % 11 < % < 3=Hx I -1 < x <

15、3 o例7:滿足關(guān)系1, 2cAcl, 2, 3,4, 5的集合A共有 -1 個(gè)分析：滿足條件的集合 A可列舉如下:1, 2, 1,2, 3, 1,2, 4, 1, 2, 5, 1,2, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 1,2, 3, 4, 5共 8 個(gè)觀察以上的集合，都含有元素1、2,若把1、2去掉，則剩下的集合恰為集合 3, 4, 5的子集，也是8個(gè)，因此，解題時(shí)，可把公共的元素刪去，求剩下的集合的子集即可。例8、已知50名同學(xué)參加跳遠(yuǎn)和鉛球兩項(xiàng)測(cè)驗(yàn)，分別及格人數(shù)為40、31人，兩項(xiàng)均不及格的為4人，那么兩項(xiàng)都及格的為 人。分析：記參加跳遠(yuǎn)測(cè)驗(yàn)及格的同學(xué)組成的集合為A,參加鉛球測(cè)驗(yàn)及枚

16、的同學(xué)組成的集合為B,則兩項(xiàng)都及格的同學(xué)組成集合AHB,兩項(xiàng)都不及格的同學(xué)組成集合(CvA) n(CvB),其中U表示全班同學(xué)組成的集合。40 + 317 + 4 = 50,解得 x =:50名同學(xué)中，只有跳遠(yuǎn)及格人100的具有下列性質(zhì)的子設(shè)兩項(xiàng)都及格的同學(xué)為 x人，則有 說(shuō)明：本題解岀后，應(yīng)代入驗(yàn)證：數(shù)為6人，4+ 15 + 25 + 6 = 50,符號(hào)題意。思考題1 :設(shè)S為集合1, 2, 3,不被7整除，那么S中元素最多可能有多少個(gè)余數(shù)不為0。我們把集合1, 2, 3,100按照其中兀素被 7除所得的余數(shù)相同與否進(jìn)行歸類，余數(shù)相同的組成一個(gè)集合，這樣得到7個(gè)子集，然后從這7個(gè)子集中適當(dāng)抽

17、取滿足題意的元素組成集合So思考題2 :設(shè)M=1,2.3, - . 1995, A 是M的子集且滿足條件：當(dāng)xe A時(shí)，15" A ,則A中兀素的個(gè)數(shù)最多是。例 9:設(shè) U=1, 2, 3, 4, 5,且 AnB=2,(人4)05=4, (QA) A(CAB) =b 5, 則下列 結(jié)論正確的是()A. 3GA, 3GB B. 2G CliA, 3GBC. 3 CliB , 3 A D. 3G CliA, 3 CuB分析：按題意畫岀Venn圖即可找岀選擇的分支【解】畫岀滿題意足Venn圖：34A2B由圖可知：3WA且3gB,即3GA且3丘(7/，選C.點(diǎn)評(píng)：本題可用排除法來(lái)解，若選A,

18、則3GAAB,與已知AnB=2矛盾，顯然這種方法沒(méi)有Venn圖形象直觀，這也突岀數(shù)形集結(jié)合的思想在集合屮的運(yùn)用例 10：已知全集 U=R,集合 A=xlx 2-x-6<0, B= X|X2+2X-8>0, C=xlx 2-4ax+3a2<0,(1)試求a的取值范圍，使 AABcC ;(2)試求a的取值范圍，使分析：U=R, A= (-2, 3), B= (-oo, -4) U (2, +oo),類似地，要使 CyAnCyBcC必有<3Q<4 解得 一2<a< a> 2故 APlB= (2, 3), CuA= (-oo, -2U 3, +oo),

19、CyB = -4, 2, (6A)H(Cl,B)=-4, -2,x2-4ax+3a2<0 即(x-3a)(x-a)<0, . ?.當(dāng) a < 0 時(shí)，C= (3a, a),當(dāng) a=0 時(shí)，C=0,當(dāng) a0 時(shí)，C= (a, 3a),t? > 0(1)要使AABcC，集合數(shù)軸知， <a<2解得1 WaW2 ；3a >3a<0【解】解答過(guò)程只需要將上面的分析整理一下即可點(diǎn)評(píng)：研究不等式的解集的包含關(guān)系或進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，充分利用數(shù)軸的直觀性，便 于分析與轉(zhuǎn)化.注意分類討論的思想在解題屮的運(yùn)用，在分類時(shí)要滿足不重復(fù)、不遺漏的原則例 11:已知集合 A=xb?+4ax-4a+3=0, B=xlx 2+(a-l)x+a 2=O, C=xb?+2ax-2a=0,其中至少有 個(gè)集合不是空集，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.種情問(wèn)題反3/5, 報(bào)名的 1/3 還分析： 此題若從正面入手，要對(duì)七種可能情況逐一進(jìn)行討論，相當(dāng)繁瑣；若考慮其反面，則只有一 況，即三個(gè)集合全是空集 .【解】 當(dāng)三個(gè)集合全是空集時(shí)，所以對(duì)應(yīng)的三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即i = 16a2 4(-4a + 3) < 0< A2 -(a-l)2-4o2 <0解此不等式組，得才 &l