全等三角形難題集

1、倍長中線線段造全等1、：如圖，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求證：AC=BF分析：要求證的兩條線段AC、BF不在兩個(gè)全等的三角形中，因此證AC=BF困難，考慮能否通過輔助線把AC、BF轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，由AD是中線，常采用中線倍長法，故延長AD到G，使DG=AD，連BG，再通過全等三角形和等線段代換即可證出。2、在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長AD至G，連接BG，證明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形3、，如圖ABC中，AB=5，AC=3，那么中線AD的取值范圍是_.4、在A

2、BC中,AC=5,中線AD=7，那么AB邊的取值范圍是( ) A、1<AB<29 B、4<AB<24 C、5<AB<19 D、9<AB<195、：AD、AE分別是ABC和ABD的中線，且BA=BD， 求證：AE=AC6、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.7、CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF 證明ABEFDESAS進(jìn)而證明ADFADCSAS8、如圖23，ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DEDF，交AB于點(diǎn)

3、E，連結(jié)EG、EF. 求證：BG=CF 請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由。9、如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG 證明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH 證明FH=EF、CH=BE 利用三角形兩邊之和大于第三邊10、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比擬BE+CF與EF的大小.11、：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分方法1：倍長AE

4、至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH圖4-2圖4-3截長補(bǔ)短7.9作業(yè)：，四邊形ABCD中，ABCD，12，34。求證：BCABCD。1、如圖，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.證明：在CD上截取CF=BC在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCESAS,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADEASA，DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.2、：如圖，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+C

5、D.證明：方法一補(bǔ)短法延長AC到E，使DC=CE，那么CDECED，ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAEDAAS,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二截長法AB上截取AF=AC，在AFD與ACD中,AFDACDSAS,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.3、如圖，在ABC中，BAC=60°， AD是BAC的平分線，且AC=AB+BD，求ABC 的度數(shù)4、如圖，在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD5、中，、

6、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 6、如圖，在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP7、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC8、如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?角平分線上的點(diǎn)向角兩邊引垂線段1、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD， 求證：BAD+C=180°2、如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，那么B與ADC互補(bǔ).為什么？DBEAC3、如圖4，在AB

7、C中，BD=CD，ABD=ACD,求證AD平分BAC. ABCD4、如圖，在ABC中，ABC=100°，ACB=20°，CE平分ACB，D是AC上一點(diǎn)，假設(shè)CBD=20°，求ADE的度數(shù).7.5作業(yè)：，ABAD，12，CDBC。求證：ADCB180°。7.6作業(yè)：如圖，在ABC中ABC,ACB的外角平分線交P.求證:AP是BAC的角平分線7.6作業(yè)：如圖,B=C=90°,AM平分DAB,DM平分ADC求證:點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)連接法構(gòu)造全等三角形7.9作業(yè)：如下圖，ABAD，BCDC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證： AEAF。DBCcAFE1

8、、如圖，直線AD與BC相交于點(diǎn)O，且AC=BD，AD=BC求證：CO=DO2、：如圖16，AB=AE，BC=ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，AFCD求證：B=E 3、如圖 11-30，ABAE，BE，BCED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).求證：AFCD.4、在正內(nèi)取一點(diǎn)，使，在外取一點(diǎn)，使，且，求. 5、如下圖，BD=DC,DEBC,交BAC的平分線于E，EMAB,ENAC,求證：BM=CNACNEMBD6、如圖，在ABD和ACD中，AB=AC，B=C求證：ABDACD全等+角平分線性質(zhì)1、如圖21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求證：EB=FC2、：如下圖，BD為ABC的平分線，A

9、B=BC，點(diǎn)P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，判斷PM與PN的關(guān)系全等+等腰性質(zhì)1、如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點(diǎn)O.求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .2、.：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線上，ABDC，BECF，BC求證：OAOD兩次全等7.4作業(yè)：AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF1、如圖，D、E、F、B在一條直線上AB=CD, B=D，BF=DE.求證：1AE=CF; 2AECF 3AFE=CEFADFECB2、如圖：A、E、F、B四點(diǎn)在一條直線上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=B

10、D。求證：ACFBDE3、如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，1=2，3=4，求證: 5=6 4、如圖，E、F在BD上，且ABCD，BFDE，AECF求證：AC與BD互相平分ABEOFDC由BFDF，得BEDFABECDF，BD再證AOBCOD，得OAOC，OBOD即AC、BD互相平分5、如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90°DEAC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，且AE=AC.求證：BG=FGAFCBDEG直角三角形全等余角性質(zhì)作業(yè)：如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AECD于E，BFCD交CD的延長線于F，CHA

11、B于H點(diǎn)，交AE于G求證：BDCG1、如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)置于直線l上，且過A，B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為D，E，請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程解：全等三角形為：ACDCBE證明如下：由題意知CAD+ACD=90°，ACD+BCE=90°，CAD=BCE在ACD與CBE中， ADC=CEB=90° CAD=BCE AC=BC ，ACDCBEAASABCFDE2、如圖，ABC90°，ABBC，D為AC上一點(diǎn)，分別過A、C作BD的垂線，垂足分別為E、F求證：EFCFAE證ABEBCF，得BECF，AEBF，

12、EFBEBFCFAE3、在ABC中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，1中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明；假設(shè)不成立，說明理由.4、如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：1AM=AN；2AMAN。作平行線1、ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長線上的點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于G求證：EG=GF 2、如圖，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于點(diǎn)E求證：CD=BE15432EFBDCA證明：過點(diǎn)D作DFAB交BC于點(diǎn)FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=AB

13、C 2=3，DF=BFDEBD，2+DEF=90º，3+5=90ºDEF=5DF=EFAB=AC，ABC=C4=C，CD=DFCD=EF=BF，即CD=BE延長角平分線的垂線段1、如圖，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求證：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延長CE交AB于點(diǎn)F，即可構(gòu)造全等三角形證明：延長CE交AB于點(diǎn)FAD平分BAC，F(xiàn)AE=CAECEAD，F(xiàn)EA=CEA=90º在FEA和CEA中，F(xiàn)AE=CAE，AE=AE，F(xiàn)EA=CEA FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD2、如圖，ABC中，

14、BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE3、如圖：BAC=90°，CEBE，AB=AC ，BD是ABC的平分線，求證：BD=2EC4、，如圖34，ABC中，ABC=90º，AB=BC，AE是A的平分線，CDAE于D求證：CD=AE面積法例1 如圖1，在ABC中，BAC的角平分線AD平分底邊BC.求證AB=AC.分析：根據(jù)可知AD是BAC的平分線，可通過點(diǎn)D作BAC的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進(jìn)行證明.證明：過點(diǎn)D作DEAB，DFAC，垂足分別為E、F.因?yàn)镈A為BAC的

15、平分線，所以DE=DF.又因?yàn)锳D平分BC，所以BD=CD，所以SABD=SACD，又SABD=AB·DE，SACD=AC·DF，所以AB·DE=AC·DF，所以AB=AC.2、如下圖,D是等腰ABC底邊BC上的一點(diǎn),它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF,CMAB,垂足為M,請(qǐng)你探索一下線段DE、DF、CM三者之間的數(shù)量關(guān)系, 并給予證明.3、己知，ABC中，AB=AC，CDAB，垂足為D，P是BC上任一點(diǎn)，PEAB，PFAC垂足分別為E、F，求證： PE+PF=CD. PE P F=CD.FEDCABGPFEDCABGP旋轉(zhuǎn)型1、如圖，正方形ABC

16、D的邊長為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)G與C、D不重合， 以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于H。求證： BCGDCE BHDEFEDCABGH2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC1請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母；2證明：DCBE圖1圖2DCEAB3、1如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC求AEB的大??；CBOD圖7AE2如圖8，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)OAB和OCD不能重疊，求AEB的大小.BAODCE圖84、如圖，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求證：1BD=CE；2BDCE證明：1AEAB，ADAC BAE=CADBAD=CAE而AB=AE，B=E， ABDAECBD=CE 2由ABDAEC知B=E 而AGB=EGF，EFG=EAB=90°，BDCE5、如下圖，AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證： 1EC=BF；2ECBFAEBMCF6、 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+D