導(dǎo)數(shù)含全參數(shù)取值范圍分類討論題型的總結(jié)與方法歸納

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型十七：含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的分類討論問題含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的分類討論問題1.求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)的解析式含有參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根(或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式) 導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根中有參數(shù)也落在定義域內(nèi)，但不知這些實(shí)根的大小關(guān)系，從而引起討論已知函數(shù)f(x)=1x3 _1(a+2)x2+2ax (a>0),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間32f (x) =x 一(a 2)x 2a =(x _a)(x -2)例1已知函數(shù)f (x) =x%-(a+2)in x (a>0)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 x精彩文檔2f (x)=-(a 2)x 2a2x(x 2)(x a)例 3 已知函數(shù) f(x)=2axja &

2、#39;(xw R),其中 aw R。x 1(i)當(dāng)a =1時(shí)，求曲線y = f (x /£點(diǎn)(2, f (2 )處的切線方程;(n)當(dāng)a#0時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：(I)當(dāng)a =1時(shí)，曲線y = f (x )在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為6x + 25y32 = 0。(n)由于 a #0,所以 f txu2a(x2+1)- x2 1,1、由f (x )= 0 ,得x = 一一，x2 = a。這兩個(gè)頭根都在tea_2_22a x 1 -2x 2ax-a 1f * x =；2x2 1c1-2a x -a I x . a2 2x2 1義域R內(nèi)，但不知它們之間的大小。

3、因此，需對(duì)參數(shù)a的取值分a >0和a <0兩種情況進(jìn)行討論。.11當(dāng)a >0時(shí)，則為<x2O易得f (x )在區(qū)間I q, f, (a* )內(nèi)為減函數(shù),I ' a)1112在區(qū)間.-,a為增函數(shù)。故函數(shù) f(x庵x=-一處取得極小值f .=-a ;.aa. a函數(shù)f (x )在x2 =a處取得極大值f (a)=1。(1)1當(dāng)a <0時(shí)，則x1 >x2。易得f(x )在區(qū)間(-°0,a),(-,也)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間 a1 .1 1 *2 -,(a,-)為減函數(shù)。故函數(shù) f (x )在x1= 一一處取得極小值f . 一一 1= -a ;函數(shù)

4、aaV a Jx2 = a處取得極大值f (a )=1。以上三點(diǎn)即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個(gè)基本討論點(diǎn)，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，可按上述三點(diǎn) 的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論。因此，對(duì)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點(diǎn)或三點(diǎn)，這時(shí)的討論就更復(fù)雜一些了，需要靈活把握。(區(qū)間確定零點(diǎn)不確定的典例)例4 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交 a元(3W aw 5)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9wxwil)時(shí)，一年的銷售量為(12-x) 2萬件.(1)求分公司一年的利潤(rùn) L (萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià) x的函數(shù)關(guān)系

5、式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q (a).解 (1)分公司一年的利潤(rùn)L (萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=(x-3-a)(12-x)2,x C 9,11 (2)L ，(x)=(12-x) 2-2(x-3-a)(12-x)L(x)=(12-x)(18+2a-3x).答若3wa< 2,則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí),分公司一年的禾u潤(rùn)若2waW5,則當(dāng)每件售價(jià)為(6+ 2a)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)=4(3- - a) 3(萬元). 3L最大，最大值 Q (a) =9(6-a)(萬元)； (導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定，但區(qū)間端點(diǎn)不確定引起討論的

6、典例) 例 2、已知 f(x)=xln x, g(x)=x3 +ax2 -x +2(I ).求函數(shù)f(x )的單調(diào)區(qū)間；( n).求函數(shù)f(x比t,t+2t>0比的最小值；(出)對(duì)一切的xw (0,十厘)2f收把g'(x)+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.一 '.，、.一1, .、一 /1、斛：(I ) f (x) =ln x+1,令f (x )<0,解彳# 0 < x < -，二 f (x 的單倜遞減區(qū)間是0,-；e< eJ. 一 1令f (x )>0,解得x >-，f (x)的單調(diào)遞增是(e,+°°), e11 1

7、11(n )( i )0<t<t+2< - , t 無斛；(ii )0<t< 一 <t+2 ,即 0<t< 一 時(shí)，f (x)min = f (-)= 一一 ；eeeee1一 1 .(ill) 1 «t Ct +2 ,即 t 1 1 時(shí)，f(x)在t,t +2單調(diào)遞增,f (x)min =f (t)=tlnt 9 分1-e , tint10 :二 t Jete(m)由題意：2xln2231可彳導(dǎo)a _lnx-x- 2 2x131則 h x J 3 x 2 2x23x 1(分離參數(shù))，設(shè)h(x )= in x - 一 一 2 2xx -1

8、 3x 12x212分人,八一1.令 h 僅)=0，得 x =1,x =(舍)3當(dāng) 0 Mx <1 時(shí)，h (x )>0 ;當(dāng) x a1時(shí)，h(x)<0，當(dāng)x=1時(shí)，h(x期得最大值,h(x)max=-213分.-a >-2.二.求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根(或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式)，但不知導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí) 根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。(用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題若求導(dǎo)后研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時(shí)能 轉(zhuǎn)化為研究二次函數(shù)問題時(shí)，二次項(xiàng)的系數(shù)含參數(shù)按系數(shù)大于零、等于零、小于零分類；再按在二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零時(shí)對(duì)判別式按>0、 =0> < 0；在4> 0時(shí),在在定

9、義域內(nèi)進(jìn)行套論，若零點(diǎn)含參數(shù)在對(duì)零點(diǎn)之間的大小進(jìn)行討論。求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)再根據(jù)零點(diǎn)是否 ) 1已知函數(shù)f(x) =ax3x2+(1-a)x ,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間32f (x) =ax2 -x (1 -a) =(1 一x)(ax-1 a)例2已知函數(shù)f(x) =(1+a)lnx+ax2 (a>0),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 22一、f (X) = ax -x (1 -a) = (x -1)(ax 1 a)例3 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) = Jx(x a)(I)求函數(shù)f(x )的單調(diào)區(qū)間;(n)設(shè)g(a/f(x旗區(qū)間10,2】上的最小值。(i )寫出g(a )的表達(dá)式;(ii )求a的取值范圍，使得

10、6 <g(a>-2。解：(I)函數(shù)的定義域?yàn)閎,y), f'(x)=Jx+" = 3xqa2Tx 2 x3.'x-I 3 J(x>0),由 f (x) =0x <3x +2ax 1 +2 在 xw(0,+=c 讓恒成立，即 2xlnxM3x +2ax+1 a a 一得x =?？紤]一是否洛在導(dǎo)函數(shù) f (x)的定義域(0,+資)內(nèi)，需又參數(shù)a的取值分aM0及a>0兩 33種情況進(jìn)行討論。(1) 當(dāng)a<0時(shí)，則f'(x)A0在(0,+* )上恒成立，所以f(x )的單調(diào)遞增區(qū)間為0,十厘卜a _a(2)當(dāng) a >0 時(shí)，由

11、 f (x) A0 ,得 x A ；由 f (x) < 0,得 0 < x < 。33因此，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,|0，a L f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，*卜(n) ( i)由第(I)問的結(jié)論可知:(1) 當(dāng)a E0時(shí)，f (x)在0,收)上單調(diào)遞增，從而f (x)在10,2上單調(diào)遞增，所以g (a )= f (0 ) = 0。 當(dāng)a>0時(shí)，f(x、在0,”上單調(diào)遞減，在1a，出c '上單調(diào)遞增，所以:一 .aD 當(dāng)一w 0,2 ,即 0 <a <6時(shí),313h )f (x )在10,- I上單調(diào)遞減，在1a ,2 I上單調(diào)遞增

12、,一 3_3所以 g a = f i a = 32 a：/ 3a923a3,。:二 a :二 612,依“，即a*6時(shí)，f(x)在10,2】上單調(diào)遞減，所以g(a產(chǎn)f (2 )= J2(2 a)。0, a <0綜上所述，g (一日72(2 -a ),a > 6(ii )令-6<g(a )<-2o若a M0 ,無解；2a a若 0 <a <6,由6 Ma- M2解得 3<a <6；3 . 3 若 a26,由6宅 J2(2a)W2 解得 6a E2 + 3J2。綜上所述，a的取值范圍為3<a <2+372 o三.求導(dǎo)后，因?qū)Ш瘮?shù)為零是否有

13、實(shí)根(或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式)不確定，而引起的討論例1已知函數(shù)f (x) =1ax2 +x求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2f (x) =ax 7例2已知函數(shù)f (x) =ln x _ax求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間f (x)-af (x)=3二xx例 3 設(shè)k w R,函數(shù) f(x) = <1x,x ： 1,F(x) = f (x) -kx,xw R,T ：x -1, x -1試討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性。1斛：= f (x) = 1 -x,x 二 1,F (x) = f (x) -kx,x RI kx, x < 1,F (x) = f (x)kx = <1x,F'(x) = «-

14、Vx -1 -kx,x 至 121 -k 1-x-,x ：11-x1 2k x-1), x 12. x-1考慮導(dǎo)函數(shù)F'(x) =0是否有實(shí)根，從而需要對(duì)參數(shù)k的取值進(jìn)行討論。2(一)若x<1,則F'(x)=上出二9.。由于當(dāng)k W0時(shí)，F(xiàn)'(x)=0無實(shí)根，而當(dāng)k>0時(shí)，F(xiàn)'(x)=0 1-x有實(shí)根,因此,對(duì)參數(shù)k分kW0和k>0兩種情況討論。當(dāng)k W0時(shí)，F(xiàn) '(x)之0在(*,1)上恒成立，所以函數(shù) F(x)在(叼1)上為增函數(shù);(2)21 -'k 1 -x當(dāng) k>0 時(shí)，F(xiàn)'(x)=1 -x-k x - 1

15、 - x - P 、fk).J' k21r由 F '(x) = 0,得 x1 = '11= (x2 = l L 因?yàn)?k >0 ,所以 x1 <1<x2。.、k . A11由 F (x) a0,得 1 一一 <x<1；由 F'(x)<0,得 x<1 .k. k因此，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)F(x)在(-«,1)上為減函數(shù)，在(1,1)上為增函數(shù)。若 x a1 ,貝U F'(x) =。由于當(dāng)k之0時(shí)，F(xiàn)'(x) = 0無實(shí)根，而當(dāng)k<0時(shí),F'(x)=0有實(shí)根，因此，對(duì)參數(shù) k分k20

16、和k c0兩種情況討論。(1)當(dāng)k之0時(shí)，F(xiàn)'(x)<0在1,收)上恒成立，所以函數(shù) F(x)在 比代)上為減函數(shù);(2)當(dāng) k<0 時(shí)，F(xiàn)'(x) =1 2kvx -1-k i Jx -1 I 2k J o11由 F(x)>0,得 x>1+2；由 F '(x) <0,得 1<x<1+24k4k因此，當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)F(x)在1,1+y 上為減函數(shù)，在一4k22 ,十無上為增函數(shù)。綜上所述:當(dāng)k a0時(shí)，函數(shù)F(x)在(血,1 一 1)上為減函數(shù)，在(1-疝=,1)上為增函數(shù)，在1,十、)上為減函數(shù)。(2)當(dāng)k =0時(shí)，函

17、數(shù)F(x)在(，,1)上為增函數(shù)，在 1,一)上為減函數(shù)。(3)當(dāng)k <0時(shí)，函數(shù)F (x)在(-叫1)上為增函數(shù)，在 1+y i上為減函數(shù)，在 1+ocIL 4k 1IL 4k '解：函數(shù)當(dāng)上為增函數(shù)。19.設(shè) a> 0,討論函數(shù) f (x) =lnx+a (1-a) x2-2 (1-a) x 的單調(diào)性。2f(x)的定義域?yàn)?0,收).f '(x) = 2a(1_a)x _2(1_a)x 11#1 時(shí)，萬程2a(1-a)x 2 2(1a)x+1 =0 的判別式 A = 12(a-1), a - - I1一. 一. 一一 .0 <a <一時(shí)， >0

18、, f (x)有兩個(gè)零點(diǎn),3x22a 2a(1-a)2a 2a(1 - a)且當(dāng)0 < x < K或x > x2時(shí)，f '(x) >0, f (x)在(0,x1)與(x2,)內(nèi)為增函數(shù);當(dāng) x1 < x < x2時(shí)，f '(x) < 0, f (x)在(x1，x2)內(nèi)為減函數(shù);一 1當(dāng)-<a <1時(shí)，三0, f (x)之0,所以f(x)在(0, f)內(nèi)為增函數(shù);1，當(dāng)a =1時(shí)，f (x) =A0(x >0), f (x)在(0,收)內(nèi)為增函數(shù); x當(dāng)aAi時(shí)>o,X1i (3a -i)(a _i)一 2a2a(

19、1 _a)Xii . (3a _i)(a _i) 2a 2a(i _a)""iXi =2a(a i)(3a _i)2a(i -a)“(3a i)(a i) >02a(i -a)i4a2(3a -i)(a -i)224a (i -a)iXi 二一 2ai4a23a -i'24a (i - a).(3a i)(a i) <02a(i -a)i -a 3a-i4a2(i a)22a ：04a (i - a)> Xi 時(shí)，f '(x) < 0, f (x)在(“y)內(nèi)所以在定義域(0 , +°°)內(nèi)有唯一零點(diǎn)xi,且當(dāng)0

20、MX時(shí)，f (x) a0, f(x)在(0,x)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)X為減函數(shù)。f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:ia <i30 :二 a3(0, Xi)(Xi , X2 )(X2，二)(0,二)(0, Xi)(Xi，二)Xii2a(a 二 i)(3a 二 i)2a(i-a),X2i +7(a-i)(3a-n)2a2a(i- a)因函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)不確定而引起的討論。和y=g(X)的圖象都相切，且l與y=f(X)i o例.已知函數(shù)f(x)=in x, g(x)= x2 +a(a為吊數(shù))，右直線l與y=f(x) 2的圖象相切于定點(diǎn)P (i, f (i).(i)求直線l的方程及a的值;(2)當(dāng)kC R時(shí)，

21、討論關(guān)于x的方程f(x 2+i)-g(x)=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).解：(i)(x尸 i , .f (i) =i.ki=i，又切點(diǎn)為 P (i, f (i),即(i, 0)1 的解析式為 y=x-i ,xy=X-i-1 1 與 y=g(X)相切,.i O OO一 i由 y= X2 +a,消去 y 得 x-2x+2a+2=0,.= (-2) -4 (2a+2) =0, 4a a=- -22(2)令 h (x) =f(X 2+i)-g(X)=in(X 2+i) 一 h' (x)= 2x2-x=- x(x 1)(x+1)則 x< _1 或0 <x <1時(shí),h(x) A 0,h(x

22、)為增利數(shù)， 1 +x1 + x-1 vxv0 或 x1 時(shí)，I .一 ,i一一一，一i一一一，一 1故*二±1時(shí)，h (x)取極大值1n2, x=0時(shí)，h (x)取極小值一。21因此當(dāng) kC (1n2, +8),原萬程一解；當(dāng)k=1n2時(shí)，原萬程有兩解；當(dāng)-Vkv1n2時(shí)，原萬程有四解；2,1 一 1 一 _當(dāng)k= 一時(shí)，原萬程有二解；當(dāng)k< -時(shí)，原萬程有兩解225.求參數(shù)的范圍時(shí)由于不能分離出參數(shù)而引起的對(duì)參數(shù)進(jìn)行的討論例1 ：(此為不能分離出參數(shù) a的例題)已知f (x) = x3 6ax2 +9a2x ( aw R).當(dāng)a > 0時(shí)，若對(duì)Vx= b,3有f (x

23、) E4恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.解：因?yàn)?f(x)=x 3-6ax2+9a2x, x3-6ax 2+9a2x-4 < 0所以 f(x)=3x 2-12ax+9a 2= (3x-3a) (x 3a),在(-a J± f <x)>0f (x將增函數(shù)，在(a,3a )± f <x)<0f(x注減函數(shù)，在(3a,書c)上f (x/0 f(x將增 函數(shù)。所以函數(shù)在 x=a時(shí)，f (x設(shè)大=f (a ),所以函數(shù)在x=a時(shí)，f (x k小=f (3a )因?qū)xw 10,3有f (x) <4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.極值點(diǎn) 指定區(qū)間端點(diǎn)位置關(guān)

24、系不確定引起討 論。討論如下：a>0當(dāng)兩個(gè)極值點(diǎn)都在指定區(qū)間0,3小時(shí)。即0<3aW3,也就是0<a<1時(shí)，(當(dāng)a>0時(shí)為什么分為0<a<3,與a>3兩類。要講清楚)在(0,a讓f(x>>0f(x月增函數(shù)，在(a,3a讓fx卜0f (x心減函數(shù)，在(3a,)上fx0f (x尼增函數(shù)。所以函數(shù)在x=a時(shí)，f (x長(zhǎng)大=f(a ),所以函數(shù)在x=a時(shí)，f (x心小=f(3a)f x min =min V 0，f 3a ' f x max =max f a , f 3 ,Vx= 10,3有f (x) w4恒成立，等價(jià)于i(f(aaH

25、<0f 3 -4-00 <a <1a3 -6a3 +9a3 -4 <02.27 -54a - 27a -4 三00 :二 a 由解得a <1即0<aw 1243 1 2V31<a <199當(dāng)a>0時(shí)當(dāng)兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在指定區(qū)間0,3】?jī)?nèi)時(shí)。即0<aW3,且3a>3時(shí)，也就是1<aW3時(shí),為什么分為0<a<3,與a>3兩類。要講清楚)在R,a )± f(x戶0 f (x,增函數(shù)，在(a,3 ± L(x)<0 f (x用減函數(shù)， 所以函數(shù)在x=a時(shí)，f(x版大=f(a), f X m

26、ax =f a f x min =m If 0, f 3 ：,vxw 10,3有f (x) E4恒成立，等價(jià)于<1：a*3解得1<aM1+2""f (a )-4 <09當(dāng)兩個(gè)極值點(diǎn)都不在在指定區(qū)間0,3的時(shí)。即a>3時(shí)，(當(dāng)a>0時(shí)為什么分為0<a<3,與a>3兩類。要講清楚)在 0,3上 f 穿)>0 f(x 在增函數(shù)， f 收 max =f(3)=4a3_4 A108_4>0 與 f(x*4W0 矛盾。綜上：對(duì)-x三10,31有f (x) ,4恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<aM+2"3.9例4

27、設(shè)函數(shù)f (x ) = x2 +bln (x+1 ),其中b # 0 ,求函數(shù)f (x )的極值點(diǎn)。b2x2 2xb解：由題意可得 f(x )的定義域?yàn)?-1,y), f (x)=2x+-b-=£x父，f (x)的分母x+1在 x 1 x 1定義域(-1,收)上恒為正，方程 2x2 +2x + b = 0是否有實(shí)根，需要對(duì)參數(shù) b的取值進(jìn)行討論。1 2 1-(1 )當(dāng) =4 % <0,即b之一時(shí) 方程2x +2x + b = 0無實(shí)根或只有唯一根x ,所以2 22g(x) = 2x +2x+b20,在(-1,收)上恒成立，則f (x戶0在(1,")上恒成立，所以函數(shù)f

28、(x )在(-1,也 讓單調(diào)遞增，從而函數(shù)f (x )在(-1,-hc )上無極值點(diǎn)。1 2(2)當(dāng) =48b >0 ,即b < 時(shí)，方程2x2 +2x + b = 0 ,即f (x )= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)根：211 -2 b-：、"-'2bx =, x2 =o22這兩個(gè)根是否都在定義域(-1,收)內(nèi)呢？又需要對(duì)參數(shù) b的取值分情況作如下討論：1 - .1 - 2b-11 - 2b(1 )當(dāng) b <0 時(shí)，x1 =<-1,x2 => -1 ,所以 X 更(T,y ),x2 乏(1," )。2 2此時(shí)，f' (x )與f (x

29、)隨x的變化情況如下表：x(T,x2 )x2MD,-f (x)0+f (x )遞減極小值遞增由此表可知：當(dāng)b <0時(shí)，f (x )有唯一極小值點(diǎn)x2 = -1+-2b .1,) 當(dāng) 0<b<一時(shí) 2-1. 1 -2bx2 二2f (x盧f (x )隨x的變化情況如下表:x(-1,x1 )x1(X,x2 ：x2(乂2*-'.f (X)+00+f (X)遞增極大值遞減極小值遞增x, W (一1，收),X2 W (-1,卜此時(shí),1由此表可知：當(dāng)0<b<一時(shí)，2f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)Xi-1 - 1 - 2b和一個(gè)極小值點(diǎn)-11 -2bx2 =O2綜上所述:(1)

30、當(dāng)b<0時(shí)，f(x)有唯一極小值點(diǎn)-1.1 -2bx 二和一個(gè)極小值點(diǎn)-1, 1 - 2b； .1 一(2) 當(dāng)0 <b <3時(shí)，f (x而一個(gè)極大值點(diǎn)1一當(dāng)ba時(shí)，f(x比極值點(diǎn)。從以上諸例不難看出，在對(duì)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論時(shí)，只要把握以上三個(gè)基本討論點(diǎn)，那么討論就 有了方向和切入點(diǎn)，即使問題較為復(fù)雜，討論起來也會(huì)得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解。(19)( I )小問5分，(n )小問7分.)已知函數(shù)f (x) =ax3+x2+bx (其中常數(shù)a,b e R), g(x) = f (x)+f'(x)是奇函數(shù).(I )求f (x)的表達(dá)式；(n)討論g(x)

31、的單調(diào)性，并求 g(x)在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.解乂 I)由愚宜將"(G =3+ +加*6.因此鼠幻=基)=«?4(3a + I)/出為函數(shù)£工)是奇函效所凌加-#)珅對(duì)任意實(shí)數(shù)工有-幻 + (3d + 1)( -m)j + (6 +2)(+ b *5 - (as5 + (3a 4 1)* + (b + 2)< +從而3a *【解你i吁:=仇剛。的解析勒式龍加)( 口)山(1 )知爪幻=-$。比所以3"¥ +2,令/(幻=0,解裾。一反 Zt =E.則當(dāng), <-8或# >。時(shí)./(#) < 0,從而力幻在區(qū)間(B

32、, £、 【轉(zhuǎn) *s)上必減雨虬當(dāng)-息 < 常 <"時(shí)"(工)>0.從而飄#)在區(qū)間-71. &】上是增函數(shù).”由前面討論知國(guó)G)在區(qū)間口口上的最大值與最小值只能在用=L0,2時(shí)取得. 而式I) 51米A(點(diǎn))*s(2) = 4* -因此g()在區(qū)同I .2上的魁大值為131J' 雙戊華，城小值為況(2)-：.1 -a(21)已知函數(shù) f(x)=lnxax+1(aw R)x1 .(I)當(dāng)a = 1時(shí)，求曲線y = f (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線萬程；(II )當(dāng)a W時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性.22 x2 - x 2解：(

33、I) 當(dāng) a=1時(shí)，f(x) =in x + x+1,xw (Q-),所以 f'(x)=2,x (0, +=c)xx因此，f (2) =1,即 曲線y = f (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線斜率為1,.又f (2) = In 2+2,所以y = f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為 y-(ln2+2) = x-2,曲線即x- y ln 2 =0.2(n ) 因?yàn)?f (x) = In x ax + a -1 , 所以 f'(x) = a +-a2- = axxaxx xx，一 、/，、2,，一、x = (0,+=c),令 g(x)=ax x + 1a, x= (0,

34、1),(1)當(dāng) a = 0時(shí)，h(x) = x + 1, x w (0,十的)所以，當(dāng)xW(0,1)W,h(x) >0,止匕時(shí)f'(x) <0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x1,")時(shí)，h(x)<0,此時(shí)f'(x) >0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞1(2)當(dāng) a #051 由f (x)=0 即 ax2 -x +1 a =0 ,解得 x1 =1,x2 = T a.1一 一當(dāng)a = 一時(shí)，x1 = x2,h(x)之0恒成立，2此時(shí)f'(x) <0,函數(shù)f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞減；一1 一， 1當(dāng) 0 <a時(shí)，1 >1 >

35、02 axw(0,1)時(shí)，h(x) >0,止匕時(shí)£'a)<0,函數(shù)£儀)單調(diào)遞減；1x W (1, 1)時(shí)，h(x) <0,止匕時(shí)f '(x) > 0,函數(shù)f (x)單調(diào)遞增； a1xW(1,F)時(shí),h(x) A0,此時(shí) f'(x)<0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減； a當(dāng)a父0時(shí)，由于-1 <0axw(0,1)時(shí)，h(x)0,此時(shí) f'(x)c0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；xw(1,y)時(shí)，h(x)<0,此時(shí) f'(x)>0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞增。綜上所述：當(dāng)a w 0時(shí)，函數(shù)f (x)在(

36、o , 1)上單調(diào)遞減；函數(shù)f(x)在(1 , 十°°)上單調(diào)遞增；-1當(dāng)a=一時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, +8)上單倜遞減；21.當(dāng)0 <a父 時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, 1)上單倜遞減；21函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增；a1函數(shù)f (x)在(一-1,收)上單倜遞減， a1 - a(22)已知函數(shù) f(x)=lnx-ax+-1 (a e R).x1(i)當(dāng)a E時(shí)，討論f (x)的單調(diào)性；2(n)設(shè)g(x) =x2 2bx+4.當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意 X w (0,2),存在x2w11,2，使4f(x1) >g(x2),求實(shí)數(shù)b取值范圍.，2，1 - a、

37、1 a-1 ax -x1-a 斛：(I)因?yàn)?f (x) =ln x - ax +-1 ,所以 f (x) = a +=2x" (0,十大),xx xx/2令 h(x)=ax -x+1 -a,xc (0,+),(1)當(dāng) 4 = 0 時(shí)，&(兀)=-五+1,耳 w (O,+oo),聽以 當(dāng)工£01)時(shí)，h(x)>0,此時(shí)/(幻<0,函數(shù)了單調(diào)遞減孑當(dāng)me(L+co)時(shí)，g)<0,此時(shí)/5)>0,函數(shù)/單調(diào)遞增當(dāng)"羊。時(shí)，由/(3=0,即 ax2 - x+1-t? = 0 ,解得 = l,z2 = -1a1. 當(dāng)a=5時(shí)，xi =x2,

38、h(x)> 0恒成立，此時(shí)f (x)& 0,函數(shù) f (x)在(0, +°0)上單倜遞減；.1 一， 1當(dāng) 0< a< 時(shí)，1>1>0 , 2 axw(0,1)時(shí)，h(x)> 0,此時(shí)f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；1,x = (1, 1)時(shí) h(x)<0 ,此時(shí) f (x)>0,函數(shù) f(x)單倜遞增； a1,'x = ( 1,2)時(shí)，h(x)>0 ,此時(shí) f (x)<0,函數(shù) f(x)單倜遞減； a當(dāng)a<0時(shí)，由于1 -K 0, axw(0,1), h(x)>0,此時(shí) f'

39、(x)<0 ,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；xW(1,)時(shí)，h(x)<0,此時(shí)f (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上所述：0(n)因?yàn)?a=1 W(0, 1),由(I)知，x1=1, x2=3 受(0,2),當(dāng) xJ0,1)時(shí)，f'(x)Y0,函數(shù) f(x)單 421 -17_倜遞減；g(x) 1min =g(2) =84b 20b 亡(2,2)E b 之 一， 當(dāng) x= (1,2)時(shí)，f (x)> 0,函數(shù) f (x)2 18 J1單調(diào)遞增，所以f(x)在(0, 2)上的最小值為f(1) = 1。2由于“對(duì)任意x, w (0,2)，存在x2乏1,2，使f區(qū))至g

40、)”等價(jià)于“g(x)在1,2】上的最小值不大于 f(x)在(0,2)上的最小值 -1”(*)2又 g(x)=(xb)2+4b2 , 2乞1,2，所以當(dāng)bY1時(shí)，因?yàn)閎(x)】min = g(1) =52b>0,此時(shí)與(*)矛盾當(dāng)bw 1,2】時(shí)，因?yàn)間(x)min =4 b2 >0,同樣與(*)矛盾當(dāng)b W (2,)時(shí)，因?yàn)镮g(x) lin = g(2) =8 4b ,解不等式_ .18-4b < 一 ,可得2b_17 8綜上，b的取值范圍是117,yl。 ,8 ,(21)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(n)設(shè) a <

41、-2,證明：對(duì)任意xi, x2w (0,收),| f(xi)- f(x2)巨 4| k 一x2|.a 一1 2ax - a -1解：(I) f(x)的定義域?yàn)?0,+ s) , f'(x) = a+2ax = -aaxx當(dāng)a>0時(shí)，f '(x) >0,故f(x)在(0,+ g )單調(diào)增加； 當(dāng)aw1時(shí)，f(x)0,故f(x)在(0,+ g)單調(diào)減少;當(dāng)一1vav0 時(shí)，令 f (x) = 0，解得 x= J3口 .當(dāng) xC (0, J電口)時(shí)，f'(x)>0； 2a; 2ax ( ar+°°)時(shí)，f(x)0,故 f(x) 在(0,

42、J-ar")單調(diào)增加，在(J-a1，+°°)單調(diào)減少.(n )不妨假設(shè)x1 >x2.由于a< - 2,故f(x)在(0, +如i)單調(diào)減少.所以f (為)一 f (%)至4 x1x2等價(jià)于f (x1) - f (x2) > 4x1 4x2,即 f(x 2)+ 4x 2>f(x 1)+ 4x 1.令 g(x)=f(x)+4x, 則a 1g (x)=2ax+4x2ax2 4x a 1=.x224x 4x 一1 一(2x - 1)于g (x) &=& 0.xx從而g(x)在(0, +°0)單調(diào)減少，故 g(x 1) &l

43、t; g(x 2),即 f(x1)+4x1<f(x2)+4x 2,故對(duì)任意x1,x2C (0,+ 00 ) , f (斗)一 f (x2)2 4x1-x2.(21)已知函數(shù) f(x) =(a+1)lnx+ax2 +1(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(II )(II )設(shè) a < 1.如果對(duì)任意 x1,x2 乏(0,依)，| f (x1) f (x2)之 4| x1 x2 |,求 a 的取值范圍。a 1解：(I) f(x)的定義域?yàn)?0, +8). f'(x)=+2ax = x2,2ax a 1當(dāng)a±0時(shí)，f'(x)>0,故f(x)在(0, +8)單調(diào)

44、增加;當(dāng)a E1時(shí)，f'(x) <0,故f (x)在(0, +8)單調(diào)減少;,，人、a 1當(dāng)-1 v a<0 時(shí)，令 f '(x)=0,解得 x = 4 2af '(x) v 0.則當(dāng) xw(0,J5)時(shí)，f'(x)>0； xw(J吧，)時(shí), 2a. 2a故f(x)在(0, J-限)單調(diào)增加，在(J雷，依)單調(diào)減少(n)不妨假設(shè) x1 2x2，而a v -1 ,由(I)知在(0, +8)單調(diào)減少，從而Vx1，x2 W (0,2) , f(x1) f 汽2) 之4 x1 x2等價(jià)于Vx1,x2 (0, +) , f (x2)+4x2 之 f (%

45、)+4x1a - 1令 g(x) = f (x) +4x ,則 g '(x) =+ 2ax + 4xa 1等價(jià)于g(x)在(0, +oo)單調(diào)減少，即a一+2ax+4E0.x222從而 a M二"二=(2x 1) j4x -2 =(2x -D 2 故 a 的取值范圍為(-8, -2.2x2 1 2x2 12x2 1(18)已知函數(shù) f(x)=In(1+ x)- x+ xx2( k >0) o2(i)當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y = f ( x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程；(n )求f ( x)的單調(diào)區(qū)間。2 1斛： 當(dāng) k=2 時(shí)，f (x) =ln(1+x)x+x ,

46、 f'(x) = T+2x 1 x3由于f(1) = ln2, f'(1) = 2，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為，-3，,、ry -ln2 =-(x-1)即 3x2y +21n 23=0(II) f '(x) =x(kx+k T), x%1,f).當(dāng) k=0 時(shí)，f'(x) = -L.所以，在區(qū)間(1,0)上，1 x1 xf'(x)A0；在區(qū)間(0,")上，f'(x) <0.故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,).當(dāng) 0ck <1 時(shí)，由 f'(x) = x(kx+kT)

47、=0,得 Xi=0, x2 = 1-k>01 x1k1-k1-k .所以，在區(qū)間(_1,0)和(*)上，f'(x) A0 ;在區(qū)間(0,)上，f'(x)<0 kk1-k 1 -k故f (x)得單倜遞增區(qū)間是(1,0)和(,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0, ). kk2當(dāng)k=1時(shí)，f '(x)=-x故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,收). 1 x當(dāng) k>1 時(shí)，f '(x) = x(kx+k =0 ,得 x1 =1kw (_1,0) , x2=0.1 xk1 k -1 -k所以沒在區(qū)間(-1,)和(0,)上，f'(x)>0;在區(qū)間(,0)上，

48、f'(x)<0 kk1 -k1 - k故f (x)得單倜遞增區(qū)間是(1,)和(0,七c),單調(diào)遞減區(qū)間是 (,0) kk20、(本小題滿分16分)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1,收)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為 f'(x)。如果存在實(shí)數(shù)a和 函數(shù) h(x),其中 h(x)對(duì)任意的 xe(1,+)fp<h(x) >0,使得 f'(x) = h(x)(x2 ax + 1),則稱函數(shù) f(x) 具有性質(zhì)P(a)。b 2(1)設(shè)函數(shù)f (x) =lnx+(x >1),其中b為頭數(shù)。x 1(i)求證：函數(shù)f (x)具有f質(zhì)P(b) ; (ii) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

49、間。(2)已知函數(shù)g(x)具有f質(zhì)P(2)。給定x1,x2 (1+=c),x1 <x2，設(shè)m為實(shí)數(shù),m = mx1 +(1 -m)x2, B =(1 -m)x1 +mx2，且 a >1, P a 1 ,若1 g一 g( P) |<| g(x)-g(x2) | ,求 m 的取值范圍。解析本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論 的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分 16分。(1) (i),1f'(x)=一 xb 22(x 1)21-2x(x 1)2(x -bx 1)x>1 時(shí),h(x)=12 x(x 1)&

50、gt;0恒成立,函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)；be b2.(萬法一)設(shè)M=x -? +17巴x)與f(x)的符號(hào)相同。.b2當(dāng) 1 >0, 2<b <2 時(shí)，*(x)A0, f'(x)A0,故此時(shí) f (x)在區(qū)間(1,0)上遞增;4當(dāng)b =攻時(shí)，對(duì)于xA1,有f'(x)>0,所以此時(shí)f(x)在區(qū)間(1,)上遞增；當(dāng)be2時(shí)，9(x)圖像開口向上，對(duì)稱軸 x = b <1 ,而中(0) =1 ,2對(duì)于x>1，總有中(x) >0, f'(x) >0,故此時(shí)f (x)在區(qū)間(1,Z)上遞增；(方法二)當(dāng) b=2 時(shí)，對(duì)于 x&

51、gt;1,邛(x) =x2 bx+1 之 x2 2x+1 =(x1)2 a0所以f'（x） >0,故此時(shí)f （x）在區(qū)間（1,一）上遞增;當(dāng)b>2時(shí)，9（x）圖像開口向上，對(duì)稱軸x=b>1 ,方程穴x） = 0的兩根為：b"b -4 22b二L (0,1)b : Jb2 -4( b - . b2 -4而1,-b b2 -4一上遞減;當(dāng) xw(1,2)時(shí)，9(x)<0, f'(x)<0,故此時(shí) f(x)在區(qū)間(1,曰 ， 一、b+Wb2 -4 一同理得：f（x）在區(qū)間匕卷，收）上遞增。綜上所述，當(dāng)bW2時(shí)，f（x）在區(qū)間（1,十應(yīng)）上遞增;

52、當(dāng)b>2時(shí)，f（x）在（1b+府=4）上遞減；f（x）在b+.b24匕）上弟增。 ，22，(2)(方法一)由題意，得：g'(x) =h(x)(x2 2x+1) = h(x)(x1)2又h(x)對(duì)任意的x w (1, -He)都有h(x) >0, 所以對(duì)任意的xw(1,y)都有g(shù)'(x)>0, g(x)在(1,y)上遞增。又 0(+呂=%+%，0(一日=(2m -1)(x1 -x2)。1當(dāng) m> ,m#1 時(shí)，a < B ,且 汽 _為=(m-1)x1+(1-m)x2, B-x2 = (1 - m)K+(m - 1)x2 , 2-* (口舊)&quo

53、t;-=l)3-電尸 < 0 T a <Xi < x2(.或 / < a <,二 g（&）-g（s）>ga）-g區(qū)）不合題意.解得 < 11 - 21»當(dāng)腳=；時(shí)，3,口 =出（比）-且依）歸耳（再）式。），符合題意，當(dāng)加時(shí).2且0：_勺=用（4 _毛=_網(wǎng)（4 _/）,同理有占“6<小即林叱飛十一,解得網(wǎng)口<愁， 加百+ (1 一期)演巧2綜合以上討論，得：所求m的取值范圍是(0, Do(方法二)由題設(shè)知，g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x) =h(x)(x2 2x+1),其中函數(shù)h(x) >0對(duì)于任意的xw(1,十

54、&)都成立。所以，當(dāng) x>1時(shí)，g '(x) = h(x)(x -1)2 > 0 ,從而g(x)在區(qū)間(1,十如)上單調(diào)遞增。當(dāng) m w (0,1)時(shí)，有 口 =mx +(1 m)x2 Amx +(1 m)x1 =x1 ,口 =mk +(1 -m)x2 <m& +(1-m)x2 =x2,得口 w (K,x2),同理可得 P w (x1，x?),所以由 g(x)的單調(diào)性知 g(a)、g(B) w(g(x1),g(x2),從而有 | g(c() -g(P) |<| g(xj g(x2)| ,符合題設(shè)。當(dāng) mW0時(shí)，u =m%+(1 m)x2 im%+

55、(1 m)x2 =x2,P =(1m)x1 +m% E(1m)x1 +mK = x1 , 于是由 « > 1> 1 g(x)的單調(diào)性知g(口)Wg(x)<g(x2) <g(«),所以 | g(汽)-g(P) | 刁 g(x1)g(x2) | ,與題設(shè)不符。當(dāng)m21時(shí)，同理可得a =為邛之x2,進(jìn)而得| g(«) -g(P)|刁g(x1)g(x2)| ,與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的m的取值范圍是(0, 1)。待研究的以下問題在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)涉及的分類討論問題；在求函數(shù)的極值與最值問題引出分類討論問題；在涉及函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)引起的分類討論問題；參考資料：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與分類討論【例 1 】 設(shè)函數(shù) f (x) =2x3-3 (a+1) x2+6ax+8,其中 a R.(I)若f (x)在x=3處取得極值，求常數(shù) a的值；(口)若f (x)在(-8, 0)上為增函數(shù)，求 a的取值范圍.解： (I) f ' (x) =6x2-6 (a+1) x+6a=6 (x-a ) (x-1 ). f (x)在x=3處取得極值，f ' (3) =1 2 (3 -a) =0, a=3,